數學系本科生一些課程的入門到精學教材有推薦嗎？

01-06

我以後想繼續學習數學，有些課學校沒開，有些課學校開了但是講的比較水，求諸位大佬推薦學習資料「從入門到提高」，能談談自己學習這些課的感受和方法最好了
下面是課程：
偏微分方程，代數拓撲初步，李群和李代數初步，抽象代數，微分幾何，隨機過程，同調論，泛函分析。
在此先謝過各位大佬！

謝邀。

偏微分方程，這個我學得不多，對三類數理方程有基本概念的人想從數學的角度學PDE自然可以看Evans，不過我也沒看多少，不做這個。

代數拓撲初步，Hatcher那本比較有名但是也實在太啰嗦，Mumkres好像也寫過一本代數拓撲原理。另外如果只考慮實係數的de Rham cohomology的話，From Calculus to Cohomology和Bott-Tu(代數拓撲中的微分形式)也不錯，Bott-Tu最後還講了一點譜序列。當然，學代數拓撲自然要有基本的點集拓撲和微分拓撲常識。

李群和李代數初步，GTM有幾本講李代數的但是我沒看過；有本GTM叫可微流形和李群基礎，我其實沒怎麼看過，不過可能會從微分幾何的角度講一些李群的內容吧。我老闆其實寫過一本notes：http://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf，但是漏洞錯誤實在太多，謹慎。。

抽象代數，這個沒什麼好說的吧，我就是看復旦楊勁根那本書學的，雖然有點痛苦但也熬過來了——國內其他中文抽代教材我沒看過。進階的話有好多種選擇，比如可以看Artin的書，或者看GTM 73，或者看Jacobson的Basic Algebra，但是我都沒看多少，不做評價。

微分幾何，可以看看do Carmo，他寫過兩本，一本曲線曲面理論的，一本黎曼幾何的，前者我沒看過，後者是經典入門書。

隨機過程，沒系統學過，略。

同調論，沒專門從代數角度學過同調代數，略。Basic Algebra其實有同調代數的相關章節，另外還有幾本以同調代數命名的書，我都沒看過。

泛函分析，雖然我大概是看夏道行那本書入門的，但我就不推薦了。。Peter Lax那本泛函分析是從比較分析的角度講泛函的，我當初準備waive賓大博士生的分析2（主要就講泛函）這門課的時候，老師就推薦我們看那本書，還是值得一看的。順便說一下，參加waive考試的所有學生裡面，只有我一個人考了最高分從而waive成功了（這門課是必修課，waive的意思是老師認可我掌握相關內容了，不用選這門課了），但是題目大部分也是基礎題，跟我本科泛函考試難度差不多。看來複旦學生的基礎還是可以的嘛233，雖然在復旦的時候感覺不到。。

偏微分方程的話先要學泛函，畢竟evans的書里就說不要把偏微分方程看作是泛函的分支。。。然額，這特么不是此地無銀三百兩嘛。。。所以要學偏微分方程，先學泛函。泛函的話先要學實分析，那就從夏道行先生的書開始看，只要看上冊，下冊不太好。然後看嚴加安的測度論，這點學完以後，就可以開始看泛函了，泛函推薦Brezis的，超帶勁！之後最好再看點調和分析，看到震蕩積分就好，最後看Evans吧。。。我最近也在啃。

隨機過程嘛，看你想做哪一塊了，做連續時間的話，推薦鍾開來全套，寫得很嚴謹，同時一點也不啰嗦。之後可以再看看隨機分析。

foreword

本套叢書是數學大師給本科生寫的分析學系列教材。第一作者E.M.Stein是調和分析大師（1999年Wolf獎獲得者），也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經獲得過Fields獎，2006年Fields獎的獲獎者之一即為他的學生陶哲軒。

　　這本教材在Princeton大學使用，同時在其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中得到使用。其教學目的是，用統一的、聯繫的觀點來把現代分析的「核心」內容教給本科生，力圖使本科生的分析學課程能接上現代數學研究的脈絡。共四本書，順序是：

I．傅立葉分析

　　II．複分析

　　III．實分析

　　IV．泛函分析

　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和線性代數，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門。

