子式或者餘子式有什麼對應的幾何或者物理含義？

01-06

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%90%E5%BC%8F%E5%92%8C%E4%BD%99%E5%AD%90%E5%BC%8F

回答這個問題首先要知道行列式的值代表著n維平行體的體積（二維是面積），然後，要明白上三角/下三角行列式的幾何意義。以下三角行列式為例，設

$D_{}$ = $[ left|egin{array}{cccc} 3 0 0\ 1 2 0\ 2 3 1 end{array} ight| ]$

這是啥意思呢，如果把列看成向量，把右下角1當成一個1階行列式，那麼

$D_{1}$ = $left| 1 ight|$

代表著圖像是一維的，並且只有長度，等於1。

如果取右下角

$D_{2}$ = $[ left|egin{array}{cccc} 2 0\ 3 1 end{array} ight| ]$

那麼 $D_{2}$ 代表了向量 $a_{2}$ = $(3,2)$ ， $a_{1}$ = $(1,0)$ 形成的平行四邊形面積，此處題主畫個圖發現由於 $a_{1}$ 的y軸分量等於0，這個圖形就是以1為底，2為高的平行四邊形，此圖形面積與3沒有毛線關係。

好了，再看回原行列式

$D_{}$ = $[ left|egin{array}{cccc} 3 0 0\ 1 2 0\ 2 3 1 end{array} ight| ]$

不用說題主也看出來了，加了一個包含第三維的向量 $a_{3}$ = $(2,1,3)$ ，但是由於 $D_{2}$ 在這一維度沒有分量，那麼這個圖形實際就是以 $D_{2}$ 構成的平行四邊形為底，3為高的平行立方體，同樣的，這個圖形的體積與 $a_{3}$ 下面的1,2也沒啥關係。。

說到這裡就明白了，書中

引理：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除 $left( i,j ight)$ 元 $a_{ij}$ 外都為零，那麼這行列式等於 $a_{ij}$ 與它的代數餘子式的乘積。

說的不就是既然其他向量在第一行這一維也沒個分量，那行列式的「體積」就等於這一維的「高」乘以代數餘子式構成的「面積」了唄。

然而某一行除了一個元素以外都為0的情況屬於少數，所以就有了「行列式按行（列）展開」，說的其實就是「就算你每個列向量在要展開的這一行的維度都有分量那我也要把你們拆開逐個擊破再相加」的意思。。

肯定有很多不嚴謹的地方，不過希望題主能理解意思就好~

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點個贊再走啊喂！~(*≧▽≦*)??

-------------------------------2017年6月3日---------------------------------

謝謝各位親的滋瓷~再補一個神連接作為可視化參考，這下你該點贊了吧啊哈哈哈哈哈

Eigenvectors and Eigenvalues explained visually（via某答案）