積分符號內取微分是一種什麼方法？

01-06

費曼在自傳中提到的很少被人教授的計算方法

我當年上大一的時候對這個方法很感興趣，而且我們當年的《高等數學》第三冊裡面就有一章專門講這個方法的。舉兩個簡單的例子。

I. 計算積分

$int_0^{infty} frac{sin x}{x} dx$

這個積分叫做狄利克雷積分，最早是歐拉算出來的。這個積分有好多種方法可以算，這裡就說一個用含參變數積分的技巧算出的。定義一個函數：

$I(t) = int_0^{infty} frac{sin x}{x} e^{-t x}dx$

可以證明（用外爾斯特拉斯判別法就可以證明），這個積分一致收斂，所以可以對這個函數求微分，而且微分與積分可以交換次序，於是就有：

$frac{d}{dt}I(t) = int_0^{infty} frac{sin x}{x} (-x)e^{-tx}dx\ =-int_0^{infty} e^{-t x}sin x dx\ = -frac{1}{t^2+1}$

求積分，得到：

$I(t) = - ext{arctan} t + ext{const}$

因為

$I(t = infty ) = 0$ ,

所以

$I(t) = frac{pi}{2} - ext{arctan} t$ $I(0) = int_0^{infty} frac{sin x}{x}dx = frac{pi}{2}$

II. 計算高斯函數的傅里葉變換

$int_{-infty}^{infty} frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}}e^{-iomega t}dt$

這個積分同樣可以用很多種方法求，例如可以用複變函數的留數定理計算，可以參考胡嗣柱倪光炯的《數學物理方法》第二版。這裡仍然用含參變數的積分的方法計算。

積分可以重新寫成這種形式：

$frac{1}{sigma} sqrt{frac{2}{pi}} int_0^{infty} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}} cos omega t dt$

定義函數：

$I(omega) = int_0^{infty} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}}cos omega t dt$

這個積分同樣可以證明是一致收斂的，所以可以直接求微分，並且交換微分和積分的次序，得到：

$frac{d}{domega} I(omega) = -int_0^{infty} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}} t sin omega t dt \ = sigma^2 int_{0}^{infty} sin omega t de^{-frac{t^2}{2sigma^2}}\ = -sigma^2 omega int_0^{infty} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}}cos omega t dt\ = -sigma^2omega I(omega)$

解微分方程，得到

$I(omega) = c e^{-frac{sigma^2omega^2}{2}}$

根據邊值條件，

$I(0) = int_{0}^{infty} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}}dt=sqrt{frac{pi}{2}}sigma$

所以得到

$I(omega) = sqrt{frac{pi}{2}}sigma e^{-frac{sigma^2omega^2}{2}}$

最終得到高斯函數的傅里葉變換，或者是高斯分布的特徵函數，為

$int_{-infty}^{infty} frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{t^2}{2sigma^2}}e^{-iomega t}dt = e^{-frac{omega^2sigma^2}{2}}$

這個兩個例子都是從我當年的《高等數學》第三冊的內容回憶來的。我很慶幸當年我們用了這個版本的高數，而不是那個簡單得多的同濟版的。我們那個版本的高數編者是文麗，吳良大，儘管不是非常著名的教授，但是這個教材內容確實非常好，講了很多數學分析裡面才有的內容，例如一致收斂，瑕積分，反常積分，Abel判別法，狄利克雷判別法。而這些內容其實很多數學分析的教材裡面都沒有。

關於積分號裡面求微分的內容，除了上面提到的那個版本的高等數學之外，復旦陳紀修的《數學分析》兩卷本，中科大龔昇，常庚哲的《數學分析》兩卷本，南開陳省身數學所的《數學分析》三卷本也都有。如果有興趣，可以在這些書裡面找到更多的例子和更嚴謹的證明。我曾跟一同學說過，國內的數學分析教材我最喜歡這三套，就是因為這三套教材跟我當時用的《高等數學》內容很像。

這類積分技巧在數學和物理學中都有著廣泛的應用。概率論裡面有一個很重要的函數叫做矩母函數，moment generating function，其本質就是一個參變積分，通過對矩母函數求微分，我們可以得到分布函數的各階矩。在物理學裡面，特別是在量子場論和量子多體理論裡面，可以通過在計算配分函數的時候引入一個source term得到generating functional. 通過對generating functional 求一次泛函微分，我們可以得到單粒子格林函數；求兩次泛函微分，得到two-particle Green function, or susceptibility.

