歐式期權定價時,【風險中性概率】和已知條件不一致時，用哪個？
二叉樹定價binomial pricing（risk neutral，no arbitrage），一個asset price是100，有50%幾率變成125，50%幾率變成80，k=110，r=0，求call price？
--------------------------------------這道題中，根據求風險中性概率的公式可以得到：125*p+80*(1-p)=100*e^rt
來算出risk neutral probability p=4/9，但是題目中說的是p=50%，這是多餘條件還是干擾條件嗎？但是不一致是什麼鬼？有時候用歷史數據測得的概率與算出的概率不一致的時候又應該怎麼辦呢？謝謝大家！
我覺得我終於可以來回答這個之前困擾我兩年的問題了：
中性測度這個東西之所以難以理解就是因為他有兩套極難聯繫起來的解釋方式，金融體系下和數學體系下。題主既然是對這個概率本身有疑問了那我就回答個不那麼繞人金融體系的：（delta股-1權）*dt*rf=(delta*d股-d權）
這個是BS的原始形式，意思是，delta股-1權這個組合，因為風險被對衝掉了，在dt時間內的收益一定是組合價值乘以rf那麼問題來了，既然這個組合的收益必等於rf(假如套利機會一出現就被人實行而消失），而權是股的衍生品，必須和股共享收益率（不然標的不等）。根據以上條件就會出現一個金融界里獲得了諾獎的推論：
假如我這權的定價是無套利的，那麼他的收益率必須用rf才能使所有參與者都心服口服
沒有套利機會，在金融學裡，定出的價有套利機會的模型會被視為「垃圾」，這裡注意無套利這個要求是對模型的要求。現實中模型無套利意義是這個無套利的模型可以用來發現套利機會
這個假設下算出的概率就是我們傳說中的中性概率（這個概率所對應的測度叫做中性測度，也叫Q測度）
然而實際上，因為存在套利機會（那個經典的經濟學笑話，地上掉了100塊，他不會存在在那裡），所以當確實發現股票收益大於風險收益的時候，套利機會是存在。這個市場對應所算出來的概率叫真實測度，也叫P測度
所以對題主問題的教科書回答是:When pricing， we"re in Q measure你主要的困惑在於沒有分清真實概率（也就是我們說的P－測度）和風險中性概率（Q－測度）之間的區別。題目中所說的50%概率上升或者下降，這個是所謂的「真實概率」，即某種經驗概率，這個概率既可以是從大量重複實驗中得到的，也可以是觀測歷史數據總結出來的。而你所計算出來的4/9這個是所謂的「風險中性概率」，這個概率並不是真正的「概率」，而是人為構造出來的一個假概率。
一種構造風險中性概率的方法是把所謂的「state price」乘上risk-free rate，因為無風險資產的回報恆等於risk-free rate，可以知道state price的L-0 norm等於1/Rf。按照這樣構造，state price * Rf是一個分量和為1的、嚴格正的（state price &>0 iff no arbitrage）向量，這個看起來很像一個概率測度，於是我們稱其為風險中性測度。
以上只是一種構造risk-neutral probability的方法，還有很多不同的流派，大體思想都相似，即，風險中性測度（Q測度）並不是真實的概率分布，而是滿足以無風險資產折現的一個概率測度而已。風險中性概率不是概率，如果你想用無套利定價原理，是用了期權複製的思想，給真實概率無關。
首先要知道風險中性概率是怎麼來的，根在哪？
下圖是Shreve的《金融隨機分析》中最先出現風險中性概率
第一，引入和
完全就是為了方便求解（1.1.3）和（1.1.4）,這完全是從方便數學求解的角度。
第二，從方便求解的目的來看，可以取非0的任意值，那麼我們就來選擇一個值作為
，這時就有了（1.1.6）式。通過（1.1.6）來確定
顯然是別有用心的------簡單來說，就是未來值的確定用
和
來加權計算而不是用真實概率p和q的話，（不管
是多少）資產組合的收益率都是r，那麼直接根據收益率的定義公式就直接能算得
。所以這裡的別有用心還是為了方便數學計算。
綜上，從引入到確定
具體取何值都是為了數學上的方便計算，無關金融，無關概率。
這個方便計算的小能手，沒有一個高大上的名字這麼能行？於是乎就有了下面這段話:
對於這個所謂的「風險中性概率」名字，我們分為兩部分理解-----風險中性與概率。
首先，要了解風險中性的含義，風險中性的投資者對自己承擔的風險並不要求風險補償，投資者對風險不要補償,所有證券的預期收益率都是無風險利率。從值的確定公式（1.1.6），可以發現，若以
和
來加權計算未來的股價S1,則股票的預期收益率便是無風險利率 r -----這正好契合了風險中性的含義。所以給它安個「風險中性」的名字是合理的。
其次，從前面和
的引入及具體值的確定過程來看，它們根本和概率沒有半點關係，但是它長的太像概率了-----都是正值且兩者之和為1。於是，為了在金融上直觀理解的方便，就給它取了個「概率」的名字。你可以從長相上將其認為是概率，但是人家是為了方便數學計算而生的！
綜上，便有了這個所謂的「風險中性概率」的名字。
=======================第一次知乎作答，剛入金融數學的新手，願批評指正，相互交流學習。來跟我默念三遍：
「任一資產的價格，等於其支付向量在風險中性測度下的期望對無風險利率的貼現」。跟真實的概率沒有一！毛！錢！的！關！系！因為，這個「風險中性概率」，真真正正是構造出來的。整個故事大概是這樣的：（我只是提綱 ）
No Arbitrage ~ Law of One Price ~ Linear Pricing Function ~ Arrow-Debreu Security ~ State Price ~ Risk-free Interest Rate.