　　非常值得注意的是，作者把傅立葉分析作為學完大一微積分後的第一門高級分析課。同時，在後續課程中，螺旋式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的，一者，現代數學中傅立葉分析無處不在，既在純數學，如數論的各個方面都有深入的應用，又在應用數學中是絕對的基礎工具。二者，傅立葉分析不光有用，其本身的內容，可以說，就能夠把數學中的幾大主要思想都體現出來。這樣，學生們先學這門課，對數學就能有鮮活的了解，既知道它的用處，又能夠「連續」地欣賞到數學中的各種大思想、大美妙。接著，是學同樣具有深刻應用和理論優美性於一體的複分析。學完這兩門課，學生已經有了相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學後面比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多、動機充分得多。

　　這種教法，國內還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體制還存在一些問題，比如數學系研究生入學考試，以往最關鍵的是初試，但初試只考數學分析和高等代數，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數本科生，只用功在這兩門低年級課程上，而在高年級後續課程，以及現代數學的眼界上有很大的欠缺。這樣，導致他們在研究生階段後勁不足，需要補的東西過多，而疲於奔命。

　　那麼，為彌補這種不足，國內的教材顯然是不夠的。列舉幾個原因如下：

1．比如複變函數這門課，即使國內最好的本科教材，其覆蓋的主要內容也僅是這套書中《複分析》的1／3，也就是前一百頁。其後面的內容，我們很多研究生也未必學到，但那些知識，在以後做數學研究時，卻往往用到。

2．國內的教材，往往只教授其知識本身，對這個知識的來龍去脈，後續應用，均有很大的欠缺。比如實變函數（實分析），為什麼要學這麼抽象的東西呢，從書本上是不太能看到的，但是Stein卻以Fourier分析為線索，將這些知識串起來，說明了其中的因果。

　　因此在目前情況下，這種大學數學教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠學校的本科生，他們可能很用功，已經很好地掌握了數學分析、高等代數這兩門低年級課程，研究生初試成績很高。但對於高年級課程掌握不夠，有些甚至未學過，所以在入學考試的第二階段——面試過程中，就捉襟見肘，顯露出不足。所以，最近幾年，各高校亦開始重視研究生考試的面試階段。那些知識面和理解度不夠的同學，往往會在面試時被刷下來。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材，相信他們的知識面足以在分析學領域，應付得了國內任何一所高校的研究生面試，也會更加明白，學了數學以後，要幹什麼，怎麼樣去干。

隨機過程：Ross 應用隨機過程。

首先，想學好一門課只看一本書基本上是不夠的，要把很多書結合起來看。

Hatcher的代數拓撲看不下去可以看看Munkres和Rotman的。Bott Tu的differential forms in algebraic topology並不適合初學者看，要有一定微分拓撲基礎。Spanier也是一本好書，可以當成字典來用。

微分幾何想入門最好先學局部微分幾何，可以借de Carmo的differential geometry of curves and surfaces，Kuhnel的differential geometry: curves, surfaces and manifolds，Spivak的a comprehensive introduction to differential geometry. 整體微分幾何最基礎的就是John Lee的an introduction to smooth manifolds, 然後可以學Wells的Differential Analysis on Complex Manifolds，Mcduff的Introduction to Symplectic Topology，Morgan的The Seiberg-Witten Equations and Applications to the Topology of Smooth Four-Manifolds（當小說看）。

首先你要學好表示論再學李群和李代數。入門可以看看Fulton，Harris的Representation thwory，然後學Helgason的Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces。

抽象代數沒什麼值得推薦的，交換代數的話有三件套：Atiyah McDonalds，Eisenbud和Matsumura。Eisenbud前半本書給學習Hartshorne打下了堅實的基礎，後半本主要說了一些同調方法可以不看。同調代數用Rotman，Hilton和Weibel。會法語最好看看Grothendieck的Tohoku paper。

泛函分析我就看過John Conway的a course in functional analysis, 至於PDE，隨機過程，我根本沒學過，坐等其他高手回答。

個人感覺想做到精通不能只憑一本書或者一門課數學是一個融匯貫通的學科書只能是把你帶進門的一個工具想要精通需要大量的思考與練習還要不斷的質疑和解惑在此推薦以下教材可以考慮看看

1 林元烈的隨機過程很有深度 introduction to stochastic process with R by Robert P. Dobrow配套食用效果更佳

