數學家會不斷有新的研究領域和發現嗎？ 像物理學

類似19世紀末有些物理學家認為物理學已經走到盡頭 最多在數值測定上在小數點後面加上幾個數字，但相對論 量子力學以及暗物質 暗能量等的發現不斷刷新認知 數學領域不知道也類似嗎 愛好者 賜教

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"19世紀末期有些數學家認為數學已經走到盡頭, 最多在公理體系上做一些整合, 但樸素集合論的不自洽特性, 關於無窮集合的奇特性質, 哥德爾不完備定理, 不可計算性問題不斷的刷新人們對於古典數學的認知."

----這是仿照問題描述的一個"類對偶"語句, 其語義也許不準確.

數學之後走入了一個新的層次, "抽象描述性集合論"

19世紀之前, 數學是很實在的, 比如古希臘的幾何學, 實實在在的就是描述可見的形體, 即使到了高斯的時代, 數學還是非常的具體的, 要麼比如說是分析, 就是關於函數的一些計算問題, 高斯的PHD工作的內容是複數域的代數完備特性, 其實也是非常的具體的一個東西, 這裡面具體是因為複數域我們有深刻的直觀感受, 而多項式函數也不是抽象的東西. 歐拉大神也主要算算級數, 想想3維空間以內的形體的幾何學, 傅里葉似乎還剛剛的有一點點為了解決一些熱力學問題引入三角函數分解, 撕逼來撕逼去的伯努利家族也就算算一些曲線, 搞搞流體力學的數學理論, 跟歐拉搞搞基.

然後數學整個就在計算函數, 構造奇葩函數, 計算奇葩函數的特性, 利用奇葩函數的特性解決一些數論問題, 幾何學的發展在那個時候沒有分析那麼突出, 但是幾何學的體系是一直以來人們關注的問題之一, 高斯有考慮過曲率的問題, 和歐幾里得幾何公理的實際性, 以及新的幾何公理的存在性, 但是分析的發展實在太快, 以至於幾何學的發展顯得嚴重滯後...

然後咱就略過一些內容, 伽羅華要哭死在廁所

不知不覺的就到了希爾伯特的時代, 也是物理學的發展到了一個臨界時期, 不知道是不是巧合, 數學的發展也正好到了一個臨界時期, 不知道是不是巧合, 繪畫藝術的發展也正好到了臨界時期, 畢加索的畫風轉變中, 不知道是不是巧合, 音樂藝術的發展也正好到了臨界時期, 人們開些寫一些聽起來不是很正常的音樂.

希爾伯特的想法是把數學建立在一個邏輯的自洽的公理體系之下, 使得我們能夠證明所有真的命題, 然後接下來數學的任務就是把玩那個公理體系來得到一些結果了, 想法是很好的, 因為能夠把不管什麼東西, 幾何, 分析, 代數, 什麼什麼都能歸在一起, 然後咣當, 黑體輻射, 邁克爾遜莫雷實驗結果來了, 不對, 咣當, 哥德爾不完備定理來了, 好吧, 希爾伯特的想法看來實現不了了, 但是整個的數學界進入了一個新的階段:

"抽象集合論公理體系---邏輯可描述性質---可描述性質的演化和相互關係---可描述性質的具體表示"

就是說, 以前數學家在研究一個具體的內容, 一個函數, 一個圖形, 一些數字

現在, 數學家的研究內容是 一些邏輯語句, 一些語句的轉化方式

所有的數學的研究內容都可以抽象化, 用描述性語句來表示:

代數( 比如伽羅華的貢獻是引入群的概念並用來解決多項式的根式解的問題 )---公理化抽象代數 ( 比如把伽羅華提出的群的概念公理化, 得到我們現在說的"群", 然後基於抽象代數結構的多項式, 然後多項式的根式解可以歸為某種域的延拓性質, 伽羅華理論也因次完全的系統化 )

分析( 以前都是數的分析, 比如實數, 多維實數, 總歸是數)---公理化抽象分析 ( 建立在局域Hausdorff緊緻集合的分析, 對局域緊緻Hausdorff拓撲群的傅里葉分析, 對一般拓撲線性空間的分析, 還有非標準分析)

值得一提的是, 概率論的發展, 概率論和分析看起來很不同, 但是其實是一種東西的兩種思考方式, 現在的概率論可以看成一種建立在抽象可測集的分析.

幾何學就比較凄慘, 可以說基本消失了,

以前比如說解析幾何, 然後被抽象成了代數幾何, 然後代數幾何本來已經很抽象了又進一步被抽象成了 Grothendieck代數幾何

以前比如說研究曲面, 被抽象成了流形

但凡幾何學之前的研究內容都基本上歸為了分析, 代數, 分析代數, 代數分析裡面了

但是也可以說幾何學被升華了, "數學就是幾何學, 幾何學就是數學"

不過也沒太大關係, 邏輯體系本來就不是依照直覺的.

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由於描述性集合論的迅速發展...人們的腦洞不知不覺的被打開了

描述性集合論是描述一個集合的結構, 然後通過一些手段我們可以得到一些其他的描述性結構, 好的, 我們總是發現, 不同的描述性結構似乎有一些相關的特性, 比如群和群同構, 拓撲和拓撲同構, 類似的還有好多, 於是, 我們可以考慮一些更加抽象的東西, 範疇論.

範疇論通常能夠展現一些很深刻的內容, 也能夠幫助我們構造一些新的定義之類

比如說, 我們在集合上有笛卡爾積, 然後我們可以把笛卡爾積的構造範疇化, 然後我們可以把笛卡爾積的構造定義在其他的描述性集合上面, 比如群的笛卡爾積.

範疇論已經基本融入數學.

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這些個新的數學思維是會不斷的出現的, 新的思維會導致更新的思維的產生, 所以基本上, 數學裡面的開拓性內容是會源源不斷的出現的.

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謝邀。

高斯說：「數學是科學界的皇后。」我覺得這句話說的真是太好了。這門科學本身就高度自洽，而付出的代價則是發展潛力比較小。不過非要說有沒有突破，那還是有的。我記得我的母校華盛頓大學數學系前些年還發了一篇論文，找到了一個除了六邊形以外也可以鋪滿整個平面的圖形，算是一個突破吧。

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這個答案是肯定的。兩個被改編成電影的數學家故事告訴我們數學家在探索新領域的道路上從來沒有停歇，一個是阿蘭圖靈發明的計算機，另外一個是納什的博弈論。後輩很多學者都一直在研究圖靈機並創造出了今天的計算機，還有很多學者研究博弈論，我才疏學淺，只知道博弈論在管理行為學中的應用。另外在random walk，poisson processes上也一直有人對其研究，我只知道好像和保險有關。另外time series近些年也是熱門話題，我們學校的一個教室就被一個time series的大牛命名了。數學不是一個理論一個理論的提出來，而是提出一個理論但是可以讓數學家們研究很久。

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