n-s方程可以描述湍流嗎？

01-06

想了解一下，在不考慮目前計算機水平的情況下，直接求解n-s方程，是不是可以對流場進行準確的預測（不管是湍流還是層流）。感覺n-s方程封閉，只要邊界條件和初始條件給定，解就唯一啊，那麼又為什麼說湍流脈動具有隨機性呢？

湍流的尺度遠大於分子平均自由程，仍然滿足連續介質假設。大部分人認為NS 方程可以描述湍流（事實上也是這麼做的）。

NS 方程系統是確定的，但確定的不代表可預測的。一個典型的例子，洛侖茲方程組，形式非常簡單。但是這樣的動力系統對初值擾動極端敏感，初值的誤差誤差隨著時間會使解完全不一樣，也就是著名的蝴蝶效應。當雷諾數大的時候，NS 方程更是這樣。

可以把湍流看作一個隨機過程場。DNS是一次具體的實現，就跟做了一次實驗一樣。打個比方，就像把扔十次骰子看做一件事，你得到十個1，就可是看作一次DNS 。DNS的主要困難在於湍流的多尺度導致要完全解析所有尺度，網格必須很細，計算量太大。複雜算例根本沒法用。為了降低計算量，提出LES ，大尺度直接解析，小尺度建模或者用耗散代替。

注意DNS /LES 和RANS的區別。前者相當於做了一次實驗，每次做結果都可能不同；後者RANS 得到的是每一時刻隨機場的均值。

N-S方程是否可以描述湍流呢？這個命題數學意義是：確定的非線性偏微分方程是否可能有長時間的不規則漸進解呢？

現有的結論是：非線性常微分方組的初值問題可能產生長時間的不規則解，或稱混沌解。

有限維非線性動力系統漸進解的不規則性非常接近湍流行為，但是從理論上把有限維的非線性動力系統理論推廣到屬於無限維非線性動力系統的偏微分方程的初邊值問題還有較大困難。

然而在湍流研究的實踐中，N-S方程的初邊值問題在大雷諾數的前提下，具有不規則的漸進解。第一個證據是Lorenz的奇怪吸引子解。另一個證據是用近代超級計算機數值求解N-S方程的實驗（針對簡單幾何邊界流動）。綜上，人們認為N-S方程可以描述牛頓型流體的湍流。

總結：可認為隨著流動雷諾數的增加，流動由層流向湍流過度的現象是N-S方程初邊值問題解的性質在變化。層流是小雷諾數下N-S方程初邊值問題的唯一解；隨著雷諾數的增加，出現過度流動，它是N-S方程的分岔解；高雷諾數的湍流則是N-S方程的漸進不規則解。就是說：無論是層流還是湍流，它們都服從N-S方程。

NS方程基於連續性假設，連續性假設還成立的最小量級為微米 $10^{-6}$ 。

湍流渦旋最大尺度（宏觀特徵尺度）與最小尺度（Kolmogorov尺度）比值約為 $Re^{frac{3}{4} }$ 。

如果最小尺度達到 $10^{-6}$ ，假設雷諾數範圍 $10^{3}sim 10^{6}$ ，那麼宏觀特徵尺度在 $10^{-4}sim 10^{-2}$ 。如果宏觀特徵尺度更大，最小尺度也變得更大，滿足連續性假設。

這樣的話，NS方程是可以描述湍流的。

湍流是混沌現象，和隨機不搭嘎。

答案是不知道。因為 DNS 的精度高於實驗觀測，DNS 能發現的細觀結構實驗不一定能發現的了，實驗發現的現象 DNS 不一定能算出來，不過往往是因為算力不夠。兩者交叉的部分還是能吻合得很好，排除實驗誤差的因素。所以我們對N-S方程依然抱有信心。另外，紊流的尺度可以小到宏觀力學的尺度之下，到分子力學水平，這時N-S方程的基本假設是否還滿足依然是個問題，然而我們的實驗手段還觀測不到這個尺度。

最後糾正一點，封閉並不能得到解唯一這個結論，N-S方程解的存在性和唯一性均沒有被證明。封閉是個極其弱的條件。

我想題主想問的是，初始條件/邊界條件給定，NS方程有了，直接解就行了，為什麼還說解有不確定性。

我只討論下DNS數值解的情況。如果有不正確的地方歡迎指出討論。

題主說的是對的，按照目前DNS直接求解NS方程的方法，如果初始條件/邊界條件（湍流DNS要加上一個湍流擾動作為初始條件）完全相同，那麼得到的數值解也一定是完全相同的。不然做數值模擬的人發的文章和結果別人都無法重複了。