在工程領域裡面，結構力學和材料力學中有一個常用的定理叫做卡氏定理，其做法與物理中引入source term然後計算generating functional 的做法非常類似，本質上也是在計算參變積分。

參考

Moment-generating function

Source field - Wikipedia

Partition function (quantum field theory)

Castigliano#x27;s method

下面是選自《別鬧了，費曼先生》中的相應內容：

於是每到上物理課時，不管老師教的是帕斯卡定律或是別的什麼，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍茲（woods）著的這本《高等微積分學》。貝德知道我念過一點《實用微積分》，因此他給我這本真正的大部頭著作——給大學二三年級學生念的教材。書內有傅立葉級數、貝塞爾函數、行列式、橢圓函數——各種我前所未知的奇妙東西。
那本書還教你如何對積分符號內的參數求微分。後來我發現，一般大學課程並不怎麼教這個技巧，但我掌握了它的用法，往後還一再地用到它。因此，靠著自修那本書，我做積分的方法往往與眾不同。

這本《高等微積分學》（Frederick S. Woods, Advanced Calculus, 這本書可以很容易地在網上下載到）。我相信你所關注的課題出現在該書第141頁上，即：60. Differentiation of a definite integral.

實際上書中講的就是所謂的含參變數積分關於參數求導的問題。Woods的書中以及給出了描述和相關的例子。

我就在這裡舉一個簡單的例子：

計算積分：

$int_{0}^{1}frac{x^b-x^a}{ln x}mathrm{d}x,~~0</P>一般而言被積函數中涉及<img src=$ 這樣的函數，其積分計算起來都十分複雜和困難。不能套用已有的公式（我指的是一般教材中的積分表，大型的手冊除外）。所以我們可以先視 $Ileft(b ight)=int_{0}^1 frac{x^b-x^a}{ln x}mathrm{d}x$

為關於 $b$ 的一個「函數」，而 $a$ 視為固定的常數。然後對變數 $b$ 求導，得到：

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}b}Ileft(b ight)=int_{0}^1 frac{mathrm{d}}{mathrm{d}b}left[ frac{x^b-x^a}{ln x} ight]mathrm{d}x=int_{0}^{1}x^bmathrm{d}x=frac{1}{b+1}.$

這樣的計算是簡單的。隨後，重新得到：

$Ileft(b ight)=int_{a}^{b} frac{mathrm{d} I}{mathrm{d}u}mathrm{d}u +Ileft(a ight)= int_{a}^{b}frac{mathrm{d}u}{u+1}+0= left.ln left(u+1 ight) ight|_{a}^{b}=ln frac{b+1}{a+1}.$

可以看出這裡的計算基本上都是可以用教材中比較簡單的結果來做的。這是一種計算積分的技巧。

需要注意的是，把求導和積分進行次序的交換通常是需要驗證的。驗證的判據可以在一般的教材中找到。

Woods 的書中給出的是一個比較複雜的例子。然後一些常規的技巧和案例可以在徐森林，金亞東，薛春華所著的《數學分析（第三冊）》中找到。

在特殊函數論中，很多的函數都由積分來定義，其本身無法進行初等表示（也就是說不是做個變數代換就可以變成有限初等函數的）。在這種情況下，我們要向得到函數的一些性質，遞推關係等等，只好直接從定義它的積分入手，所以針對積分中一些適當的參數進行運算（例如求導，或者說積分也可以）就是一種很好的選擇。只是在做這些運算的時候，驗證正當性是很核心的部分。

最後補充一點，雖然這是一種非常古典的方法，但是運用得當是可以做出很多尖端的工作的。因為對於特殊函數而言，驗證求導或者積分的可交換性會涉及到大量例如，漸近分析、圍道積分表示等等問題，就不再像例題那麼簡單了。

看了這麼多回答覺得我是不是想錯了，我第一眼看去以為說的就是 leibnitz 積分公式

考慮一個累次極限的交換問題，絕大部分累次極限是否可以交換都可以用弱一致收斂判斷。而積分和求導數都是極限運算。

順便說，求微分得到的是一個線性映射，這和求導還是有區別的。

應該就是 variational calculus 吧或者叫 functional derivatives 吧

請問各位一個困擾很久的問題，高維積分內求微分，具體來說面積分求導可與其邊界積分的轉換（類似Reynolds transport theorem, Green"s Identity， Divergence theorem...），邊界積分即曲線積分有方向么？看證明過程我能理解divergence theorem面積分轉曲線積分後是按逆時針積分的。但看Reynolds transport theorem證明過程，好像與積分方向無關似的。

變分啊。

高級的恆等變形

先導後積？這是我所理解的題主的意思。

舉個小例子，可以用於求級數。

當然，肯定會有更高深的應用。