如何證明有理數的十進位表示是無限循環小數？

01-06

如果有理數是有限小數，比如 $frac{1}{2} =0.5$ ，將它看成 $0.5000cdots$ 或 $0.4999cdots$ ，這樣有限小數也是無限循環小數。
有理數和無限循環小數的定義：有理數，循環小數。
相關問題：為什麼無理數是無限不循環的？

我們先證明一個引理

引理. 對於每個正整數 $b$ ，存在一個形如 $c=10^m(10^n-1)$ 的正整數使得 $bmid c$ 。這裡 $m,n$ 是自然數並且 $n eq 0$ 。

證明. 對 $b$ 進行因數分解可以得到

$b=2^{v_2(b)} imes5^{v_5(b)} imes z$ ,

這裡 $v_2(b),v_5(b)$ 是自然數， $z$ 是正整數並且 $2 mid z, 5 mid z$ 。

注意到 $gcd(10,z)=1$ ，根據歐拉定理 (數論) $10^{phi(z)}equiv1 pmod{z}$

這裡 $phi$ 是歐拉函數，因此 $(10^{phi(z)}-1)/z$ 是整數。再注意到

$b imes 5^{v_2(b)} imes 2^{v_5(b)} imes frac{10^{phi(z)-1}}{z}=10^{v_2(b)+v_5(b)}(10^{phi(z)}-1)$

令 $c=10^{v_2(b)+v_5(b)}(10^{phi(z)}-1)$ 即可完成證明。

感謝 @Gee Law的證明。

也可以用抽屜原理來證明，考慮下面 $b+1$ 個數

$1,10,100,cdots,10^b$

除以 $b$ 的餘數，由於餘數只能為 $0,1,cdots,b-1$ ，因此一個存在兩個不同數 $10^m,10^n$ 除以 $b$ 的餘數相同，令 $c=|10^n-10^m|$ 即可。

下面來證明這個命題

命題. 每個有理數的十進位表示都是無限循環的小數。

證明. 設 $q=frac{a}{b}$ 是有理數，這裡 $a$ 是整數， $b$ 是正整數。根據引理，存在形如 $10^i(10^j-1)$ 的正整數 $c$ 使得 $bmid c$ ，因此我們可以將 $q$ 化為

$q=frac{a}{b}=frac{d}{c}=frac{d}{10^i(10^j-1)}=frac{1}{10^i} imes frac{d}{10^j-1}$

這裡 $d=a imes c/b$ 是整數。

下面我們證明形如 $x=frac{d}{10^j-1}$ 的有理數一定是循環小數，

設 $d$ 和 $x$ 的十進位表示為

$egin{align} d=a_na_{n-1}cdots a_{0}\ x=b_mcdots b_0.,b_{-1}b_{-2}cdots end{align}$

將上式代入 $d=x(10^j-1)=10^j x-x$ 可以得到

$a_na_{n-1}cdots a_{0}=b_mcdots b_0b_{-1}cdots b_{-j}.,b_{-(j+1)}b_{-(j+2)}cdots -b_mcdots b_0.,b_{-1}b_{-2}cdots quad (*)$

由於 $(*)$ 左邊是整數，因此右邊也只能是整數，我們必須有

$0., b_{-(j+1)}b_{-(j+2)}cdots-0., b_{-1}b_{-2}cdots= sum_{k=1}^infty (b_{-(j+k)}-b_{-k}) imes 10^{-k} quad (**)$

是整數。注意到 $b_i~(i=m,m-1,cdots,0,-1,2cdots)$ 只能在 $1sim 9$ 中取值，因此 $(**)$ 的值只能是 $-1,0,1$ 。如果 $(**)$ 的值是 $1$ ，那麼對一切 $k=1,2,cdots$ 都有

