如何在飛機上推算什麼時候能看到日出？

01-06

例如上個月我坐飛機從伊斯坦布爾飛往上海，當地時間00：30起飛，當地時間 16：00降落。雖然我可以查詢到任何一個城市地面觀測的日出時間，但是還是很難推算起飛後多久能夠看到日出。
還有一次是奧蘭多飛往法蘭克福，同樣是凌晨飛下午到。但是飛機在大西洋上空，城市都沒有了。
不知道有沒有人有過類似的想法？

謝邀~抱歉拖了這麼久才來答題...

首先我非常遺憾地給出我的結論：沒有簡單易行的辦法「推算」飛行過程中看見日出的時刻。

上面@Unix Hater給出了一個簡單的辦法，但是這個辦法只有在緯度很低的地區，或者在春分秋分前後，誤差才比較小，在一般情況下，誤差是非常大的，以至於很難滿足題主的要求。

那麼，如果要解決這個問題，有什麼困難呢？

首先，地球赤道平面和地球公轉軌道平面並不平行，造成了太陽直射點在一年中是不斷變化的（這也是為什麼地球上有四季的原因），在北半球的夏季，太陽直射點是在赤道以北的，夏至日可以照到北回歸線（約北緯23.5度）；同樣的，冬季太陽直射點在赤道以南，冬至日可以照到南回歸線（南緯23.5度）。

太陽直射點能夠在如此大的範圍內變動，即使不坐飛機，相信大家也都體會過夏天日出早，冬天日出晚的現象。在一個固定地點的日出時間尚且能有幾個小時的差別，更別說飛機上了。

第二，前面說的因素，在不同緯度的地區是不同的，越往北，這種差異就越明顯。在赤道上，日出時間就幾乎沒有變動，而在北京這種緯度（北緯40度），日出時間的變動就能達到3小時，更別說緯度更高的地區了。

然而很不幸的，題主乘坐的伊斯坦布爾到上海的航班，甚至會經過北緯45度的地區（[3]），這大大增加了推算的不確定性。而這個因素，是和出發地、目的地的位置有關的，不同航線之間也沒有可比性。

第三，飛機的航線軌跡是不容易準確知道的。雖然長途航班大致上都沿著大圓航線（參見[1], [2]）飛行，但是有各種原因（利用高空氣流啦，禁飛區啦，避開危險天氣啦等等），航線常常發生變化，甚至同一航班來回的線路都不一樣，這也給推算帶來了困難。

但是！作為一名技術宅，怎麼可能被這種問題難住！如果硬要算的話，當然也是能算的，考慮太陽與地球的相對位置，考慮出發地和目的地經緯度，考慮航線軌跡（我就簡單按照大圓航線計算了）。具體過程嘛……實在是複雜到我都不想複述一遍。各種三角函數，球面幾何，線性代數……雖然過程中我玩的津津有味不過現在把過程貼出來實在倒人胃口。

貼個結果吧~

==================== Update 13-11-07 ===============================

昨晚半睡半醒寫的答案，看錯數字了，誤以為飛機是3:00從伊斯坦布爾出發的，所以原圖有誤，現更正過來

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首先假設題主在春分秋分前後乘坐飛機從伊斯坦布爾到上海，當地時間凌晨3點出發。我假設飛機的飛行時間是10小時（實際大概要長一點，畢竟不是嚴格按照大圓航線來飛行的，@Unix Hater 的答案中取的是 10h 16min，這不造成本質影響）。那麼我們來看看會有什麼情況。上圖！

上面黑色線是晝夜分界線，左半邊是黑夜半球，右半邊是白晝半球。藍色線是從伊斯坦布爾到上海的大圓航線，上面有個藍點就是飛機的位置啦~

從這個圖上可以看到，大約起飛3.3小時候就能看到日出了。當然，由於飛機一般都飛在萬米高空，實際看到日出的時間會更早一點。因為是春分秋分，所以晝夜分界線正好是評分所有緯線圈的，緯度的影響並不大。並且可以看到，這個結果和@Unix Hater近似估計的結果（他也更新了答案）是一致的。

但是如果是夏至日呢？這個時候北半球白晝最長，我們來看看會有怎樣的影響

很明顯，看見日出的時間大大提前了，起飛後2.25小時就能看到日出。

那麼反過來，冬至日的時候呢？繼續上圖！

其實猜也能猜到啦，看見日出的時間大大延遲了，大約起飛後4.5小時才能看見日出呢！

最後總結一下吧~

1. 一年中不同時間起飛，看到的日出時間是大大不一樣的，如上面的例子，日出時間最多可以相差2.25小時；

2. 不同的航線，不同的出發和到達，看到日出的時間也是大大不一樣的；

3. 春分秋分前後，或者緯度很低的航線，可以用近似公式來進行估計，但是對緯度稍高的航線或者冬至夏至日前後，則誤差非常大；

4. 當然可以把一切已知條件，包括日期，出發地目的地經緯度，飛行高度，飛行軌跡，等等全都輸入電腦，用一個簡單的小程序是可以算出來的；

5. 綜上所述，我認為沒有簡單的推算辦法。

[1] Great circle

[2] Great-circle navigation

[3] istanbul to shanghai flight

感謝題主提的好問題，思考過程很有趣。

ios上有款應用叫世界時鐘，不知題主用不用？

這是時鐘界面，隨著向左和向右的手勢，時間可以向前和向後，晨昏線會隨之移動。利用這款軟體，可以簡單地做個估算。

step1：

知道起始地點和到達地點和大致航線，然後沿航線做曲線，根據總航行時間大致將曲線標上刻度。刻度意義為X小時後飛機所在位置。此部分在腦海中完成，用上毛線和直尺更好。圖中黑線為我假設的航線。

