如何直觀地理解 西爾維斯特「慣性定律」？

「慣性定律」：任意兩個相合矩陣的慣性指數相同，即它們具有相同數目的正特徵值、負特徵值和零特徵值。

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在基替換下，二次曲面的類型不變。

例如，經過坐標替換，橢圓變換後仍然是橢圓，拋物線變換後仍然是拋物線，雙曲線變換後仍然是雙曲線，雙直線變換後還是雙直線。

上面的討論只適用於實對稱矩陣。（對於一般的矩陣我們也定義相合。）

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你把對稱矩陣理解成某個光滑函數f在critical point的Hessian矩陣，那麼正特徵方向就是f取局部極小值（穩定）的方向，負特徵方向就是f取局部極大值（不穩定）的方向，零特徵方向需要看高階導數。從直觀上來說，一個函數f的圖像長什麼形態，應該是坐標選取無關的。

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謝邀。直觀的事情樓上有人說了，二次曲面的分類問題，算是直觀了吧。

但是我想說，重點不在這裡。有許多人總是把注意力放在矩陣上面而未能意識到變換、運算元、型之類的東西，這可能是我等非數學系線代教學的問題。

考慮一個有限維實線性空間V上的實二次型，作為V→R映射，它是確定的。選取V的一組基之後，我們可以在這組基下寫出這個二次型的矩陣（完全類似於線性映射在基下的矩陣）。簡單地考察一下即可知道，在基變換下此矩陣的變換為相合變換（是這個名字么）。

意思就是，相合的矩陣本來就代表了同一個二次型，只不過是換了基而已，但這不是本質的問題。

這個定理就說明了，每一個二次型總能在一組基下寫成標準形式，且這種標準形式是唯一的。你也可以把二次型就當作一個二次曲面，這樣也許直觀一些。

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可惜即使用二次型這樣的方便抽象化與幾何化的語言，似乎還不能直接得到這個定理的證明。。

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意思大概就是這樣吧。。

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二維:

橢圓就是橢圓，你再怎麼揉，不能拆開，拋物線就是拋物線，怎麼揉不能閉合，雙曲線再怎麼搞也不能變，雖然大小寬窄方向變了

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記得幾何老師講到二次曲面和曲線時是講到的，然而當時連特徵值和特徵向量都沒講QAQ，現在交完後感覺好多了。從幾何直觀上講就是二維空間內有7種曲線，通過仿射變換是不能把其中一種變為另外一種滴，就如橢圓變換後還是橢圓，不可能為雙曲線其他的，這裡仿射變換就是那個高代里的非退化線性替換。當然，三維也一樣。嗯，感覺幾何和高代還是有很多相似的，一起學還是挺不錯的。大一新生，剛學，望大神糾錯~

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