正如前面幾個答主提到的，NS方程是嚴重非線性的方程組，解非常依賴於初始條件和邊界條件。對於層流來說沒什麼問題，給定初始條件邊界條件，數值解一定相同。但是對於湍流來說，正如上面提到，做DNS的時候需要加上湍流擾動作為初始條件。這個湍流擾動是隨機的。也因此造成了所得湍流解的不確定和隨機性。但是你如果施加的是完完全全相同的擾動，在不考慮數值誤差的情況下，所得解一定相同。

補充一下，NS方程是一個deterministic的方程，本身不具有隨機性。只是由於其中的非線性項，導致了方程對於初始條件邊界條件極度敏感，以及所得湍流解的fluctuation。為了研究湍流，大家通常研究其統計量而不是瞬時解，比如平均值等。

這個問題其實和ns方程關係不大想問的是非線性方程的解的特性。什麼叫非線性，就是模型變一點兒結果變的不像樣子。舉個簡單例子擲色子過程是完全可以被牛頓力學描述的。找個機器擲色子(得扔的高還要在桌子上彈一下)，能預測點數嗎(假設桌子空氣什麼的全都建模)？現在找一個很牛計算機比如說能輸入精確到2.673555558411554125555554N大小的力力的方向是與無限大桌面成30.51559655548855541586558度角。其他的參數比如色子密度，色子方向，桌子的楊氏模量全都這麼精確。這模型和計算機夠牛逼了吧。然後算出個結果，投到了6. 其他參數全不變把角度變成30.51559655548855541586557度(只把最後一位變了1).結果再算一下，投到的結果是2。所以你說牛頓定律能不能描述這個過程呢?能的。但是能完全預測結果嗎？在測量精讀和計算精度有限的情況下，不一定。

牛頓力學模型什麼情況下能預測呢?就是系統的非線性不明顯(或者就是線性)的時候，比如平拋一個小球能拋多遠這種問題。所以說能描述和能預測是兩碼事，預測需要結果對模型的所有輸入值不能過於敏感。

順便說一下想搞一台計算精度無限的計算機和測量準確度無限的感測器也是不可能的，別想以此把我批判一番。

NS方程是同時滿足層流和紊流的。

方程是否封閉是取決於你對流動作出的假設和使用的方程個數。一般情況下，使用連續性方程、NS方程、能量方程和熱力學方程就能夠使你的方程組封閉。

湍流是隨機的，模擬出的湍流是不可能在各個層面都與現實符合良好的。相信在大尺度湍流上應當是較好模擬的。

DNS，是Direct Numerical Simulation的英語縮寫吧。這種方法就是直接求解NS方程的。但是這種方法求解出的流動細節遠遠高於工程的需求。而且這種方程是非常昂貴的，一般是不使用的。

在滿足連續性方程假設的前提下，NS方程可以描述湍流。

我理解題主想問的是：既然湍流的控制方程都有了，那解出來不就完了？哪有什麼不確定性？

我的答案：

1. 湍流的平均場是確定的，不存在所謂隨機性

2.湍流的脈動場存在所謂的不確定性。

產生問題的關鍵在於湍流解嚴重依賴邊界條件/初值條件。邊界條件/初值條件微小的差異會對湍流解帶來巨大差異。所以，通過數值辦法大概不可能得到兩個完全相同的湍流場。

簡單講，我理解，所謂"隨機"，本來就是方程性質。

P.S. 這點可以參考常微分方程式控制制的動力系統中的「混沌」現象。

首先不說這個方程能不能描述，至少知道它可以描述部分流體現象，問題是即使斯托克斯做了三個假設後，方程目前依然解不出來。再說解的隨機性，從混沌的研究來看封閉的方程存在混沌解是有可能的，關鍵在非線性項的作用得分析清楚。最後它能不能有效描述很難說，因為目前對湍流的形成和發展都不太明白，就談不上正確認識了。

首先N-S方程可以合理的描述湍流，另外目前無法直接求解N-S方程，如果有人能夠直接求解N-S方程，那麼他就可以獲得諾貝爾獎了，而且很多研究湍流的人就可以失業了。N-S方程是非線性的偏微分方程，描述物理量的變化率或通量的關係，方程組描述給定區域力的動態平衡，並不像代數方程一樣描述的是一個靜態的物理關係。方程中摩擦力產生於分子的相互作用，我們知道分子的相互作用是有隨機性的，高雷諾數下湍流的尺度範圍很廣，從層流向湍流轉捩的過程中，很弱小的擾動都可能引起湍流的變化，並非邊界條件和初始條件給定，解就唯一。湍流能夠產生，從根本上是因為有分子間的相互作用，有摩擦力，如果沒有摩擦力就不可能產生湍流，當慣性力沒有遠大於摩擦力的時候，分子間的擾動會被耗散掉，從而保持層流的狀態。

