如何直觀地理解「共軛」這個概念?
定義我明白：複數的實部不變，虛部取相反符號。
但這個概念有什麼用呢？有什麼物理意義？如何能夠直觀感受到這個概念？共軛的本質是什麼？
「共軛」是數學中一個比較有逼格的詞。「軛」是牛拉車用的木頭，同時拉一輛車的兩頭牛，就是「共軛」關係。把這種關係引申到數學中，只要是成對的東西，又找不著一個更合適的叫法時，就常常稱它們為「共軛」，這個「軛」並不總能找到相應的數學概念。
具體到複數里，「共軛」就是「實部相同，虛部相反」的意思。這個概念本身並沒有什麼高深之處。不過在實際中，具有「實部相同，虛部相反」關係的複數非常常見，比如：
- 多項式的根中往往有滿足這種關係的根；
- 一個複數的模方等於自己乘以跟自己有這種關係的複數。
因為這種關係很常見，所以有給它起個名字的需要；既然這是一種成對的關係，又找不到更好的叫法，就叫「共軛」好了。
你看「實部相反、虛部也相反」也是一種成對的關係，但是它已經有了一個名字叫「相反數」；「實部相反、虛部相同」也是一種成對的關係，但因為這種關係不常見，所以就沒有名字。
這個問題還真挺好玩，是我最早聽 @雲英語李浩MD PhD提到的， 「軛」這個東西吧，是人類非常早的一個發明創造，就是這玩意——
具體使用起來，大致就是這個樣子的——
然而這個東西最早發明的時候吧，還真不是只牛用的，而是東西方非常常見的一種革命性發明——馬車。
而目前在考古學上來講比較認同的是，上圖的這種戰車從西亞中亞的游牧民手中，逐漸傳入歐洲和東亞的。然而戰車對中國上古時期來講，確實是個革命性的成果，正是因為這個東西才有了春秋戰國領土擴張的戰車奔騰，萬乘之國。
有點跑題了（其實沒跑），我們前面說了，這個車軛在英語里被稱為「yoke」，而「共軛」這個概念在英語里是——conjugated，這個詞是拉丁語里來的，其實拆一下就是——con（共）-jug（軛），-(a)te-（形容詞後綴）。
所以呢，在拉丁語里，這個jug和英語的yoke就是同源的，而在遙遠的東方大地上，還有個歐洲人奇葩的親戚印度三哥，如今著名的辭彙yoga（瑜伽）源自梵語，追根溯源，本身就是車軛所引申出來的「聯繫」的含義，然後逐漸隨著三哥的人生境界飛升到了「天人合一」這等玄妙意味了。
當然了，其實無論是英國人（日耳曼人）還是拉丁人亦或是印度人，其祖先很可能就是那個發明或者傳播了戰車的中亞游牧民「原始印歐人」，與此相對的還有「輪子」這個詞，演變到歐洲的cycle，circle等還沒有脫離本意，但是在三哥那裡已經是非常高大上的詞——cakrá-（脈輪，也叫查克拉，相關知識文末有鏈接。）
好像又跑題了，總之說到這裡，這個「共軛」的意思，本身就是讓兩匹（頭）馬（牛）勁往一處使的拉車，然而這兩位未必多同心協力，他倆本身也存在對稱相反，且互相牽制的特性，所以我們一般稱呼這樣的配對為「共軛」。
所以就像題主提到的「共軛複數」——
兩個實部相等，虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。
所以，實部相同虛部相反的——z=a+ib(a，b∈R)以及 =a－ib（a,b∈R)，這麼一對共軛複數，放在複平面上，他倆是關於實軸對稱存在的。
然後我就大致只能說這麼多了，其實原始印歐人造新詞很奇怪，他們沒東亞那麼文雅，好多都來源於他們蠻荒時期的野外生活，其實就包括英語里的join（古英語joign-）也是來自於這個「軛」的，甚至還有很多高級詞如jugular（頸靜脈，取「聯繫」這一含義）等，這方面的東西習慣就好，如果讓我來命名，就稱之為圖樣複數什麼的了。
