如何只用圓規作給定線段的中點？

01-06

在歐氏幾何範圍內討論此問題。
只用圓規指的是不允許用任何工具包括圓規的腿畫線或者連接兩點並在兩點連線上取點。
不允許對給定線段所在的平面進行空間操作如對摺等。

不允許無限逼近。

給定線段AB

以A為圓心,AB為半徑作圓A

以B為圓心,BA為半徑作圓B,交圓A於C 以C為圓心,CB為半徑作圓C,交圓B於D 以D為圓心,DB為半徑作圓D,交圓B於E 以E為圓心,EA為半徑作圓E,交圓A於F 以F為圓心,FA為半徑作圓F,交AB於G G即為AB中點

補圖@Mario Yeung

其中參考步驟里的對應關係有些問題。可以參考@Mario Yeung的描述

給定線段AB
以A為圓心,AB為半徑作圓A
以B為圓心,BA為半徑作圓B,交圓A於C 以C為圓心,CB為半徑作圓C,交圓B於D 以D為圓心,DB為半徑作圓D,交圓B於E
以E為圓心,EA為半徑作圓E,交圓A於F 以F為圓心,FA為半徑作圓F,交AB於G G即為AB中點

證明：

設A(0,0),B(1,0) ，F，F"的橫坐標 $x=frac{1}{4}$ 由解圓A，圓E方程 $x^2+y^2=1,(x-2)^2+y^2=2^2$ 給出，那麼M的橫坐標就是 $2x=frac{1}{2}$ ，由於F，F"對稱，M是AB中點。

看到一個Mohr-Mascheroni定理（就是單規作圖和尺規作圖等價）的證明過程（多圖）

引自《思維的樂趣：Matrix67數學筆記》

尺規作圖說白了就是具有以下三個功能：

1.做過兩點直線與圓的交點

2.做圓和圓的交點

3.做兩條分別過兩點直線的交點

只要證明只用圓規也可以完成上述三個功能，即可證明尺規作圖等價於單規做圖。其中，2.易證

先證1.

做AB與圓O的交點（如果有的話）

首先考慮O不在AB上的情況：

做一點C關於直線AB對稱點的方法如下

用此法做O關於AB的對稱點O"，再以其為圓心，圓O半徑為半徑做圓，與圓O交於CD

這樣就可以做AB與圓O的交點了

如果O在AB上，做法如下（其實只是一個次要情況，做法又比較繁瑣，可以跳過）

這樣就可以做過圓心直線CD與圓交點了，證明如下

下面證明3.

做直線AB和直線CD交點

綜上，單規可以達到和尺規完全一樣的效果。也就是說，所有尺規作圖的問題用一隻圓規都可以解決啦！

Mohr-Mascheroni定理

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Mascheroni_theorem

上面這個定理證明了單規作圖與尺規作圖完全等價。

然後就是我的方法了，原理就是上面這個定理，對作圖精度的要求大於尺規作圖，否則會有較大誤差。

Ps:剛剛手一抖，打完的字全沒了，又再打了一遍，殘念啊～

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要做線段AB中點

1、分別記一長度為0.5～0.75AB和0.25～0.5AB的線段為R1、R2

分別以AB為圓心，R1、R2為半徑作弧，交於4點，記靠近A的2點為C1、C2,靠近B的2點為D1、D2。

2、任意取一點O，以2倍的D1D2作圓1，以C1D2作圓2。

3、在圓1上任意取1點E，過點E以D1D2作弧，交圓1於點F

4、分別以EF為圓心，以適當長度為半徑作弧，交圓2於點G、H

5、分別以D1、D2為圓心，4H為半徑作弧，交於1點M，點M就是所求中點。

第三次逐漸嘗試至圓弧與線段相切我去，有限制敢不敢一次說完？！這邊幾個人回答了，你針對著改問題說明，那我只能呵呵了……

我自己想的，不知道可不可行：

以兩端點為圓心作相同半徑的弧線，半徑稍大於線段長的一半。兩弧線交於一點，以該點為圓心，畫一條弧線與線段相切，切點就是中點。

似乎題主的意思是希望在有限次的操作內畫出幾何意義上絕對準確的中點。而我想的是看起來差不多就行了……。

如果按照題主的意思的話，我想來想去都覺得不太行。因為只有圓規就只能畫弧線，那麼最後一步就一定是從某一個點畫一個一定半徑的弧，並且弧正好過中點。但是我們有的只是線段垂直平分線上的一點和畫這個點所用的半徑（不改變圓規的話），只有這兩個條件，我是找不到能夠在有限次畫出中點的辦法了。

以A為圓心，AB長度為半徑畫圓，

以B為圓心，AB長度為半徑畫圓，

連接兩圓的交點得到一條直線，

該直線與AB的交點就是中點