水的折射率與相對介電常數有矛盾嗎？

01-06

液態水的折射率是 1.33，但我查到水的相對介電常數是 81。對於非磁物質，折射率不是約等於相對介電常數的平方根嗎？

折射率約等於相對介電常數的平方根，但是這個相對介電常數需要在光頻率下測量，而不是低頻測量的結果。。

水是液態的，水分子可以自由轉動，同時水分子是極性分子，所以很自然地，在低頻外電場下，水的極化響應主要表現為為水分子的轉動。。

然而，分子的轉動本身，由於轉動慣量較大，導致在高頻電場下的響應非常有限，所以這個時候，水的極化響應就主要表現為水分子的點荷分布變化，單純地就是因為電子云的響應比分子轉動快得多。。

相關討論：請問，高中物理中電介質極化和導體的區別是什麼？

介電常數是隨頻率變化的。你說的水的折射率對應的是水在可見光頻段的介電常數。

而通常情況下查到的沒有備註測量頻段的介電常數都是靜電場下的。

建議可以參考下這篇文章，http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a312143.pdf 。這篇文章是1996年佛羅里達大學M. Mesenbrink提交的學位論文。裡面比較詳細的比較了冰和水從可見光，近/中/遠紅外，微波到長波段的折射率。

大概看了下，從表1.1里可見這篇文章的有些數據也是參考別人的文獻，第一章大概講了下常規的折射率和介電常數的關係。這篇文章的核心內容可能是第二章的通過求待定係數來數值計算折射率實部和虛部的方法，接下來就是對分別上述頻段的水和冰的實驗數據進行擬合計算，最後表3.18和3.19里的好像就是擬合結果和實驗結果的均方根誤差。

從圖3.11給出了水在文章關注的全頻段內的擬合的折射率變化圖線，可見從隨著頻率變高，水的介電常數實部逐漸下降，虛部損耗在射頻段逐漸降低，但波長1mm-10mm之間會有幾個吸收峰出現，不知道這是不是就是常說的太赫茲水分子吸收峰。

維基還有其他資料上可以查到water absorption spectrum，不知道這個水分子的介電常數和吸收能否對應上。因為理論上虛部表示傳播衰減，而吸收除了衰減可能還要考慮和空間阻抗匹配。

以上個人觀點，歡迎指正

我們知道，光在介質中的相速度為

$v =frac {c}{sqrt {εμ}}$ 。

對於多數透明介質，在光學頻段，有 $μ≈1$ ，

於是，根據折射率的定義

$n:=frac {c }{v }$ ，

我們有 $n≈sqrt ε$ 。

下面，我們詳細地討論透明介質分子在與光相互作用時，介電常數隨光的頻率如何變化。

我們知道，在填滿介質並且在板上帶有電荷 $Q$ 產生電場 ${f E} _Q (t )$ 的電容器里，介質中的局域空間平均電場 ${f E} (t )$ 是 ${f E} _Q (t )$ 和由感應電極化作用引起的電場 $-4pi {f p} (t )$ 的疊加。即

${f E} (t )={f E} _Q (t )-4pi {f p }(t)$ 。①

其中， ${f p }(t )$ 是單位體積內的感應電偶極矩。即

${f p}(t)=Nqx(t){f hat x}$ 。 ②

其中， $N$ 是每單位體積的極化電荷數， $q$ 是每個極化電荷的電量， $x (t )$ 是電荷離開它的平衡位置的位移， $f hat x$ 是單位矢量。現在，我們取 ${f E }_Q$ ， $f p$ 和 $f E$ 都沿著 $f hat x$ 方向，並省略矢量記號。由於電容量被定義為

$C:=frac {Q}{U}$ 。

其中， $U$ 是兩板之間的電勢差。於是，在填進介質之後，由於感應極化引起電場強度減小， $U$ 也成比例地減小，從而 $C$ 增加。 $C$ 增加到的倍數被稱為介電常數 $ε$ 。因此，根據 ①、② 兩式，我們有

$oxed{ε=frac { E_Q }{E }=1+frac {4pi p(t)}{E(t )}=1+frac {4pi Nqx(t)}{E(t )}}$ 。

下面，我們假定一個透明介質的分子由一個「重而不動」的原子核與依附在核上的電子組成。電子擁有相對較小的質量 $m$ ，電荷為 $q$ 。電子由彈性係數為 $m ω_0^2$ 的彈簧束縛在核上。由於光傳播到介質中，與其相互作用，電子的運動因此受到阻尼，阻尼係數記作 $γ$ 。根據牛頓第二定律，可以列出電子的動力學方程

$mfrac{ { m d} ^2 x}{{ m d} t ^2}=qE(t)-(mω_0^2)x-mγfrac{ { m d} x}{{ m d} t}$ 。 ③

下面，我們假定外電場以角頻率 $ω$ 做簡諧運動。因此， $p(t)$ 和 $E (t )$ 也以頻率 $ω$ 變化。由此，我們可以取在某一個「普通」分子上的電場

$E (t )=E _0 cos ωt$ ，

另一方面，方程 ③ 恰好是當 $F _0=q E _0$ 時簡諧振子的情況。穩態振蕩的解為

$x (T )=A _{彈性}cos ωt +A _{吸收}sin ωt$ 。

式中， $A _{彈性}$ 和 $A _{吸收}$ 分別為彈性振幅和吸收振幅。假如我們不考慮在光的頻率接近吸收共振時，透明介質分子的行為，則此時可以忽略 $A _{吸收}sin ωt$ 。如果不接近共振，則是很好的近似。

由上述討論可知，折射率的平方可以表示為

$n^2=ε=1+4pi Nqfrac {x(t)}{E(t)}=1+4pi Nqfrac {A_{吸收}}{E_0}$ 。

假如我們遠離共振，即對方程 ③ 令 $γ=0$ ，我們有

$A_{彈性}=frac {F_0}{m}frac{1}{ω_0^2-ω^2}=frac {qE_0}{m}frac{1}{ω_0^2-ω^2}$ 。

因此，我們得到

$oxed {n^2=ε=1+frac {4pi Nq^2}{m}frac{1}{ω_0^2-ω^2}}$ 。 ④

這個結論是以具有單一共振的簡單模型為基礎的。為了使它適用於實際的介質，我們應當對所有主要共振對 $(n^2-1)$ 的貢獻進行加和。此時，④ 式中的 $ω_0$ 可以認為是「平均」共振頻率。對於 $N$ ，我們應當取單位體積的分子數乘上每個分子貢獻的共振的平均數。做出顯著貢獻的電子數約等於外層電子數。

當 $ω$ 在可見光頻率範圍內時，玻璃中最重要的共振發生在紫外頻率處，其波長的數量級為 $10^{-5} m cm$ 或更小一些。可見光的波長約為這個波長的 5 倍。相應地，可見光的頻率約為頻率共振頻率的 1/5。因此，根據 ④ 式， $n ^2>1$ 。這同關於可見光在玻璃中的實驗相吻合。再注意到，當 $ω$ 增加時，分母 $(ω_0^2-ω^2)$ 變小，因此 $n^2$ 變大。於是，頻率較高的紫光，其折射率比頻率較低的紅光要大。這與光的色散實驗的結論完全吻合！