step2：

將時間向前調，晨昏線左移（即圖中橙黃色的線），時鐘會顯示向前調了多少時間。當晨昏線與航線交點的航線坐標時間與時鐘前調時間相等時，即為距離日出的時間。此圖中的日出時間大概在出發後2.5小時。

使用這個軟體完全校準了經度，緯度，日期這三個變數。

但是航線和飛行速度還是沒有什麼辦法。在知道航線的情況下，此法應該還是算得方便快捷的。

我其實一直想說，為什麼不能直接問空姐呢？人家不知飛了多少次了。。。又多了一個跟漂亮姐姐搭話的理由！&>_&<

鑒於你說「推算」，也就是說你只是想知道什麼大概時候日出，由於大部分時候低緯度的城市的日出時間差不多（相差一個小時以內），先假設它們都一樣吧，你可以這麼推算：

$Delta t=frac{T_{Sunrise}-T_{Start}}{1pm{Delta tz/Delta t_{flight}}}$

其中 $T_{Start}$ 是你出發的當地時間， $T_{Sunrise}$ 是日出的當地時間（現在假設和地點無關）， $Delta tz$ 是你出發和達到地點的時區差的絕對值， $Delta t_{flight}$ 為你航班的時長，單位為小時。如果你向東飛，取正號; 向西飛，取負號。

伊斯坦布爾是＋2區，上海是＋8區，時區差為6。我查了一下航班時間為10h16min。假設日出當地時間為早上6:30, 那麼可以得到 $Delta tapprox 3.75h$ 。也就是說你坐上飛機三個半小時左右看到日出。

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這個公式是怎麼來的？為什麼和整個航程的飛行時間有關？

如果 $T_{Sunrise}$ 和地點相關怎麼處理？

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1. 一個航班的到達當地時間是這麼計算的：

$T_{End}=T_{Start}+(Delta t_{flight}pmDelta tz)$

$T_{End}$ 是你到達的當地時間，其他項和上面一樣。時區差是考慮當你出發的時候到達地的本地世間，加上航班時間 $Delta t_{flight}$ 就算出當地到達時間了。

例如，從芝加哥(-6)到北京(+8), 時區差為 -6-(+8)+24=10, 飛行時間14小時，向西飛，所以 $T_{End}=T_{Start}+4h$ 。當然由於飛越日期線，還要加一天，但對時間沒有影響。

2. 所以在我們的旅程中，如果我們到達某地的時候日出，那麼 $t_{End}=t_{Sunrise}$ ，飛行到這個地方的時間就是

$Delta t=frac{T_{Sunrise}-T_{Start}}{1pm{Delta tz$

這裡的 $Delta tz$ 是日出地點和出發地的時區差。假設飛機勻速飛行，那麼就有

$Delta tz$ ，也就是說飛機固定時間內飛過的時區數是固定的。代入就得到上面那條公式。

3. 如果 $T_{sunrise}$ 和地點相關，也就是這個時間依賴於 $Delta tz$ ，這時候有

$Delta t=frac{T_{sunrise}(Delta tz$

這時候你無法同時確定時間 $Delta t$ 和 $Delta tz$ ，因為有兩個相關的變數。這時候先確定 $Delta tz$ 會更好一點。由於飛機一直是勻速的，所以 $Delta t = Delta tz$ 是一直成立的，代入得到

$frac{Delta t_{flight}}{Delta tz}pm 1=frac{T_{Sunrise}(Delta tz$

左邊是確定的常數，現在只有一個未知數了。所以，你需要確定這麼一個時區，它和你出發地方的時區差 $Delta tz$ 和相應的 $T_{Sunrise}(Delta tz$ 滿足上面關係。找到這個時區就可以找到對應的時間 $Delta t$ 了。

4.如果是高緯度城市，那真沒有什麼意義了，因為你都有可能在凌晨線上飛，也就一直看到日出……

5.日出時間的公式

$T_{sunrise}=6:00-frac{1}{2}(frac{1}{2}-frac{arccos( anphi an heta)}{pi}) imes 24=frac{12}{pi}arccos( anphi an heta)$

其中 $phi$ 是所在城市的緯度，範圍是 $[-pi/2,pi/2]$ , $heta$ 是太陽當日的緯度。 $arccos$ 的取值範圍為 $[0,pi]$ 或者無窮(當括弧內大於1的時候，極晝或者極夜）。