2 華東師範大學數學系的數學分析上下冊其內容詳細清晰深入淺出可用作數學基礎學習

3 高教出版社的常微分方程和習題集

4 高等代數 by 范亮宇中國礦業大學出版社第三版可用作高等代數和線性代數的基礎學習

5 概率論與數理統計 by 茆詩松第二版教材及習題集基礎概念基礎推導體系完整內容與編排非常合理配合數學分析食用進步神速此書也可用於和statistical inference by Casella大神and Berger一起玩後者可用作想進一步學習統計學和概率論的朋友們但有難度當有困惑或問題時可參考前者

有想到新的再補充

以上

有興趣學習數理統計方向研究生的孩紙們可以看看：

1）Statistical Inference 2nd edition, written by Casella Berger. 你會發現新世界的，概率論原來可以講成這樣。不過答案錯誤率很高了據說是Casella的博士生寫的（這我就不造啦。

2）《應用隨機過程》by 林元烈，感謝我基友以及大腿@晴晴小太陽吐血推薦。好書。學校給的英文教材太爛，這本書carry了我一學期。

3）Time Series Analysis with Applications in R 2nd edition, written by Cryer Chan. 時間序列絕對的神書。化繁為簡，一目了然。

4）Principle of Mathematical Analysis 3rd edition, by Rudin. 大名鼎鼎無需多說。大三學的時候根本看不懂，研二了......依舊.........不太懂。不過Rudin思維是很神了哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈。

5）其他的鍛煉邏輯方面的，我推薦看一本離散數學與演算法分析。雖說是CS專業課，但是是最理論的部分，對定理證明的邏輯要求很高。很鍛煉人。

想到再補充。以上。

我來講講代數拓撲有關的書吧

雖然前面有幾個回答都不太喜歡Hather的書，但我覺得對於代數拓撲入門來說的話Hather的書是不錯的，代數拓撲剛開始入門的時候極容易陷入形式化的計算當中而忽略的背後的幾何與拓撲學的含義，Hather的書比較啰嗦，但值得深入讀下去，最好有個老師指導著來讀。我研一的時候授課教授有一個基於Hather這本書的關於同調論的講義，我個人非常喜歡，這個可以伴隨著Hather的書來讀。以下是鏈接：

http://www.math.ku.dk/~moller/f03/algtop/notes/homology.pdf

而且他的官網上還有關於初步的Homotopy Theory和Covering spaces 的講義。都非常的簡潔明了

Algebraic Topology Notes

關於Homotopy Theory 我除了讀Hather的書以外只要用的是Peter.May 的 A concise course in algebraic topology:

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maybook.pdf

這本書比較難，是以同倫的語言來推導整個代數拓撲學。先介紹fibration 和 cofibration 等等在Homotopy Theory 中扮演核心內容的概念。在大部分拓撲書中介紹fibration會先介紹fibre bundle這種可以建立較好的幾何直覺的概念然後在推廣到fibration,這樣對於初學者來說比較容易接受。這本書不適用於初步，適合於有了較好的樸素代數拓撲的基礎後來讀，可以系統化你的拓撲知識。

在學習完同調論以後，可以進入同調代數的學習，同調代數的學習我推薦Rotman的書

An Introduction to Homological Algebra

這本書比較厚，從最簡單的摸和張量積講起，有著大量的練習，而且練習對於正文有很強的補充作用必須要選做。而且前幾章涵蓋了一些基本的交換代數的東西，而且在最後幾章詳細討論了用同調代數的工具來研究一些交換環的性質。

如果想繼續深入的拓撲學的學習，紮實的Category Theory是必備的。現代數學Category Theory無孔不入，大部分的代數概念都可以很範疇化的表示出來，我自己Category Theory 學的不是很系統，都是在學拓撲的過程中學習的，不過我現在也還在系統的補充這方面的知識。我不是很推薦Maclane關於Category Theory 的經典教材，反正我是讀不太下去2333333......如果你對拓撲中的概念不是很熟的話我推薦Leinster 的Basic Category Theory

