如何設計一個概率均勻的 5 面骰子？

01-06

比如四稜錐形狀，底邊和高的比例為多少時投色子是等概率的？
是否各個頂點在外接球（如果足夠對稱的話）連線分割球面的各個曲面面積相等，投擲就是等概率的？
P.S. 請不要用10面骰什麼的來湊數，10面骰、20面骰當然能當5面骰來用
我想問的是一個有關立體幾何、物理的問題，不需要用概率巧妙地等價……

可以把五角柱體上下都修改成錐形，不過數字要寫在五條棱之上，而不是如一般骰子寫在面之上。

既然沒辦法用5個相同的平面構造五面體，那就使用5個相同的曲面來構造吧。題主也沒有要求5個面必需是平面。

先上數學公式:

x = cos(v)*sin(u)*sin(u*5)

y = 1.2*sin(v)

z = cos(v)*cos(u)*sin(u*5)

其中:

u 的取值範圍是 0 到2*PI

v 的取值範圍是 -PI/2到PI/2

圖像為:

骰子拋擲後，豎直向上的那個曲面為選中

找一個透明的球，球表面畫上半透明的五種顏色，確保各個顏色面積均等。每次擲篩子就等同於滾一下球。另外，可以規定力度或者投擲距離以確保每次投擲的隨機性。

因為球是半透明的，球停住的時候，看球和平面接觸點屬於哪種顏色來判斷結果。

用球不光可以概率均等的N=5面體。還可以輕鬆兼容 N={1,2,3,4,...} 等任意情況

見D5

其實可以使用曲多面體，五棱梭形

把一個普通色子的「6」那一面設定為重投一次？

10面體不就行了…對著的面寫一樣的數

做一個長條形的五稜柱嘛，因為拋擲後兩個頂面之一朝上的概率無限小（只要長條足夠長），可以忽略不記。

並沒有正面回答題主的問題但是應該解決了題主的麻煩

幾何概率首先要定義幾何對象分布的概率，比如一條線段在平面中均勻分布的定義，是和某坐標軸夾角均勻分布，還是在某坐標軸上的投影均勻分布。你可能覺得前者就是自然的，但實際中並不一定是均勻分布，跟質量分布和形狀有關。先假夾角是均勻分布，可以進行推理了，只不過很複雜，可以先考慮二維三角形

二維三角形情況，不考慮反彈（也就是只考慮最後一次著地）

假設三角形著地時某一條邊與水平線的夾角成均勻分布，夾角的總可能性為2pi， O為三角形重心

A、C著地，並且倒向AC邊的角度範圍分別為(pi/2 - &和為&也就是重心劃分三角形區域的角度比例(AOB, BOC, COA決定概率比例(等於PaOPb, PbOPc, PcOPa)

Pa,Pb,Pc分別是邊BC,CA,AB的中點

以過重心到水平線的垂線在三角形中的角度分布可以更容易理解這種概率，假定垂線在任何角度出現的概率都是一樣的

可以猜想三維情況，定義多個平面相交於一點形成的三維角度為球表面積/半徑平方

是否也為重心劃分多面體為多個區域，每個區域對應一個面，落到這個面上的概率正比於三維角度

假定多面體是凸的，並且過重心到每個面的垂線段都在多面體內。或許可以證明，過重心做水平面的垂線，垂線在哪個區域內，那個區域對應的面就著地

垂線的角度範圍是4pi，所得概率就是三維角度/4pi

多邊形情況容易理解

能夠計算概率後至少可以從數值上近似計算四稜錐的寬高比是多少

用matlab符號計算可以得出精確結論：

設稜錐底面邊長為2，則高為如下時重心能把5個角度剛好平分

(3*10^(3/4)*cos((7*pi)/20)*(5^(1/2) + 5)^(1/4))/5

約等於2.512312590092387

軟體計算這個太方便了,首先可以手動推算四稜錐重心為[0, 0, h/3](只需推導Z軸坐標，Z軸坐標可以通過1/4的直四面體來算，直四面體的重心很簡單）

syms h

Pa = [1, 1, 0]; Pb = [1, -1, 0]; Ph = [0, 0, h]; Po = [0, 0, h / 3];

cosA1 = planecos(Po, Pa, Ph, Pb);

cosB1 = planecos(Po, Ph, Pb, Pa);

cosC1 = planecos(Po, Pb, Pa, Ph);

Px = [0 0 0];

cosA2 = planecos(Po, Pa, Px, Pb);

cosB2 = planecos(Po, Px, Pb, Pa);

cosC2 = planecos(Po, Pb, Pa, Px);

ABC1 = simplify(acos(cosA1) + acos(cosB1) + acos(cosC1))

ABC2 = simplify(acos(cosA2) + acos(cosB2) + acos(cosC2))

sumABC = simplify(4 * ABC1 + 4 * ABC2)

fABC = ABC1 - pi - (ABC2 - pi) * 4

k = solve(fABC, h)

planecos.m

function c = planecos(P1, P2, A, B)

