一個漂浮在水面上的盤子上有個裝滿水的水瓶，然後將他們沉入水底之後，問水面是上升還是下降?

01-06

這是上互動創新思維課的時候老師提出來的一個問題，不是選擇題，也不是判斷題，但根據現場回答，大家都默認成3個選項的選擇題，分別是上升，下降，持平。我當時的答案是持平，通過僅有的物理競賽的經驗，迅速用極端推斷法判斷出當盤子和水瓶無限小接近於可以0的時候，水面也是無限接近於既不上升也不下降的，但很明顯這個答案是錯的因為這不是判斷題，無法用極端法解答問題。但我對最後的答案有很大的懷疑，覺得這道題應該是分情況討論的問題，而不是都是下降的，因為在符合原題的設定下，沒有考慮到水面張力的問題，我的設想是當盤子和水瓶小到浮力&<=水面張力的時候，就要分情況討論了，私認為考慮水面張力的情況符合題意且不偏激，求幫忙分析分析~謝謝

簡單分析下，我們首先認為：

然後將他們沉入水底之後

說明瓶子和盤子都可以沉入水底，換言之瓶子和盤子的密度都比水要大。

又由盤子浮在水面上可以得知，水提供了瓶子和盤子足夠的浮力。

也就是說瓶子和盤子浮在水面上的時候，排開了與他們等重的水。

從剛才的假設得到瓶子和盤子的密度比水大，也就是相同重量的水的體積比瓶子和盤子的體積大，故而，沉下去後，水面下降。

但是！事實上，盤子受到的表面張力很大，甚至可能比浮力還大。考慮這一點，這個題目作為物理題是不嚴謹的，沒有正確答案。

如果「盤子」的一部分浸入水中，只考慮浮力作用，我認為，當盤子的密度大於水的密度的時候，水面下降；當盤子的密度小於水的密度的時候，水面上升。

水的密度是 $ho _{w}$ ，塗黑的是盤子和瓶子，密度是 $ho _{p}$ 。

原來水的體積是 $V_{0}$ ；盤子水麵線以下的部分的體積是 $V_{p1}$ ，盤子水麵線以上的部分的體積是 $V_{p2}$ ，兩者之和為盤子的總體積 $V_{p}$ ；盤子中的水在水麵線以下的部分的體積是 $V_{w1}$ ，盤子水麵線以上的部分的體積是 $V_{w2}$ ，兩者之和為這些水的總體積 $V_{w}$ ；盤子內部水面下以下的空氣的體積是 $V _{a}$ 。

盤子加上盤子里的水的重力是 $ho _{p} gleft( V _{p1} +V _{p2} ight) + ho _{w} gleft( V _{w1} +V _{w2} ight)$ ，盤子排開的水的重力是 $ho _{w} gleft( V _{p1} +V _{w1} + V _{a} ight)$ 。

根據浮力定律，這兩個相等，也就是 $ho _{p} gleft( V _{p1} +V _{p2} ight) + ho _{w} gleft( V _{w1} +V _{w2} ight) = ho _{w} gleft( V _{p1} +V _{w1} + V _{a} ight)$ 。

所以 $V _{a}=frac{ ho _{p} }{ ho _{w}} left( V_{p1}+V_{p2} ight) +V_{w2}-V_{p1}=frac{ ho _{p} }{ ho _{w}} V_{p} +V_{w2}-V_{p1}$ 。

此時水麵線以下的總體積是 $V_{1}=V_{0}+V_{p1}+V_{w1}+V_{a}$ 。將 $V _{a}$ 代入，得到 $V_{1}=V_{0}+V_{p1}+V_{w1}+frac{ ho _{p} }{ ho _{w}} V_{p} +V_{w2}-V_{p1}=V_{0}+V_{w}+frac{ ho _{p} }{ ho _{w}} V_{p}$ 。

當全部沉入水中之後，水面以下的總體積是 $V_{2}=V_{0}+V_{p}+V_{w}$ 。對比一下 $V_{2}$ 和 $V_{1}$ ， $V_{2}-V_{1}=V_{0}+V_{p}+V_{w}-V_{0}-V_{w}-frac{ ho _{p} }{ ho _{w}} V_{p}=frac{ ho _{w}- ho _{p} }{ ho _{w}} V_{p}$ 。

也就是說，如果 $ho _{p}><br /> ho _{w}$ ，則 $V_{2}-V_{1}<0$ ，水麵線以下的體積變小，所以水面下降。

反過來，如果 $ho _{p}< ho _{w}$ ，則 $V_{2}-V_{1}>0$ ，水麵線以下的體積變大，所以水面上升。

有同學說了，如果 $ho _{p}< ho _{w}$ ，盤子是不會沉下去的。的確，盤子不會自己沉下去，但是，我可以給它拴上體積可以忽略不計的繩子，然後繩子的另一端綁在埋在水底的電動機上，用繩子把盤子拉進水底。

至於考慮水面張力，我不會......我覺得，如果考慮水面張力的話，「水面」就不再是平面了，這時候，怎麼定義水面高度呢？如果盤子是靠水面張力浮在水面上的話，近似考慮 $V_{1}=V_{0}$ ， $V_{2}=V_{0}+V_{p}+V_{w}$ ，水麵線以下的體積可能變大了，所以，「水面」可能會上升。

我感覺跟盤子密度、水瓶密度這兩個參數有關係——試想如果盤子和水瓶密度小於水的話，壓根沉不下去。

不過更深的分析，由於馬上要去密西中午飯，就留給其他物理大拿考慮了。

如果盤子和裝水的瓶子都可以沉入水底（密度大於水），那應該是下降。

水位下降。

一開始浮力F1等於重力G，後來浮力F2小於重力G，又因為排開水的體積V正比於浮力，所以後來的體積小於先前的體積，也就是說液面後來下降了。

想那麼多為什麼不去實驗？就像我們的選修課戶外釣魚，上了大半學期理論，最後要求交的作業是在老師面前表演組裝魚竿魚餌魚線。以前看過一則故事說物理課上老師教大家怎樣釘釘子更省力，一節課講的是怎樣握鎚子，要從哪個角度打下去，題主問題與此類似。

下降是一定的

如果系統原來是漂浮的，要讓其沉底需要外力了，最後排開水的體積明顯比原來大，故上升。

不需要外力的情況下，要如何讓這個系統沉底呢，我是沒想出來，如果能做到的話最後結果就是水位下降了。