自相關函數怎麼理解，為什麼定義中有共軛，卷積呢。定義中的卷積，共軛有什麼意義？尤其是在信號處理方面
我來簡潔地解釋一下。
1) 首先我們僅考慮實信號。
自相關的直觀含義就是：把一個信號平移一段距離，跟原來有多相似。於是就有了自相關的定義：如果只談自相關，其實到此就可以結束了。
只不過，在信號處理領域中還有一個叫「卷積」的東西，在別的地方（已知線性時不變系統的衝激響應和輸入，求響應）有用。它跟自相關的定義很相似，包含了「卷、移、乘、積」四步操作：我們發現卷積比自相關多了一步「卷」的操作，為了去掉這個多餘的操作，我們先把原信號自己卷一下，就可以抵消掉卷積中的「卷」操作了。這就是自相關與卷積的關係：
2) 現在擴展到複數域。
自相關是要刻畫一個信號平移後與原始信號的相似性。顯然，不平移時應該是最相似的。
我們希望x(t)與x(t)本身相乘後積分時，各時間點的值能夠因疊加而增強。在實數域上x(t)直接自乘沒有問題。在複數域上，x(t)自乘後輻角還是亂的。如果對其中一個x(t)取一下共軛，相乘後輻角就統一變成0了，積分時就能夠取得疊加增強的效果。所以在複數域上，自相關是這樣的：謝邀。
1.
不過以我的數學功底，我說不清楚「為什麼定義中有共軛？」這其實是一個很深的問題。也許，我能給一點方向，如果你有興趣，可以繼續探索。也許你找一個數學博士聊一聊，收穫會更大。因為我們在信號處理里，我們也會遇到複數信號，所以，我們要定義複數信號的內積（update: 之前有誤，這裡是把信號看成了確定函數，也就只是時間的函數。才會討論函數的內積。後面，在討論自相關函數的時候，其實信號是被當成了隨機過程。隨機過程是時間和事件的函數。於是，那裡不再有內積了，而是兩個隨機變數的相關。相關的定義為什麼要有共軛呢？我不知道，這是否和下面討論內積是否有共軛有關係。）。
注意，這裡說的內積是信號的內積，信號是時間的函數，所以，這裡的內積是函數的內積。
我記得我才開始學那會，說到函數的內積，我會聯想到我熟悉的：向量的內積。
然後我就會像，這一個函數，以時間為自變數，那它的值，實際上就是和t一一對應的一系列的值，這麼說來，一個函數，實際上就是一個，無窮維的向量。這些向量的第一個是t=0的值，第二個是t=0+的值，依次下去。
這樣的確很直觀，可是，到了後來，我覺得這個「錯誤」的理解其實有可能阻止了你去接受一些更通用的點子。
函數的內積，就是函數的內積，別把一個函數看成一個我們習慣了的向量。函數的內積是從向量的內積推廣而來的。
或者說，有人從我們熟悉的向量的內積上，總結出了一些東西（這些東西我們成為axioms），然後那人就說，你定義某種運算，只要滿足這些axioms，那麼它就可以叫內積。
實際上，概率也是這麼定義，或者說統一起來的。（歷史上「概率」是什麼，其實是有爭論的，有貝葉斯學派的人，覺得那是描述確定性的，有頻率學派的人，覺得那是頻率。其實，仔細想想，這二者其實差別還是挺大的。但是，有個傢伙就出來看了一下，把雙方的共同點，看看能否用一些axioms抽象出來，他成功了。於是，你的概率的課本裡面，真的到了概率的定義那一段的時候，你可能會覺得怪怪的。會說，滿足這幾條的東西，就是概率。）現在回到內積。
函數的內積是從原本我們習慣了的，實數向量的內積推廣而來的。所以這個問題實際上，最後變成了： 「為什麼內積的定義裡面要有共軛呢？」
這個問題，我不知道了。
類似的討論在這裡：Why do inner products require conjugation?我不是太看得懂他們的討論。不過，wikipedia上倒是有一句話提到這一點:
這種定義在幾何上更加自然，因為這種定義下，你的內積乘上一個模為1的複數（比如i，複平面上半徑為1就可以），再取模，是不會變的。而如果不取共軛的話，得到的內積，乘上一個模為1的複數，再取模，就可能變了。繞了半天，在關鍵點，我還是沒能給一個答案。或許，一個數學功底很深厚的人，可以很簡單地講出來。題主可以期待下。2.
