如何證明三角形兩邊之和大於第三邊？

01-06

這不是公理，請給出證明過程

（歐幾里德及其他很多度量空間中）兩點之間直線（測地線）最短。證畢……

（嚴格凸賦范空間中）這是距離定義的一環。

（普通讀者請忽略括弧中的內容。）

如果用希爾伯特的公理體系的話，這個是要證的（連「三個點共線，最少有一個點在另外兩點之間」也要證，「至多」是順序公理3）。希爾伯特公理_百度百科這裡有全部公理。

大概說一下過程，先定義線段的長短、角的大小，用遷移公理（合同公理1、4）。將兩個線段移動到同一條射線上，一個端點與射線的端點重合，由線段的端點（三個點）的順序關係（誰在誰之間）定義線段的長度大小關係，要證明定義合理性（與射線的選取無關）。角類似定義大小。要證明=是等價關係，≥是全序關係，&>有傳遞性，還有關於+的一些性質。

由合同公理5得「等角對等邊」，再得「大邊對大角」（以大邊為腰補成一個等腰三角形），然後得「三角形兩邊之和大於第三邊」（把兩個邊之和和另一條邊放在同一個三角形中，考慮角的大小關係）。

大邊對大角：

△ABC，AB&>AC，延伸AC到D使AD=AB，由AD=AB&>AC知C在A、D之間，所以∠ACB&>∠ADB（三角形外角大於不相鄰的內角，定理22，合同公理的推論）=∠ABD&>∠ABC

三角形兩邊之和大於第三邊：

△ABC，延伸AC到D使得CB=CD，∠ABD&>∠CBD=∠CDB（&>是因為C在A、D之間，=是因為等邊對等角），由大邊對大角，AC+CB=AD&>AB。

注意：有關順序關係的地方要小心。

要想仔細搞清楚，非要看《幾何基礎》（幾何基礎（第二版）（D.希爾伯特）.pdf_免費高速下載）不可。初中生的知識就可以看懂，但是要小心，裡面有很多高超的技巧，比如證明一條直線上4個點有一個全序，很複雜，很有技巧。

這個定理證明不需要平行公理，也不需要連續公理。

希爾伯特歐氏幾何公理（來自百度百科）

公理Ⅰ結合公理

Ⅰ1對於任意兩個不同的點A、B，存在著直線a通過每個點A、B．

Ⅰ2對於任意兩個不同的點A、B，至多存在著一條直線通過每個點A、B．

Ⅰ3在每條直線上至少有兩個點；至少存在著三個點不在一條直線上．

Ⅰ4對於不在一條直線上的任意三個點A、B、C，存在著平面α通過每個點A、B、C．在每個平面上至少有一個點．

Ⅰ5對於不在一條直線上的任意三個點A、B、C，至多有一個平面通過每個點A、B、C．

Ⅰ6如果直線a上的兩個點A、B在平面α上，那麼直線a上的每個點都在平面α上．

Ⅰ7如果兩個平面α、β有公共點A，那麼至少還有另一公共點B．

Ⅰ8至少存在著四個點不在一個平面上．

公理Ⅱ順序公理

Ⅱ1如果點B在點A和點C之間，那麼A、B、C是一條直線上的不同的三點，且B也在C、A之間．

Ⅱ2對於任意兩點A和B，直線AB上至少有一點C，使得B在A、C之間．

Ⅱ3在一條直線上的任意三點中，至多有一點在其餘兩點之間．

Ⅱ4設A、B、C是不在一條直線上的三個點；直線a在平面ABC上但不通過A、B、C中任一點；如果a通過線段AB的一個內點，（①線段AB的內點即A、B之間的點．）那麼a也必通過AC或BC的一個內點(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．

公理Ⅲ合同公理(合同記作≡)

Ⅲ1如果A、B是直線a上兩點，A′是直線a或另一條直線a′上的一點，那麼在a或a′上點A′的某一側必有且只有一點B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．

