在一個正方體中按以下規則反覆連線，最後會連出多少個交點？

01-06

初始時給定一個正方體的8個頂點，作為一個點集。然後反覆執行以下操作：

對點集中的每一對點，作過它們的直線；

把這些直線的交點也都加入點集中。

最終點集中的點數會是有限多個？還是可數無窮多個？還是不可數無窮多個？

點集中的點會滿足什麼條件？

點數必定無窮：

第一輪連線，正方體6個面對角線，連出6個面心，構成正八面體

第二輪連線，正方體對面的面心相連（其實只是輔助線），找到平行棱，然後顯然構成平行四邊形，把這個四邊形的對角連起來，連出的點正好在這個正八面體的棱的中點上。

由於對稱性，每條棱的中點都會被連出來。

第三輪連線，我們看正八面體的一個面，這是一個正三角形，三個頂點和三條邊中點都有了，隨便弄兩條中線連起來，找到三角形的重心，也就是正八面體的面心。

正八面體的八個面心，構成一個立方體。

因為這樣做可以做無數次，所以可以弄出無數個立方體，也就是無數個點。

（其實，中線與另兩條邊中點的連線互相平分，交點構成一個小的正三角形，這個小三角形的頂點，正是三個中點構成的正三角形的三邊中點，這個操作也是可以無數次進行的。）

顯然，直線和線段都不影響結果。

點數必定可數：

然後，除了前八個點，後來每個點的坐標，都是兩條已有直線的交點。如果直線方程的係數是有理的，那麼既然是一次方程，解也一定是有理的。但是我們建立坐標系，把正方體弄成貼著卦限的單位正方體，那麼開始的點都是有理數，直線方程也就是有理的，那麼歸納法一下，每個點的坐標都是有理數。那麼點的數量一定是可數的。