自相關函數是什麼。大約在兩年前，我第一次接觸到這個概念的時候，我被一大堆名字類似的名詞困擾了好久。
correlation,auto-correlation,cross-correlation.如果要開始，首先要回到的問題是：你把信號看成什麼？
這個不是一個有惟一答案的問題，它不是「信號是什麼」這個問題，而是，你，很主觀的，你，把它看成什麼。
你可以把信號看成一個 確定性的函數，只是，比如你的信號是經過了無數個子系統，才被你採集到的，那麼這無數個系統都對信號有一點點的小小的改變，可能真的建一個模型出來，它會有成千上萬個參數。
這樣的模型，在實際應用的時候，反而是沒有意義的。
那麼，你還可以把信號看成隨機過程。實際上，這是一種偷懶。想想一個概率分布，不需要多少個參數就能確定。它可能不完全符合實際的情況，但是卻足夠在某個精度範圍內描述它了。
我們把一個信號，看成一個隨機過程。
一個隨機過程的每一個時刻，都是一個隨機變數。
隨機變數是事件的函數。一個信號，是一個以時間和事件為自變數的二元函數。自相關函數，是一個以時間為自變數的函數。
比一個信號少了事件這個自變數。所以，在自相關函數的定義中，你看到了求期望。它是時間的函數是什麼意思呢？
準確地說，其實是兩個時間的函數。剛剛說了，每一個時刻都是一個隨機變數。在所有的時刻中，抽出兩個時刻來，這兩個隨機變數的內積的期望（這裡有誤，應該是兩個隨機變數的相關的期望）。
而我們常常討論的，叫做平穩隨機過程。
這種隨機過程是，任意抽的兩個時刻，如果時間差是T。另外，其他的任意兩個時刻，如果時間差也是T，那麼這兩組隨機變數的內積的期望（這裡有誤，應該是兩個隨機變數的相關的期望）是一樣的。我覺得，可能理解上，最重要的點是：自相關函數有一個求期望。
如果你看到了一個沒有求期望的式子，而是一個信號和自己的時延做相關，這個東西，實際上是自相關函數的估計。
仔細想想，你會覺得奇怪。一個時延上的相關，去估計一個概率上的平均。沒錯，能夠這樣估計的隨機過程，還有一個特性，叫做遍歷性。一開始可能理解有點費神。
我個人覺得，理解是個不斷要放手的過程。放開那些以前覺得理所當然的東西。比如，自相關函數，我個人覺得，最好從隨機變數的概念，再到隨機過程的概念，一點點，慢慢地看過來，可能才會好理解一點。而這個過程中，至少我個人的經歷是，不斷地一次次推翻了自己之前的理解。祝好。最近在讀《Linear Algebra Done Right》，看到這個問題真是excited！
首先，注意到自相關函數是這麼定義的：
這不就是把積分區間擴大到(-int, int)，把g(x)寫成f(x-tau)嗎？
也就是說，自相關是時移tau後與自己的內積！函數正交的數學或物理含義？ - 物理學函數的內積為什麼要這麼定義？ - 數學如果兩個向量的內積（點積）為0，則它們相互「垂直」；如果兩個向量的內積（點積）標準化後為1，則它們」同向「；如果兩個向量的內積（點積）標準化後為-1，則它們「反向」。---updateV2-20170405------------------------------------
update20170405:前些月複習了通信原理和隨機過程，在通信裡面大部分情況下，信號都是隨機的，而我們處理信號的一大利器就是Fourier變換，所以，得想辦法利用Fourier變換，但是，Fourier變換隻能用於確知信號，隨機信號是不可以做Fourier變換的，所以可以利用相關函數(自相關函數、互相關函數)對信號進行運算，這樣就可以對運算後的信號做Fourier變換啦。
---以下為原答案V1-20141004---------------------------
一個信號只能是功率信號與能量信號之一，不會兩者都是，但可以兩者都不是。
1.能量信號的自相關函數與其能量譜密度是一對傅氏變換對。
能量信號（確定性信號）在頻域中重要的一個性質就是能量譜密度，能量譜密度是單位帶寬中的信號能量與頻率f的關係。
所以從時域中看，能量譜密度就是能量信號的自相關函數。
令為實能量信號，且
則的能量
,
能量譜密度中有共軛，所以對能量譜密度求傅氏反變換，得到能量信號的自相關函數
.
2.功率信號的自相關函數與其功率譜密度是一對傅氏變換對。
（功率信號可以看做取周期信號的一個周期，令
,求能量，再求平均功率，類似的）
3.定義中的卷積只不過可以湊巧可以變換成卷積形式，（你仔細看看自相關函數跟卷積定義形式還是有差別的），共軛的表面原因，是從上面推導而來的，其實跟複數域上的內積有關係。
共軛為什麼會需要，我覺得因為現在信號處理是常常都是用IQ兩路來分析實現，即複數。即接收的信號一般會有一定的相位偏移，而接收端做自相關時，取共軛的話，會抵消掉這個相位偏移。這樣和你模擬時用實數分析等效了。
怎麼判別隨機過程數學模型對隨機信號建模的有效性？
請教一下：信號x(t)和y(t)之間的互相關性計算如何通過在發布回答頻域的計算得來？
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