沒有基的線性空間，是否可以構造，如何構造？

剛剛看到丘維聲教授的高等代數中寫到，證明任一域上的任一線性空間必有基，需要偏序集和佐恩引理。而眾所周知，佐恩引理和選擇公理等價，而選擇公理具有爭議，若不承認選擇公理，我們是否無法證明線性空間必有基？如果不能證明，是否存在一個沒有基的線性空間？如果存在，該如何構造呢？

PS：本人覺得，應該無能力理解本問題的答案

第一個問題：若不承認選擇公理，我們是否無法證明線性空間必有基？

如果你承認的體系ZF公理系統。那麼答案是肯定，因為選擇公理和命題「任意一個線性空間都有基」等價。如果ZF能證明這個命題，自然能推出選擇公理，於是矛盾。

第二個問題：若不承認選擇公理，是否存在一個沒有基的線性空間？

如果你這個問題是指「在ZF下，能不能證明存在一個沒有基的線性空間」。那麼，但是不能。這是因為┐ AC在ZF下也推不出來，如果ZF下「構造」一個線性空間沒有基，那麼由前一個問題的回答中的等價性，能得到ZF推出┐ AC的矛盾。

第三個問題：若不承認選擇公理，該如何構造呢？

這裡可以提供一個思路，沒有真正的構造。所以「構造」要打引號。

回憶一下，我們在數學分析里經常做的習題。

設函數 f:R→R，滿足對任意實數x,y，f(x+y)=f(x)+f(y)，如果f是連續的，則f是線性函數。就是說存在實數a，使得f(x)=ax。

大一的經典習題，證明過程不再贅述。

現在，上升的實變函數層面，如果f不是連續，條件減弱為可測函數。結論同樣成立。（提示，可以用魯金定理證明這樣的函數其實連續）

好，現在什麼條件都沒有，能不能構造一個滿足條件不連續的f呢？我們說，利用選擇公理，可以「構造」這個函數。這個也是經典習題，這裡提示一下證明的過程。

把實數R看成有理數域Q上的線性空間，這個時候R成了無限維度的線性空間。根據選擇公理，這樣的線性空間有一個（Hamel）基，設為B。這裡不妨讓B的條件強一點，我們令1∈B。

那麼，對任意的實數x，我們可以找到B中的有限多個實數，把x唯一的線性表示出來。

就是說 x = q1·b1 + q2·b2 + ... qk·bk ， 其中b1∈B，qi∈Q

這個時候b1，....，bk中，可能選到1，可能沒選到1.於是設定函數值為

f(x)=0 如果x的線性表示所用的基元素沒有選到1，否則f(x)=1的係數（就是1前面乘的那個qi）。

你可以自己驗證一下這個函數不連續(提示，0點的任何鄰域都不是有界的)。

好了，這個習題說明了什麼呢？說明了，當把R看成Q上的線性空間的時候，只要我們找到了這個空間的基，就能「構造」出一個不連續的函數，滿足對任意的x，y，f(x+y)=f(x)+f(y)。

但是，在集合論中，下面的體系是協調的，儘管它和選擇公理矛盾。

體系一： ZF + 「所有實數子集都勒貝格可測」

回憶，實變函數函數f是可測函數的一個結論：如果實函數f對任意開集U，它的原像集{x:f(x)∈U}是可測的，那麼f可測。（有的抽象的測度論，直接把這個當可測函數的定義，一般實變書當成一個等價性質）

也就是說，因為不可測集合的存在，才有了不可測函數的存在。

這意味著體系一中，所有的實函數都可測。那麼就能推出所有滿足前述條件的實函數都是連續的。

這，其實說明了，在這樣的體系下，R看成Q的線性空間，沒有基。

謝邀：你這個問題在MSE上已經被討論過了：

Vector Spaces and AC

最重要的知道「任何一個向量空間都有基」和「選擇公里」是等價的。 Andreas Blass 在1984年證明了如果「任何一個向量空間都有基」那麼「選擇公理」成立。

不承認選擇公理有兩種情況：1,假設它是錯的，2.不去理會它的對錯，獨立於它。

1.假設「選擇公里是錯誤的」（這和不假設選擇公里是兩回事），那麼你自然可以構造出一個沒有基的向量空間。因為它們是一回事。也就是說你只能通過假設來證明這個空間存在。

2 首先，離開選擇公理後，你需要選擇一個公理系統，這個系統獨立於選擇公理論，不去假設它的對錯，那麼抱歉，你自然無法證明這個命題"一個線性空間是否一定有基"，因為這個系統是獨立於選擇公理的。我們常見的系統ZF被證明是獨立於選擇公理的。 這也就是在我們默認的公理系統ZF下，你無法證明是否存在一個沒有基的向量空間。自然你也不可能構造出反例。

下面是 Andreas Blass 的論文

http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf

不只是這個命題，下面的命題和都選擇公理是等價

可以，但是你想用來幹什麼決定了它需要怎樣構造