Ⅲ2如果兩線段都合同於第三線段，這兩線段也合同．

Ⅲ3設AB、BC是直線a上的兩線段且無公共的內點；A′B′、B′C′是a或另一直線a′上的兩線段，也無公共的內點．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那麼AC≡A′C′．

Ⅲ4設平面α上給定∠(h，k)，在α或另一平面α′上給定直線a′和a′所確定的某一側，如果h′是α′上以點O′為端點的射線，那麼必有且只有一條以O′為端點的射線k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．

Ⅲ5設A、B、C是不在一條直線上的三點，A′、B′、C′也是不在一條直線上的三點，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那麼∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．

公理Ⅳ平行公理

過定直線外一點，至多有一條直線與該直線平行．

公理Ⅴ連續公理

Ⅴ1如果AB和CD是任意兩線段，那麼以A為端點的射線AB上，必有這樣的有限個點A1，A2，…，An，使得線段AA1，A1A2，…，An-1An都和線段CD合同，而且B在An-1和An之間(阿基米德公理)．

Ⅴ2一直線上的點集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的條件下，不可能再行擴充．

注1．有些《幾何基礎》書中，常以康托(Cantor，1845—1918)

公理代替上述的Ⅴ2：

「一條直線上如果有線段的無窮序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一線段都在前一線段的內部，且對於任何線段PQ總有一個n存在，使得AnBn&注2．也有的書中，用與V1，V2等價的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作為連續公理：

「如果線段AB及其內部的所有點能分為有下列性質的兩類：

(1)每點恰屬一類；A屬於第一類，B屬於第二類；

(2)第一類中異於A的每個點在A和第二類點之間．

那麼，必有一點C，使A、C間的點都屬於第一類，而C、B間的點都屬於第二類．」

排名第一答案言簡意賅。

現在啰嗦一下，對其第二個角度進行一下擴展，權當科普一下這個有趣的關於「距離」數學定義。

（嚴格凸賦范空間中）這是距離定義的一環。

這樣看起來太高大上了，會心者肯定會一笑，不明白的還是不明白。現在簡單講講。

在線性代數-中高級課本中，會由大家熟悉的歐里幾得空間（ $Re ^{n}$ ）擴展到一般的對於廣義的「向量空間」的定義（8個Axioms，大家可以Vector space）。至此，蘋果香蕉栗子加上一定的合規的算術法則也能自成一個向量空間了。

同樣的，「距離」這個概念，由大家熟悉的歐里幾得空間的「平方和開根號」，被廣義化，形成了Norm（範數）這個概念。

Norm（範數/距離）是什麼？是一種映射，一種把任意的向量空間映射到實數集的映射。（換句話說，是把不能比大小的向量賦予一定的大小值的意義。）

那麼同樣的，定義Norm，與定義「Vector Space」一樣，也是用Axioms定義的！那麼是哪些Axioms呢？

Norm (mathematics)

Given a vector spaceV over a subfieldF of the complex numbers, a norm onV is a functionp: V → R with the following properties
For all a ∈ F and all u, v ∈ V,

p(av) = |a| p(v), (absolute homogeneity or absolute scalability).

p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangle inequality or subadditivity).

If p(v) = 0 then v is the zero vector (separates points).

符合上面三個條件的即可定義為一個向量的距離，即為Norm。

有心的讀者一定已經看到第二條了，對！就是咱們的三角不等式！

而歐里幾得Norm（平方和開根號）當然是Norm的一種，更精確說是叫2-Norm（大家猛擊上面維基百科的Norm裡面有定義p-Norm的方式）。

所以說，題主的問題在線性代數者看來，其實就是公理呀:)

----題外話-----

p-Norm 很有意思，大家知道2-Norm的 $left|| x ight||=1$ 是一個單位圓，那麼p-Norm的「單位圓」呢……

請看下圖：

要是要數理證明的話可以平面直角坐標系來算，隨便設三個點只要他們不在一條直線上必然成三角形，然後代入距離公式算算就知道

這不是初中數學嗎。。。樓主怎麼了。

因為兩點之間線段最短，三角形三頂點ABC，可以視為，一個長邊AC的長度為從A到C的最短路線（直線），那麼另外兩邊AB,BC的長度和就等於走A到B，B到C，這樣的路線肯定比AC長。

