作為一名非數學專業（電子工程，物理）的學生，怎麼樣讓自己的水平達到介於數學專業以及非數學專業的水平？
本人目前大三，參加過大學生數學競賽，拿了省賽區一等獎，但是深感自己的數學水平不夠，有很多貼吧或者QQ群當中的問題，使用非數的方法（知識僅限於高等數學，線性代數）發現很難求解出來，而一些數學專業的學生，使用數學專業學過的知識，則可以「較為輕鬆」地求解。由於未來可能從事物理或者數據分析這一行業，對數學的水平要求可能會較高，想知道如何將自己的水平提高到介於數學專業與非數學專業之間的水平，就是對於數學的嚴密性不如數學專業的學生，但是又比非數學專業的學生，對某些問題的看法深刻很多（可以使用更好的辦法解決問題）。比如：謝慧民，周民強，裴禮文這樣的書籍對於非數學專業的學生如何可以較為有效地使用？謝謝！
題主在題目描述中說過這樣一段話：
使用非數的方法（知識僅限於高等數學，線性代數）發現很難求解出來，而一些數學專業的學生，使用數學專業學過的知識，則可以「較為輕鬆」地求解。
我不知道題主說的問題是什麼，不過我想到了幾個具體的例子：
如圖求高數大神們幫幫忙謝謝了？ - 高等數學 - 知乎這個問題用不等式放縮的辦法做比較繁瑣，但是看出了背後的函數背景，思路就很清晰。
我覺得在一些其他回答的基礎上，可以多和數學系的人聊聊。一般非數學系的理工科同學向我請教問題或者找我閑聊到數學的時候，我的思路自然會切換到省略證明和嚴格定義來介紹一些數學概念和結論。從我的同學們的反映來看，對於非數學專業的同學們想知道的差不多就是這樣程度的數學。在此基礎上如果有自己需要進一步了解或者操作的內容，再去找一些比較專業的教材或論文研讀效率會很高。反過來，很多時候我也因此了解了許多數學的應用，其實也非常有趣。
但這可能需要你在與人交流之中花費很多精力。首先，你得選擇「正確」的人。比如你研究的是PDE，那麼八成你與一個研究數論的數學工作者聊天對你的領域是沒有太大幫助的；反過來如果你研究密碼學，那麼做PDE的人應該也沒法聊你希望了解的數學；其次，你得把你希望知道的領域大概抽象好，或者至少知道最基本的數學概念。畢竟大部分研究數學的人還是專精於數學，很多其他領域的概念不換成數學語言的話其實未必能很好的理解問題。最後，未必每個數學工作者都是好老師，萬一碰上了語言能力很差的人，恐怕你也會一無所獲。所以或許你還得挑選你對話的對象。
但是我個人認為這僅限於你做一個具體的問題時，如何讓自己的數學知識迅速達到一個不錯的程度，或者說非數學系學生的程度。但對於數學的靈活應用的能力或者是熟練使用的能力還是需要老老實實地積累。例如提問里說的很多證明技巧或者是做題的技巧，其實是數學系學生花了大量時間練習才比你更加熟練的。
很多看起來不經意的技術很多時候是背後深刻的理解與思考，這與嚴密性其實關係不大。放棄嚴密性未必就會讓理解問題變得非常容易。所以「嚴密性」並不是你想達到的水平和數學系學生水平之間的差別，「專業性」才是。數學工作者一般會從比較抽象的一般性的問題出發思考數學，這是一般的理工科不太會去做的，一般的理工科還是具體問題驅動的。我看了看你的回答和提問。感覺「分析學」應該是你關心的，這個是和我算是專業對口。我主要用力的方向就是分析和偏微分方程。分析是一個非常大的分支，籠統來說有下面方向（後面扣號裡面的是鬼扯，看一看就好），下面的科目我都有非常豐富的自學經歷，大一是物理系的所以高等代數數學分析不得不自學，本科比較水，我自己吃不飽，所以很多比較深入的內容都是我自學的，其實我覺得數學系水平高一點的人一般都自學為主吧：