相關答案：
安森垚：世界各地語言有哪些匪夷所思的同源詞？
順便說下，上周末我受邀連著跑了長沙、武漢、鄭州三個地方做演講和售書，尤其對鄭州這個城市有了極大好感，可能要發個酸文，果然年輕還是要多轉悠。
然後就是，明年年初要憋一本很有意思的東西，感謝北京雲英語培訓以及@雲英語李浩MD PhD 的通力合作，我們一起對耳熟能詳的單詞追根溯源，敬請期待。
共軛就是相關，理解的話放在使用場景下比較好理解，因為不同的場景下有不同的意義。
如果用來表示旋轉（歐拉公式），那麼共軛表示的就是兩個相反方向相同角度的旋轉，如果將旋轉變成時間的函數，就是兩個相位相反的正弦波。。。
複數的對合是周期為二的反自同構運算元
周期為二 反自同構要保幺元（所以相反數不滿足這個要求，因為(ab)*=b*a*,(ea)*=a*,所以e*=e）這種運算元只有一個就是共軛希爾伯特空間的線性運算元空間上的周期為二的共軛線性反自同構運算元稱為對合，有一種天然的對合就是取共軛運算元
這種對合運算有比較好的性質（如果滿足b*b長度等於b的長度的平方那就形成了一個C*代數，上面兩種都有此性質）
矩陣的對合是共軛轉置（轉置不滿足共軛線性）
一般的Banach空間的共軛運算元定義可視為推廣
非線性分析里凸函數的共軛函數是指原函數對偶空間上某種凸函數，在空間自反、凸函數滿足一定條件情況下，凸函數的二次共軛函數等於自身復向量內積你得把後一個的分量都取共軛，乘出來才是實數
這個問題很有趣，講一下個人理解。
首先，看這個方程：x^2=-1
令
通俗地講，就是數學家為了研究方便，定義的一套規則。共軛復根必然成對存在，也符合平方差公式。兩個共軛復根相乘就是實數。
數學就是各種規則的集合體，神奇！其次，非要談物理意義，也不是不可以。
工程數學裡有一門《複變函數》，i在複數域里表示旋轉因子，單位模是1。
試著想一想：i 表示從正實軸逆時針旋轉90度，也就是轉到虛軸上；同理，i*i=-1也就是順時針旋轉180度，是不是旋轉至負實軸了！印證了
類似地，複數是實數擴充。
其物理意義就是表示了模長與相位問題。實數就是虛部為0的虛數，其相位為0或pai。
共軛複數的物理意義也僅限於此。可能你會問，這物理意義跟相位有什麼關係！？
那就要看看著名的歐拉公式了。
我只能再次感嘆，
數學就是各種規則的集合體，神奇！我也再次強調，共軛複數沒有任何物理意義！只能放在整個複數域來理解，是人為定義的一種規則！物理意義也只是結合不同領域各取所需。本人非數學專業，若理解有誤，歡迎大家指正！其實語言學中的動詞變位就是conjugation。之所以用這個詞，我猜測，就是為了表達很多不同變形由同一個動詞變來的意思。
天然存在的相關一對數，沒有什麼合適的形容詞，那就用共軛來稱呼吧……畢竟已有現成詞就不用發明新詞了。
共軛複數
共軛物理量共軛......共軛是一種一一對應關係，並且有一些比較好的性質服了大家。
共軛顯然有化學上的事嘛！
共軛大π鍵。
從苯環的意思是來自於離域大π鍵。
就是有分享的意思。
具體使用起來，大致就是這個樣子的——
具體的詞源就是如高票答案說的一樣。
本意是指駕車時套在牲口脖子上的曲木，引申義是束縛，控制。該文字在《儀禮·既夕禮》和《荀子·正論》等文獻均有記載。
推薦閱讀：
TAG:數學 | 複分析Complexanalysis | 複變函數 | 複數數學 | 信號與系統 |