整個推導過程，沒有用到任何關於真實概率的假設。
然後的然後，在用Arrow-Debreu security的state price表示任一資產的價格時，我們發現其形式跟離散型隨機變數的期望非常相似，式子里還有一個東東，滿足：非負、規範、可列可加。於是乎就給它取了一個名字——風險中性概率（Risk neutral probability）
如果的如果，你想用真實的概率去求期望再貼現，那麼，就引出了Stochastic Discount Factor（SDF隨機貼現因子）和測度變換，SDF正好就是Radon-Nikodym derivative.
======================================================================懶癌晚期患者該去搞（zuō）學（dà）術（sǐ）了，佔個坑，待填。不一樣就是有一個錯了咩 就是有套利機會撒
這個就是個模型假設的問題，你用的方法是經典crr模型，cox box robinstein model。題目簡化假設是個等上步和下步概率問題，你可以按照等概率求解。無所謂不一致問題。
風險中性測度並不是一個現實的概率，而是由現實價格推算出來的「假概率」。比如說有一個資產，過一年後有0.2%的概率能賺1000塊錢，其他情況不值一分錢。那麼可以推出期望收入大概是2塊錢，但是現實中如果有這樣一個資產在賣的話（不考慮利息），基本是賣不到2塊錢的，也許只有1元。因為如果買的話基本都是在虧錢，一般人都不相信那點小概率能落到自己頭上，誰也不傻嘛不是～
於是就有了這樣一個奇怪的現象：資產期望收益與現實價格不一樣。
於是搞有人就開始思考了：哇擦！居然不一樣，要腫么辦，那就定義一個假概率吧，算起來大概1/1001能漲，其他時候跌。這樣的測度下期望收益與價格就相同了。你可能看不明白了，這有毛用啊！當然有用。比如當市場上出現了一個期權，可以保證你有權利一年後以1塊錢的價格把這個資產買來，那麼你會發現要麼運氣好的話期權能賺1000元，不好的話也不就付出個期權的價格c嘛。畫一下圖圖：資產A：1-----1001（賺1000） 0期權C：
c------1000 0然後聰明的你一定發現了，1000A-1001C即買1000份資產A同時賣掉1001份期權，最終無論發生什麼都是0元。這回好了，反正無論一年後發生什麼都是0元，那麼這個組合肯定在一年前也是0元，還是那句話，誰也不傻嘛～這樣我們就有結論了，A一年前值1元，可以求得c也就是期權的價格應該是1000/1001大概是1塊錢不到。這就是基本的期權定價思想。然後聰明的你一定發現了，這跟風險中性測度有毛關係？當然有關，你會發現，期權的價格剛好就等於在風險中性測度底下的期望。這就是風險中性測度。在這個測度下，價格就等於期望收益。所以聰明的你馬上就學會了，哇塞！我可以隨便寫出一個鬼東西，知道它一年後值多少錢求個期望就能知道現在值多少錢！
而且通過前面的推倒（什麼奇怪的東西混進來了）可以看出，現實概率到底是多少根本無所謂啊，求出來的期權價格都是一樣的，只取決於風險中性測度。而且上面的出現的資產和期權的比例1000:1001就是hedge ratio，然後你就可以通過這個比例去對衝掉上漲或下跌的風險。推薦閱讀：
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