1. 數學分析（萬物之母，一切的起源）2. 實分析 ／測度論 (測度和相關的積分)2. 複分析 （複數的威力）3. 隨機分析（多了一個independent，然後一切都不一樣！）3.5 調和分析 （函數的各種定量分析）3. 線性泛函分析 （無限維的高等代數）
4. 非線性泛函分析 （無限維的數學分析）從和物理工程相關來看，「非線性泛函分析」是非常有用的，E. Zeidler 的"nonlinear functional analysis with applications"最後一本中用了整整1000頁論述了其在不同物理學領域的應用（包括彈性力學，運動學，分析力學，流體力學，量子場論，狹義和廣義相對論中的應用）。自學的書，我來推薦一下。 陶哲軒那本「陶哲軒實分析」用來學數學分析不是不行，但是估計對於工科生太難了，我推薦在看完國內那本藍皮（華東師大）的《數學分析》後再看陶哲軒的或者rudin的「數學分析原理」。學習實分析我推薦royden的那一本「real analysis」。如果你學有餘力可以看一下rudin的那一本「實分析和複分析」，順便也把複分析學了。下面可以分叉了，3-4開頭的那幾本先後順序就不是那麼重要了，比如我推薦你直接看E. Zeidler的「Applied linear functional analysis」。 這個人寫書寫得好而且重視應用大於系統化，每一種工具對應一些物理或者工程上的應用。證明過程也非常簡單平實。
至於學習方法，我在下面的回答中已經提到過了。你可以參考，總結起來就是：勤做筆記，多思考總結，重視反例，培養抽象思維：要做到知識在腦海中具有體系化，只有這樣用起來才順手。什麼是體系化呢？比如吧，下面是我從自己的筆記中節選出來的：一個知識塊，你可以畫出這種腦圖
不一定要多麼完美和正確，說白了，就是你的理解。是你消化知識的證明。當然了，你可以只記錄在筆記本中，沒必要和我一樣搞一個電子筆記。我自己筆記太丑了，又會隨意亂丟東西，所以才使用這種方法。
數學和物理超出直覺範圍後該怎麼學習？ - dhchen 的回答 - 知乎數學系大二如何彌補大一的差基礎？ - dhchen 的回答 - 知乎數學分析究竟在講些什麼? - dhchen 的回答 - 知乎知乎專欄謝邀。
數學專業和非數學專業交流數學的一大難點是我們理解的數學並不是同一回事。你們可能更感興趣的數理統計，數值計算，數值代數，微分方程數值解，數學建模，等等這些內容，不好意思我通通沒學過。。我要是讓你們去學代數拓撲，去學黎曼幾何，可能跟我的方向更近，但是對你們想做的事情估計也沒太大幫助。。說白了大家就是在兩個不同的track上，學的東西和想做的事情都基本沒什麼交集。題主要做數據分析可以多學學概率統計，做物理的話，那要看是什麼物理，如果是流體這種可能數值類的課程更重要。說白了需要什麼就學什麼，不要強求自己掌握得很全面——真的想多學點數學那就去把數學系各個年級的數學必修課都去上一遍。不要問我哪門課更重要更值得上，在我看來他們都很重要。自己回答一下這個問題，其實吧，覺得這個問題問得沒有什麼水平，其實無論什麼學科，都會碰到瓶頸，聞道有先後，術業有專攻。謝謝白如冰等老師給予我的答案。其實我覺得，我問這個問題，更多的還是在求學之路碰到了一些困難以及挫折，開了這麼一個問題發發牢騷，但是還是謝謝大家這麼熱情地回答這個問題。