$b_{-(j+k)}-b_{-k}=9implies b_{-(j+k)}=9,~b_{-k}=0quad (k=1,2,3cdots)$

這是不可能的。類似地 $(**)$ 的值也不能為 $-1$ ，因此它的值只能為 $0$ ,，類似的討論可以得到

$b_{-(j+k)}=b_{-k}quad (k=1,2,3,cdots)$

這裡就證明了 $x$ 是循環小數，於是 $q=frac{1}{10^m} imes x$ 也是循環小數。

有理數的定義是可以寫為分數形式的數。有理數的性質才是也可以寫作無限循環的小數。

這裡實際涉及兩個Theorem，因為第二個Theorem會用到第一個，這裡一起寫下證明。

1.可以被寫作無限循環小數的數是有理數。

2.有理數可以被寫作無限循環小數。

Proof 1：

假設存在自然數 N 和d滿足d&>0 使得當n&>=N時 $a_{n+d}=a_n$

讓x成為一個無線循環小數，那麼

$10^{N+d} x = b.a_{n+1+d}a_{n+2+d}a_{n+3+d}a_{n+4+d}...$

$10^{N} x = c.a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}a_{n+4}...$

（這裡的N相當於小數不循環的數位，d相當於循環的周期， $a_k$ 相當於循環部分的小數位。用 $10^N$ 和 $10^{N+d}$ 相乘，會得到兩個不同的循環小數，整數位不同但是小數位完全相同。）

把兩個式子相減，得到 $(10^{N+d}-10^N)x=b-c$

所以 $x=frac{b-c}{10^{N+d}-10^N}$ 是有理數。

Proof 2：

讓 $x=frac{p}{q}$ 並且q&>0

注意自然數被p除的餘數一定在{0,1,...,q-1}中，即有q個選擇。

假設k滿足 $0leq kleq q$ ，那麼當 $10^k$ 被q整除時，餘數 $r_k$ 有q+1個取值，可是只有q個選擇。

那麼根據鴿籠原理，一定有兩個k的取值對應相同的 $r_k$ ，即存在d滿足 $k+dleq q$ 使得 $r_k=r_{k+d}$

所以q整除 $10^{k+d}-10^k$ ,即存在整數m滿足 $qm=10^{k+d}-10^k$

那麼 $frac{p}{q}=frac{pm}{qm}=frac{pm}{10^{k+d}-10^k}=10^{-k}frac{pm}{10^d-1}$

假設a是 $frac{pm}{10^d-1}$ 的商，b為餘數，所以 $frac{p}{q}=10^{-k}(a+frac{b}{10^d-1})$ （當 $0leq bleq 10^d-1$ 時）

注意b可以被寫作 $b_1b_2b_3b_4b_5...b_d$ 的形式（在前面添加0直到有d位數）

現在來考慮無線循環小數 $r=0.b_1b_2b_3...b_db_1b_2b_3...b_db_1b_2b_3...b_d...$

根據上個定理的證明過程，可以得出 $(10^d-1)r=b$ ，即 $r=frac{b}{10^d-1}$

因此 $10^kx=a+r$ 是無線循環小數，所以x的小數寫法在第k個小數位後會開始循環，x也能寫作無限循環小數。

針對原問題補充：當完成第一部分的證明，即可以被寫作無限循環小數的數是有理數後，從邏輯上證明無理數不能被寫作無線循環小數了。因為一個數不可能既是有理數又是無理數。

以上。

（20140613：修正錯誤。）

------------well,評論區評論-----------

Gee Law

你提問的命題不對。按位隨機生成一個數跟直接從一堆數裡面選一個是一樣的。假設你生成的數在[0,1]裡面，按小數點後每一位均勻分布，則就是按照[0,1]內均勻分布。用測度的方法計算這個概率，選到有理數的概率是0，也就是說，隨機數是循環小數的概率是0。

-----------原回答------------

當一個隨機數足夠大時，任何隨機數幾乎必然是循環小數（不論進位）無限猴子定理

非數學專業，求問學數學的大大上述命題是否成立？

如果成立的話，無限不循環小數必然可以表示成一個 $n ightarrow infty$ 的循環小數

看lz說的循環周期非常大到底是多大了，如果lz的非常大是指有限大的話，那麼肯定是不循環的。

但是！無窮是個很神奇的東西，不是么？

給你一個簡單的回答，這是我小學時候學除法的時候想到的有理數定義是M/N(M/N為整數，N不等於0)，按照除法規則，餘數是不能大於除數N的，且餘數是大於等於0的，所以餘數個數是有限的，由抽屜原則你就知道進行到N次尚後，就一定會在前N次商中存在重複的商，那麼出現重複後每次商與上一次出現該商後的操作是完全一樣的，所以出現循環。由此也可以知道循環節的大小是不會超過除數的。