L1 = cross(cross(P2 - P1, A - P1), P2 - P1)

L2 = cross(cross(P2 - P1, B - P1), P2 - P1)

c = simplify(sum(L1 .* L2) / sqrt(sum(L1 .* L1)) / sqrt(sum(L2 .* L2)));

這裡用到一個面積公式

Spherical Triangle -- from Wolfram MathWorld

很容易驗證O點所有球面三角形角度（A+B+C - pi）之和為4pi

上面算出的sumABC是12pi，包括8個球面三角形，減去8pi正好是4pi

下圖坐標軸是稜錐高h，藍線是上面的4個面之一對應的角度fABC1 - pi

紅線是底面對應的角度(fABC2 - pi) * 4

除了四稜錐，比較規則的五面體還有一種是三稜柱

看了以上的回答，大多是發揮想像，在各種假設前提下提出解決方案。題主表示不想用概率等價的方案解決，我認為題主的意思是該骰子必須有且僅有5面。（為什麼每次都想念成sai zi）

在無外界干涉情況下，若想達到各面概率均勻，則只有正五面體能達到要求。各位答主的方案或多或少都有存在條件假設，我認為並不是絕對的概率均勻。

那麼，如果我揣測的題主的意圖沒錯的前提下，答案是：正五面體不存在，即無法設計出一個自然情況下概率絕對均勻的五面骰子。

Proof: （該證明很容易找到，此處摘自一個blog 世界上有沒有正五面體？_Yancy_新浪博客）

立體幾何神定理之歐拉定理： $v-e+f=2$ ①

Here, v denotes 定點數，e denotes 棱數，f denotes 面數。

正多面體的每個面都是正多邊形，不妨把邊數記為n，而且 $ngeq 3$

同時，由於每條棱都屬於兩個面，故多面體的面數和棱數有以下關係：

nf = 2e　　②

每個頂點都是由多條棱相交而成，不妨把與每個頂點相接的棱數記為r。由於頂點是多面體中的頂點，故

r ≥ 3　　

否則由兩條棱相交的頂點只能是平面圖形中的頂點。同時，由於每條棱都連接兩個頂點，故多面體的頂點數和棱數有以下關係：

rv = 2e　　③

把③式和⑤式代入①式，可以得到消掉變數f和v的等式：

2e/r - e + 2e/n = 2，④

等式兩邊同時除以2e可以得到：

1/r - 1/2 + 1/n = 1/e，⑤

即

1/r + 1/n = 1/e + 1/2　　⑥

由於一個正多面體的棱數e至少是6（想想這是為什麼），所以⑥式右邊最大值為

1/6 + 1/2 = 2/3，

同時，由於棱數e為正數，不論e取何值，⑥式右邊一定大於1/2，即

1/2 ＜ ⑥式右邊 ≤ 2/3　　⑦

再由②式和④式可知，r ≥ 3，n ≥ 3。但當r ≥ 4，n ≥ 4時，⑥式左邊≤1/4 + 1/4，即⑥式左邊≤1/2，與⑦矛盾。故r和n的取值可分為以下幾種情況討論：

⑴ r ≥ 4時，由於不能同時滿足n ≥ 4，而n ≥ 3又必須滿足，故此時n = 3。代入⑥式，得1/r = 1/e + 1/6。由於1/r = 1/e + 1/6 ＞ 1/6，故r ＜ 6，故r只能取3、4、5。r = 3，n = 3時代入⑥式和③式得f = 4，此時是一個正四面體；r = 4，n = 3時有f = 8，此時是一個正八面體；r = 5，n = 3時有f = 20，此時是一個正二十面體。
⑵ 與⑴類似，n ≥ 4時，由於不能同時滿足r ≥ 4，而r ≥ 3又必須滿足，故此時r = 3。同理可得n只能取3、4、5。r = 3，n = 3時代入⑥式和③式得f = 4，此時是一個正四面體；r = 3，n = 4時有f = 6，此時是一個正六面體（即立方體）；r = 3，n = 5時有f = 20，此時是一個正十二面體。
⑶ r ≥ 4，n ≥ 4都不滿足的時候，又由於r ≥ 3，n ≥ 3，故只能有r = 3，n = 3，此時f = 4，是一個正四面體。

由以上證明可知，三維空間中只存在五種正多面體，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，當然也就不存在正五面體。

找兩個全等的五稜錐，斜面按順序編號1,2,3,4,5，把底面粘在一起，保持數字是對齊的，就可以用了。每個數字分別對應兩個面。

（一定程度上抄襲了jeanjean的答案）

我覺得是不是應該從能量角度考慮這個問題?哪個面著地時候使得這個幾何體具有更小的重力勢能則更容易讓其傾向於這個面著地。正六面體的骰子作弊時候加鉛什麼的不就是這個原理，改變其質量分布，使其質心有偏向性。

設計一個質心到各個面距離相等的四稜錐，即使考慮彈跳碰撞，因為最後重力勢能是相等的，所以也會是相等的概率。