學海無涯，與君共勉！
大家新年快樂！姑且理解成可以像數學專業的人那樣思考問題，但是可能知識深度和廣度達不到數學專業的。
大概把以下五門課找本課本認真讀完並且做完大部分習題就差不多了：數學分析、高等代數、實變函數、抽象代數、拓撲學。後三門學完差不多就是摸到近代數學的門檻了。至於選什麼書的話，那就看個人了。比如說實變函數論與泛函分析 (豆瓣)近世代數 (豆瓣)點集拓撲與代數拓撲引論 (豆瓣)
覺得多的話就只看數學分析原理 (豆瓣)題主你這問題真的問題到黑貓心坎里了，感謝問出這個問題～
黑貓的處境可以說跟你一樣甚至還比你糟糕，本來一個文科垃圾，平時做做什麼數值法就好了。偏偏攤上個礦工的職業，讀的論文里大量出現數學專業東西，又不能單純的怒刷高數練計算，因為真的很抽象啊（比如什麼希爾伯特空間之類的）
失敗人士的「建議」肯定不是啥好建議了，只能稍微講講自己怎麼在泥潭裡掙扎的
1.要找小夥伴，好多好多小夥伴，越多越好，最好24個小時都能有人討論數學。真的感謝知乎讓我認識了這些「畜生」 @汪軻 @彭一鳴 @ChristianZhao @小喬叔叔 @子元 2.有一門功夫叫泛函分析，真是實實在在的內功啊。每看一點感覺修為都增進了一點，畢竟是現代數學的語言規範啊3.蹭課，無恥的蹭課，不要臉的蹭課……而且一旦蹭到好課，遇見神教授了就會有這種感覺：
其實能切身體會理題主這個問題想問什麼，就是那種看懂生澀證明，複雜邏輯，神湊天湊不會立刻被秒的掉但是也不會去過於糾結，然後專心去搞自己領域裡的low逼東西（像什麼參數校準啊，恩，數學系大神們肯定對這種low逼東西絲毫不感興趣的
共同努力吧，我們這些人也是夠賤的，當年擦肩而過的數學系要用一生去追了，然而被打得鼻青臉腫的又有啥所謂呢～～～～～其實，任何一本教材都能滿足你。
看國外的書吧。講得清楚有條理一些。裴禮文的，我看就費勁（我太菜了）。
鑒於你想學數學的最終目的是應用於其他領域，所以，到底要學點什麼數學，以及學到什麼程度就夠用這兩個問題可能很簡單，簡單到你隨便抓一個你目標領域的從業人員問一下就知道答案了；又可能很難，難到你目標領域的所有人都在為這個問題苦惱。當然大部分情況介於這兩者之間。
讓我以物理為背景，舉幾個例子（我物理從小就差，所以可能這些道聽途說的故事是胡說八道）來說明某個領域到底需要什麼數學也許並不是一件很平凡的事情，設法找到需要的合適的數學工具可能是某些領域最核心的關鍵，所以這個過程未必很平凡，這時候該領域內（而不是其他數學系的人）人員尤其是前輩的經驗通常會有幫助。
1. 在牛頓開始用微積分來系統解決經典力學問題之前，人們是沒有一套完整的數學體系去解決經典力學問題的，有的只是各處萌芽的微積分思想，人們用著也許並不嚴格的過程（比如在我讀高中時被成為微元法的東西）在解決著問題。所以，也許你將來希望從事的某個領域也在用著一些看似很有道理，但是很難講清楚的數學過程在解決著問題，這個數學過程說不定就是某個正在嚴格化的數學理論，所以自然，教科書上是沒有的。你所需要的東西通常在最近發表的論文中。
2. 量子力學的理論中如果我沒記錯用到了大量泛函分析的內容，而泛函分析是一門對非數學系專業學生來說比較怪物的課程，因為臭名昭著的實變函數是它的前置課程。所以，也許你將來希望從事的某個領域很明確地告訴你需要去學習一些不太簡單的數學課程。即使這種情況下，你到底要學得多仔細也是沒有定論的。你完全可能學得比數學系大部分同學都好而並沒有什麼卵用；或者粗略地過了個大概結果發現理解不夠深刻而對目標問題無從下手。這是一個因人而異的經驗問題。