日落時間：

$T_{sunrise}=18:00+frac{1}{2}(frac{1}{2}-frac{arccos( anphi an heta)}{pi}) imes 24=24:00-frac{12}{pi}arccos( anphi an heta)$

從廣州到北京基本就是同一個經度的不同緯度的飛行。假如夏至日， $heta =23.3^circ, phi_b=39.9^circ, phi_g=23.1^circ$

從而日出時間 $T_b=4.57=4:36am, T_g=5.28=5:17am$

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完

我喜歡把問題想得簡單。飛機上看日出想必是遠程航班。不妨可以作一坐標軸，橫軸為航線上的幾個地點，豎軸為某一標準時間（如北京時間）。那麼你可以把橫軸上所取地點的日出時刻在坐標上標記出來，連成線1。然後，再把飛機到達橫軸所取地點的時刻標記出來，連成線2。線1線2.相交點所對應時間即為所求。

算時間不會，但是想要在飛機上看日出日落的，很簡單啊。

第一，確定自己要去的地方和時間，舉例，昆明到北京。飛行時間3個小時。（我只是舉例啊）

第二，查詢下西安的日出時間（大約在航線中間，不用那麼精確的）。假設就7點。

第三，時間安排略早一點，因為高空的日出時間比地面早。所以購買5點起飛的機票。

最後，因為是從南往北飛，所以值機的時候選擇右邊靠窗的座位。

就這樣啊~ 為什麼搞得那麼複雜~ 日出就那麼一瞬間，而飛機要在空中待那麼久啊~ 時間的寬容度很高的。什麼看日出看日落的，最有愛了&>_&<

感謝 @Unix Hater @章佳傑的回答，一早醒來看到兩位這麼詳細的答案真是讓我淚流滿面。

我簡單說下我自己的想法。首先同一緯度上，任何一點的日出時間都認為是一樣的。這個時間可以通過查詢該緯度上某城市的日出時間得到（誤差一，誤差二）

case 1. 飛機在同緯度飛行。那應該就是飛機和太陽的一個相遇問題（向東）/追逐問題（向西）

我沒能力寫出很明確的式子（感謝@Unix Hater ），但伊斯坦布爾到北京的航班我確實可以算一下.

Turkish Airline TK20 00:50 - 16:05，飛行時間 9小時15分鐘（誤差三）。假設飛機一直在北緯40度緯線上飛（誤差四）

飛機向東飛，從ist到pek需要9.25小時，太陽向西飛，從pek到ist需要6小時。

10月11日北京日出時間為6：20分（+8），飛機在00：50分（+2）出發，半小時以前太陽在北京日出，飛機和太陽相遇的時刻就是飛機上看到日出的時刻。
（1- 0.5/6） / （1/9.25 + 1/6）= 3.33
所以飛機出發以後3小時20分鐘以後可以看到日出。

12月26日北京日出時間為7：35（+8），飛機00：50（+2）起飛，45分鐘以後北京日出。飛機和太陽相遇的時刻就是飛機上看到日出的時刻。
0.75+ （1-0.75/9.25）/ （1/9.25 + 1/6） = 4.1
所以飛機出發後4小時6分鐘以後大概能看到日出

以上結果都和 @Unix Hater 的美觀的式子結果一樣。

誤差一萬米高空的日出時間肯定比地面的日出時間要早

誤差二城市所在經度與所在時區的經度

誤差三飛行時間，起飛時間都應該要取平穩飛行的時間。起飛降落的階段飛不了多遠吧。

誤差四即使出發到達都在同一維度，航線也不一定是一直在該緯度的（as @章佳傑所言）。這似乎是這個演算法未必靠譜的最大問題。
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case2 飛機往正北正南飛，飛機飛行過程中緯度在變化，所在地的日出時間一直在變。應該就是一個方程（當然case1也可以這樣）

sunrise time(travel time) = local time (travel time)

如果在同一條經線上飛，那麼local time（travel time） = start time + travel time

sunrise time （travel time）就複雜了。需要通過 sunrise time (longitude) 和 longitude （travel time）兩個函數決定

sunrise time 與 longitude 的關係可以查詢獲得，但是連續的函數是線性的還是更加複雜？@章佳傑你可知道？

longitude 與 travel time 的關係就和航線有關了。不過就當做延經線速度恆定，那就是線性關係了。

這個有點難舉例了

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case3 任意情況，一樣用方程
sunrise time(travel time) = local time (travel time)

不過等式左面要用延經線的速度，複雜度如同case2

等式右面要用延緯線的速度，複雜度如同case1。@Unix Hater 給出了很精彩的式子。

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打了一遍字，思路清楚了很多。雖然未必解決了問題，但是我很享受思考的過程

我8月從重慶飛往石家莊的時候看過一次日出，場面非常壯觀，難以忘懷。

那麼我是如何看到日出的呢？這個我得感謝航空公司、江北機場、以及當天石家莊的天氣了，晚點六個小時讓我半夜11點半的飛機推遲到了早上5點半，於是我看到了人生中遇到的最壯觀的一次日出！我真的還想再看一次！