目前求解N-S方程基本靠數值模擬，而數值模擬本身就有數值誤差，另外還有基於經驗的湍流模型的和其他熱力學模型的誤差，所以從根本上來說，我們還沒有能力獲得精確解，只能是更接近於精確解的近似解。由於數值求解中把偏微分方程離散成代數方程，對於同一個代碼，同一個機器，設定相同邊界條件和初始條件，以及其他相同數值條件的情況下，我們多次求解的近似解是相同的，也就是我們得到的數值解唯一，模擬結果可以重複，但這並不能代表真實的物理解就唯一，而且改變數值設定中的任何一項都可能引起解的變化。

贊同最小二橙的回答。

說說我的理解哈～

目前來看，n-s方程確實確實可以描述層流和湍流，給定初始條件和邊界條件也可以搞出解，雖然還缺少證明，咱們姑且不論～

從數學角度，初始條件和邊界條件很好給，但是從物理角度，怎麼給條件？所有的初始條件和邊界條件都是對實際物理問題的簡化，描述的準確程度也不太好說，然後n-s方程又是個非線性方程，對初值那麼敏感。。。然而更蛋疼的是我們又弄不出解析解，只能用數值方法求解～所以，你懂的～不是方程不對，是我們能力有限～給的條件和真實物理有誤差，計算也有誤差～然後竟然能得到某些實用的結果，真是感謝上天～

補充一句，所以肯定會有隨機脈動啊，因為我們能力不夠啊～

按十的八次方來估計基於主流參數的雷諾數，那麼卡爾莫哥洛夫尺度是雷諾數的負四分之三次方，即這時候湍流最小的空間尺度大約是微米量級的，這遠遠大於分子自由程，連續介質假設是可靠的。雷諾數更小時，最小渦旋的尺度更大，連續介質假設更加成立了。所以目前的主流觀點還是認為ns方程是牛頓流體的完備數學描述，至於能不能解得出來，能不能對解的性質有深刻的理解，那是另外一回事了。也有另外的思路處理流體力學，比如格子玻爾茲曼法，在數學上用玻爾茲曼方程描述流體，這部分內容完全超出我的學習範圍，希望後面有內行談談這塊內容。

不碰這塊快十年，憑著印象和當年的理解談一談，不一定對，僅做拋磚引玉，特此聲明。

1. 可以描述湍流。但任何方程對客觀世界的描述都有其局限性，拋開時空的局限性不論，大部分都有假設性局限性，印象中NS成立的前提假設有3個，自行翻書。

2.可以預測流場。但有兩個前提：一是所謂的預測的對象特徵相對流體微團是宏觀的、有限的；二是用於模擬的初始條件相對被模擬對象是完備的、準確的。

3.並不是越宏（微）觀越高明或者越接近真理，在目前階段，與其妄談痴想絕對真理，不如聯繫實際，看看什麼才是更符合當前實踐的、不一定那麼正確的「道理」。

你的想法很多人在做，叫做DNS方法，即直接求解NS方程。但是對計算資源消耗太大，目前沒法做工程應用。

首先需要指出的是NS方程能不能描述湍流和能不能用NS方程計算出湍流是兩回事，前者是一個物理模型或者說定律的適定性的問題，後者是數值方法和計算能力的問題。

首先，NS方程成立與否只基於一個假設和幾條定律：

假設是連續性介質假設，這可以用怒森數度量；

定律是物理中的質量守恆定律，動量轉換和守恆定律，能量轉換和守恆定律（熱力學第一定律）以及熱力學第二定律；

只要連續性介質假設成立，那麼就可以依據上面的守恆率得到NS方程。

重點是，NS方程提出後，在何種邊界條件下是完備的的方程組，這個問題沒有得到回答（數學上重大難題之一）

最後做湍流模擬，主要是由於多尺度問題，需要考慮最小到Kolmogorov尺度到最大為宏觀尺度的量級，所以直接數值模擬現在運算量不能做到，但是根據我們老師的預測2030年應該可以做到整個飛機流場的直接數值模擬。

湍流裡面還有一個湍流模式的問題，也就是本構，現在最常用的是雷諾平均模式，但是這說到底也是假設。

最後，湍流也是流體之所以最為複雜的原因，其隨機性等進一步複雜的特性，和複雜系統的研究有著密切的關係，比如很簡單的Taylor流就會有自相似的現象。

n-s方程能否描述湍流並沒有確定的結論，在數學和物理上都存在問題。很多回答里說湍流符合連續介質假設就可以用n-s方程求解是不準確的。