在歐幾里得幾何中，存在一個這樣的公理：兩點之間，線段最短。

（當然在黎曼幾何里就不一定成立了，當然你也可以創建一個知乎幾何體系）

那麼回到原題，由於兩點之間，線段最短，故兩點之間折線的長度要長於最短線段的長度，

也就是三角形兩邊長度和大於第三邊了。

兩點之間，線段最短。

兩點之間直線（測地線）最短。

這個不是證明，這個作者對證明這個詞無感，也就是對定理體系無感，數學中還有更基本的證明，比如證明1+1=2，你不能直接把結論寫出來。

問題轉換一下，這樣提問:一個平面怎麼才能構成一歐幾里得三角形呢?利用解析幾何的知識，就是要三個二元一次方程組，即，三條直線兩兩相交，只要得到這種方程組的一般形式，進而考察，是否存在大於第三邊的情況。

已知一個平面三角形abc

步驟

1. 畫垂直輔助線垂直於ab得交點d，

則ab=ad+bd

2. 分成兩個直角三角形acd與bcd

3. 根據勾股定理，得

ad2+cd2=ac2

bd2+cd2=bc2

4. 將兩條方程相加，得

ad2+bd2=ac2+bc2-2cd2

5. 長度嚴格大於0，所以兩邊平方暴力消去

6. ad+bd=ab&

似乎坐標可以直接算出來=。=

可以認為是度量空間里「距離（度量）」這個概念被定義出來的時候的幾個基本屬性之一

另幾個屬性是：

對稱性（d(x,y)＝d(y,x)）

非退化性（d(x,y)＝0 當且僅當x＝y）

非負性（d(x,y)≥0）

滿足這三個條件再加上三角不等式d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)

的二元映射d:X×X→[0,＋∞)

（這裡x,y,z∈X）

可以作為集合X的度量（距離），此時二元組(X,d)即為度量空間

三維歐氏空間當然是一個特殊的度量空間，所以……

因|ab+bcl=|ac|，又|ab|+|bc|≥ |ab+bcl，所以有 |ab|+|bc|≥|ac|。

其中ab為矢量。

很簡單啊，根據公理：兩點間直線最短。可以推斷：三角形兩邊之和一定大於第三邊，若不是，則違反了公理。

這道題學過高等數學的人都不一定能解開，各位別秀下限了

作為初中學生，參加中考，直接利用這個定理即可。

做垂線應該可以吧~ 比如說有△ABC，作CD⊥AB於D，顯然∠CDA=∠CDB=90°；而∠A或∠B必有一個為銳角，根據「大角對大邊，小角對小邊」，可證AC&>AD，同理亦得BC&>DB，則AC+BC&>AD+BD=AB. 其它的情況應該差不多吧。。。

三角形相對好定義，連接三個不共線點構成的圖形

關鍵在於定義什麼是直線

比如在地球上，連接北極點和赤道上東經1度，西經1度優弧就構成一個球面三角，底邊（赤道上的優弧，4萬公里）比兩腰的和（約2萬公里）大多了。

如果某個空間中心點引力足夠大，光線就像地球球面一樣彎曲，兩點間最短路徑就是光線走的路徑，相當於通常概念的直線。在那裡觀測的話，三角形兩邊之和大於小於第三邊都有可能。在那裡，三角形內角和是大於180度的。

不用太複雜，用初中生的方法就可以證明：以任意一邊為基準，其餘兩邊的一個端點分別固定於基準直線的兩端，以基準直線的兩端點為圓心，其餘兩邊邊長為半徑作圓，以三條直線重疊時為開始，假如兩邊之和小於基準線，則兩圓軌跡根本無交點，所以構不成三角形；假如兩邊之和等於基準線，則軌跡相交，且唯一交點也就是切點在基準線上，也無法構成三角形。

是不是要定義在2維世界？