3. 受到廣義相對論採用黎曼度量來解釋引力的啟發，人們開始不斷嘗試將微分幾何的理論套用到物理上試圖解釋各種宇宙（這層因果關係是我瞎猜的）。比如傳說中的弦論貌似是用的辛幾何的東西，凝聚態物理用到了很多拓撲，據說還有很多叢的構造。這些理論有些是久經考驗的共產主義戰士，但是也有不少理論都沒有得到足夠的驗證（沒錯我說的就是弦論），有不少的一部分物理學家們基本上還是處於看看數學家搞出了點什麼名堂，我們就拿來發展一下試試看看能不能搞出個大新聞的節奏。就目前的狀況來說，在某些物理問題上，物理學家們真正需要的數學還沒有被數學家們發展起來的可能性也是不小。所以，也許你將來希望從事的某個領域需要一套革命性的新數學體系才能帶來突破，這時候，上知乎來問我需要學哪些數學就並沒有什麼卵用了。
4. （這並不是物理）數據分析這行當我閉著眼睛都覺得統計是一定要學的，然後作為一個學了大概3-4遍統計基礎的人表示，這玩意學了不用半年可能會一點也記不起來的。
綜上，也許先去你想去的行業或領域了解一下吧，說不定那邊的人可以告訴你一些更有用的信息。yuhang liu說的很有道理，學自己用的上的就行了，別什麼都學。。我學物理的，你們要是對物理感興趣，我給你推薦電磁學，力學，光學等你都未必看的進去。更不要說什麼四大力學，固體物理之類的了。我們讓你感興趣東西根本就不是我們平常學的那些。只不過是一些有趣的推論之類的。真讓你看，非物理專業恐怕連普物看看不了兩眼。
覺得題主的體驗挺有道理的。舉個例子，裴禮文這本書初學數分的時候覺得好麻煩好多題好難，但是現在大三寒假翻出來看了兩章，發現裡面沒見過的技巧挺少的（雖然見過也不一定會用，比如一個用遞降連續函數列逼近上半連續函數的題目，裡面的技巧在高等實分析見到過），而且時常有書上證了兩頁紙的東西用數分三的知識兩三行就可以解決。所以說學一些高級的東西還是很有用的。至於怎麼學這些東西，題主時間充分就把本科數學系課程自學一遍，不充分的話多和數學系同學聊聊天就好了（雖然這樣也許不夠紮實）。祝題主找到興趣，生活愉悅～順膜殷浩大佬
直接去上數學系的課， 大概有機會完成數學系本科生的水平。 然後要達到研究生的水平，不用想了， 作為研究生的工科生沒有那個時間。 而且關注的問題可以說不一樣。
分析 W.Rudin PMA
代數 E.B.Vinberg A Course in Algebra念完再說別的。我就是數學專業嘻嘻嘻，個人認為數學與非數學最大的區別在於大家都在用的理論和結論而我們卻要證明。。。題主可以學學數學分析體驗一下。而且概率論與數理統計我們是分開學的。還有什麼抽象代數拓撲學這種就可以跳過了
建議好好讀一讀數學系的教程，不要是數學分析、高等代數、解析幾何這三門。
好好感受感受數學的思想，研究研究例題，把課後的習題做一做，我覺得對於非數學專業來說這些就夠了。
覺得有幫助的話我再來推薦書單。想不上不下考60分比想考高分難。
數學系的一些方法，如果沒有嚴密性的支持，那就是拼湊。
比方說，我證明了一個方程的解是存在唯一的，那麼無論我用什麼方法湊出這個解，哪怕我胡亂寫一個然後驗算髮現可以，都解決了問題。但是，你沒有論證存在唯一性，你湊解就沒有根據。覺得非數學系的不夠，又嫌數學系的過於嚴密，這個不好搞。
