代數拓撲在物理學中有哪些應用？

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代數拓撲在物理中的應用一般都很淺，大多數情況只是使用到概念層面，很少用到代數拓撲深刻的定理。常見的概念有同倫群，同調群和上同調群。在場論中，這三個概念有各自常用的使用語境。

同倫群：常見於刻畫規範場位形的拓撲結構，最常見的就是刻畫球面、環面或者歐幾里得空間上的矢量叢的拓撲。比如渦旋、瞬子的等價類對應 $S^2$ 和 $S^4$ 的矢量叢等價類，分別用 $pi_1(G)$ 和 $pi_3(G)$ 來刻畫。纖維叢的同倫恰當序列也常用於計算一些比較難算的同倫群，比如 $U(n)$ 的高維同倫群。又如 $S^4$ 上規範反常的存在性可以歸結為「無窮維規範變換群 $mathcal{G}$ 的基本群 $pi_1(mathcal{G})$ 是否平凡」。

同調群：同調群用得相對較少，用的時候也通常只用來表徵目標流形有多少洞，或者對某些幾何對象進行分類討論。有了洞，就可以討論非平凡的拓撲荷（拓撲通量）。比如 $S^2$ 的 $H_2(S^2, mathbb{Z}) = mathbb{Z}$ ，就可以討論磁單極子的整數磁通量，或者電荷慈磁荷量子化。

利用奇異同調群與 Cech 上同調的關係，還可以用奇異同調群、Cech 上同調來分類流形上的線叢，或者更複雜的 gerbe（高級線叢）。Gerbe 在物理中出現在一般的 2d $mathcal{N} = (2,2)$ 有 H-flux 的非線性 Sigma 模型，target space 受超對稱數量要求具有 Bi-hermitian 結構，從而 target space 上定義了一個 gerbe。

在2維拓撲非線性 Sigma 模型中，A-twist 的 BPS 位形是世界面 $Sigma$ 到目標流形 $M$ 的全純映射 $phi$ 。由於世界面可能是任意的黎曼曲面，比如球面，因此就有各種不同的拓撲不等價的映射。刻畫這些拓撲不等價的映射，就用映射所屬同調類 $phi_*(Sigma)in H_2(M,mathbb{Z})$ 。

上同調群：物理中用得最多的代數拓撲對象。

1）規範場中，刻畫相應矢量叢的拓撲通常是會用示性類，這些示性類都是空間流形上的上同調類。比如計算歐拉示性數用歐拉類，瞬子數用陳特性，渦旋數用第一陳類。

2）2維拓撲 Sigma 模型中，B-twist 和 A-twist BPS 算符代數對應到目標流形的 de Rham 上同調，或者 $H^{(*,*)}_J(M)$ ，超對稱算符 $Q$ ， $overline Q_+$ , $Q_-$ 變成外微分運算元 $d$ ，Dolbeault 算符 $partial, ar partial$ ，BPS 算符的關聯函數變成目標流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 則是聯繫 Mirror-對偶的 Calabi-Yau 目標流形對應的 A-twist 和 B-twist 模型，兩個目標流形有對調的上同調群 ${H^{1,1}}left( M ight) leftrightarrow {H^{2,1}}left( M ight)$ 。

3）許多時候物理問題需要研究某些算符 $Q$ 的上同調群。最常見就是超對稱量子力學中超對稱算符 $Q$ 的上同調群，這個上同調群的生成元與系統的基態（即 $Q$ 的調和態）一一對應。算符的 Witten index 定義為 $Q$ 復形的歐拉示性數，是超對稱物理中比較重要的數。

指標定理：作為重要的計算工具，指標定理也出現在不少物理問題中（當然本質上都是數學家早就熟知的數學問題）。1）比如計算某些帶拓撲荷的規範場位形的模空間，包括渦旋，瞬子，Seiberg-Witten 解，拓撲弦中黎曼曲面的復結構模空間維度；2）計算各類反常，比如手征反常，規範反常使用 Dirac 運算元的指標；3）有時某些算符的指標直接就是計算目標，比如 Witten index 4）有時需要計算算符 $Q^2$ 的superdeterminant，可以找與之交換的微分算符 $D$ ，並通過計算 $D$ 的（等變）指標來獲得 $Q^2$ 的波色、費米本徵譜之間的不完全抵消關係，然後寫下superdeterminant

理論凝聚態裡面

傳統朗道相變理論中不同的相用對稱性來分類，用到群論。

但在絕對零度發生的量子相變可能發生體系對稱性並沒有改變的相變，叫做對稱性保護拓撲相，朗道理論不適用。對它們的分類會用到群上同調。

http://arxiv.org/pdf/1106.4772.pdf

string theory.

Kitaev 當年為了搞fault-tolerance quantum computation提出的Toric code 和其他 generalized model可以用 homology group 解釋，不過涉及的代數拓撲並不深。常見的torus上的例子用 1-chain 來表示 Pauli Z-type error，用 1-co-chain 來表示 Pauli X-type error，對應於 Z2xZ2 所以能表示兩個 qubit。

更一般的模型是 homology code（或者說 topological code），一方面是 exactly solvable model，另外一方面也跟topological order有關。