存在導函數每一點都不連續的函數嗎？

01-06

設函數 $f(x)$ 在 $mathbf{R}$ 上的連續，並且可微，那 $f$ 在 $mathbf{R}$ 上可能每一點都不連續嗎？

周民強。實變函數論。北京大學出版社。

Page 54 思考題 5：閉區間上導函數連續點是稠密的。

思考題是沒有答案的，這裡說說我的想法。

看 Page 52 例 20：連續函數列極限的不連續點集為第一綱集。
把導函數看作差分函數列的極限，差分函數都是連續的（稍微搞一搞定義就可以了）。這樣就可以得到它的不連續點集是第一綱集了。

Page 51 證明了 $mathrm{R}^n$ 有 Baire 性， Baire 性 $Leftrightarrow$ 第一綱集的余集是稠密集。

第一綱集：可數個無處稠密集的並。

無處稠密集：它的閉包沒有內點。

稠密：閉包為全集。

Baire 性：可數個無內點的閉集的並仍然沒有內點。

來補充一下@王占宇的回答。

考慮函數序列 $extstyle f_n(x)=frac{f(x+frac1n)-f(x)}{frac1n}$ ，由 $f(x)$ 在 $mathbf{R}$ 上連續知，對每個 $ngeq 1$ ， $f_n(x)$ 也在 $mathbf{R}$ 上連續，且 $extstyle lim_{n ightarrow infty}{f_k(x)} =f$ 。我們有下面命題

命題設 $f_n(x)in C(mathbf{R}^d) (n=1,2,3,dots)$ 是連續函數，若 $extstyle lim_{n ightarrow infty}{f_n(x)} =f(x) (xin mathbf{R}^d)$ ，則 $f(x)$ 的不連續點為第一綱集。

注設 $Esubseteq mathbf{R}^d$ ，若 $E$ 的閉包 $overline{E}=mathbf{R}^d$ ，則稱 $E$ 為 $mathbf{R}^d$ 中稠密集；若 $overline{E}$ 無內點，則稱 $E$ 為 $mathbf{R}^d$ 中無處稠密集；可數個無處稠密集的並集稱為第一綱集，不是第一綱集稱為第二綱集。

根據命題知， $f$ 的不連續點為第一綱集，再根據Baire綱定理

定理(Baire) 設是 $F_{sigma}$ 集，即 $extstyle E=igcup_{n=1}^{infty} F_n$ ， $F_n (n=1,2,3,dots)$ 是閉集，若每個 $F_n$ 皆無內點，則 $E$ 也無內點。

注若 $Esubseteq mathbf{R}^d$ 是可數個閉集的並集，則稱 $E$ 為 $F_{sigma}$ （型）集；若 $Esubseteq mathbf{R}^d$ 是可數個開集的交集，則稱 $E$ 為 $G_{delta}$ （型）集。第一綱集的補集是稠密集。因為設 $E=$ 第一綱集，則 $extstyle E=igcup_{n=1}^{infty} E_n$ ，其中 $E_n$ 是無處稠密集，故 $overline{E_n}$ 無內點，又 $extstyle Esubseteq igcup_{n=1}^{infty}overline{ E_n}$ ，由Baire綱定理， $E$ 無內點，因此 $E^{c}$ 是稠密集，也就是 $f$ 的連續點是稠密集，而稠密集不會是 $emptyset$ ，故不存在這樣的函數。總結一下：