不過，某些東西是可以封裝起來，隔離掉一些細節，比如說，雖然絕大多數數學都可以構建在集合論基礎之上，但是你不懂集合論不知道選擇公理不影響你的大部分學習。實數理論只要知道幾條公理，完全可以在不理會戴德金分割的情況下學習微積分。這是公理化方法的好處。不過過度公理化，有時又會喪失一些應用背景的細節，最後你學了很多，但不知道如何用。我本科學的是數學物理，我在大學的時候也拿過數學競賽非數學類的三等獎，按照你的說法，數學水平應該是介於數學與非數學專業了。
那麼來看看我本科專業課的課程設置吧……
數學類：
數學分析 上下
高等代數與解析幾何 上下常微分方程複變函數實分析實變函數泛函分析抽象代數微分幾何物理類：
基礎物理 上下
四大力學：分析力學、電動力學、量子力學、統計力學+固體物理物理實驗所以如果你想提高自己的數學水平的話，本科的時候把上面所列的數學課修一遍應該就差不多了。希望可以幫到你。作為一個數學專業的學生，還是很佩服題主的。我可是連數學競賽都沒有參加過一次的渣渣呢（捂臉）
不過我覺得題主也沒必要非糾結於要達到某個水平。至於說解決問題，這其實是一種建模能力，我想大部分數學系的同學都學過數學建模課，也參加過數學建模比賽，受過相關的訓練，自然就有能力了。如果熱愛數學，那就不要以功利的心態去學習，不要糾結於今天學會了多少知識，只要每天浸淫其中，並能感受到樂趣，就會有收穫的。
如果是為了工作做準備，那還是帶著實際問題去學習，邊解決問題邊學習比較好，這樣可以避免你學了很多知識卻依然不知道怎麼使用的尷尬情況。物理的工作應該是和建模密切相關，微積分和線性代數比較重要。數據分析則是數據第一，統計學比較重要，根據公司的情況也可能需要掌握一些統計軟體。統計學雖然包含很多數學的知識，但也有許多非數學的部分，而且統計學的很多方法有時候並不像數學那樣講究對錯，而是以實踐結果的好壞來評價的。如果是要走數據分析的路，理解統計方法的內涵，比單純學好數學更重要。感覺大神您的數學水平已經超過80%的中國數學系學生了，這個問題到此為止吧。
題主咱們的情況差不多，我也是非數學專業的，我也得過全國大學生數學競賽的獎，不知道下面這些話讀你有用的，1.深刻理解並且應用一個你學過的數學概念，比你看書學一個新的數學概念更為重要。比如說，很多人概率論中都學過貝葉斯公式，但是並不是所有的人都會想到貝葉斯公式其實可以用來建立分類器的（即所謂樸素貝葉斯分類器）。還有我們都學過求導，但是我很佩服那個第一個把導數的概念用到經濟學中，發現了邊際那個概念的人。2.學習新的數學概念之前，先問問自己，我學它的目的是什麼，我能用它做什麼？比如我自己，我在去年冬天的時候自學了複變函數（用的是），我的目的是出於我對於解析數論中最著名問題黎曼猜想的興趣。最後寫了一個介紹黎曼猜想的文章知乎專欄，有幸被 @陸zz收錄在他的專欄里。3.如果題主要從事數據科學的話，學數學而不學一門編程語言（比如R或者Python）等於學游泳沒有下水。。。最後，學習的時候，問問自己，我對哪一方面的數學知識感興趣，我知道它能幹些啥，我要學了它之後幹啥，然後搜一搜哪本教材最好，然後為實現你的的去學。
數學作為一種邏輯嚴謹的工具，數學專業是研究這種工具本身的邏輯性、拓展性和完整性。非數學專業的目標應當是如何用好數學這種工具，來為自己的專業服務。
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