https://arxiv.org/pdf/1612.09375.pdf

這本講義，我讀過其中的幾章，感覺不錯。當然如果你已經熟練的掌握了拓撲我推薦Riehl 的Category Theory in Contex

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf

這本書很厚，像一個字典，我個人覺得不適合一頁一頁讀完，可以對一些不熟悉的範疇概念進行選讀。

有了良好的Category Theory 和代數拓撲的基礎，大家就可以很廣泛的選讀拓撲中各科方向的書籍了。接下來的我就無法介紹了，才疏學淺，剛剛入坑。

抽象代數入門馮克勤的近世代數引論這本書真的很好群論的質量也高的很帶星號的比較難一點配套的也有一本習題集叫做近世代數三百題深入的話我覺得GTM73 hungerford也很好畢竟自學嘛內容很豐富，處理方式很不錯，題目不太難，總之我覺得比較好誒。強烈推薦。其他的沒怎麼看，不怎麼敢說。僅僅作為參考 Artin 的Algebra Serge Lang的Algbra Galois theory E.artin 文件都放在百度雲盤裡了，在評論區里直接下載就好了。希望對您有幫助.

我覺得你可以看看你喜歡什麼，這些每個方向都太廣了，入個門，選個喜歡的，夠你玩一輩子。。。

我剛剛以為你是軟體工程的，xx從入門到放棄

偏微分方程的話，一開始用Evans的比較深，而且Evans的書覆蓋面我覺得挺廣的。

首先數學分析，常微分方程；接著可以數學物理方程(那時候看的是谷超豪的)；然後就是可以慢慢一邊泛函一邊Evans的了；那時候對一些Lp下的估計挺有興趣，就去伍卓群的橢圓拋物，不過最後看了半本就看不下去了；然後用陳恕行的現代偏微分鞏固了Evans的Part II一遍。

然後去了幾個月德國入坑，看了有關Phase spase的書。回來才知道調和分析重要性，就慢慢開始苗長興的調和分析了，那時候也知道Stein的好，可是能力，時間都不夠，看不進，也讀不出啥的，就慢悠悠了半年的苗的調和。。。

高等代數，數學分析，解析幾何，運籌學，概率論基礎，數理統計，數學建模

我也推薦一本不錯的書，關於偏微分方程的。其他方向倒是也讀了很多不同的教材，但是個人對那幾個方向要麼不了解要麼學的一般，所以只推薦一下偏微分方程的一本教材。

偏微分方程一定要看谷超豪院士寫的《數學物理方程》（第二版），谷超豪是中科院院士、蘇聯莫斯科國立大學數學力學系博士、前中國科技大學校長。（值得一提的是他是50年代中國派遣留蘇學士中第一個正博士學位獲得者，到62年中蘇交惡之前，只有8個人拿到正博士學位，同時期共派遣了約三萬留學生）谷超豪院士在莫斯科國立大學留學期間學習的最主要的方向就是偏微分方程，並且在日後的工作中其主要研究方向也是偏微分方程，所以這本書非常值得一讀，因為這本書是谷超豪院士對自己傾注大量心血的方向的總結。這本書這本書第二版是谷超豪院士在1970年出版的第一版基礎上修改、添加而成的，使得這本書的語言更加人性化，閱讀起來會輕鬆一些，知識點涵蓋了入門到中級的很多重要知識點。

這本書首先講了三種基本的偏微分方程： 波動方程，熱導方程和拉普拉斯運算元，這三個作為最基礎的入門方程，是偏微分方程入門必學的。在這本書中這三個方程的所有推到過程都有詳細的介紹，所有在推到過程中需要運用到的知識點都會詳細講解，例如推出熱導方程的柯西問題需要用到傅里葉變換。所以書中花了很多篇幅介紹傅里葉變換是個什麼東西，給了很多傅里葉變換的相關定理、推論，然後利用傅里葉變換來推波動方程的柯西問題的基本解、最後探討了解的存在性和唯一性。基本上這樣一套下來，所有關於熱導方程的柯西問題的解的問題就解決了。

對於提高部分，書中還講了偏微分方程的廣義解和廣義數值解，廣義函數方法對解其他數學問題也有非常好的作用，對於繼續學習分析方向有很好的輔助作用。除此外，書還花了一些篇幅講了偏微分函數的數值解，這個對於數值計算也是很好用的。

今年大四的數學建模老師給我的題目就是推導一個給定的熱導方程是否有解、解是否唯一、用數值方法導出一個基本解。最後這道題目的所有需要的方法只要這一本書就全部解決了，因為所有需要的定理和方法都在這本書上找到了，最後給的五分。