若f(x)=-k f""(x), k>0, 那麼f(x)一定是正弦曲線嗎？

01-06

由簡諧運動引起的疑問。

實數範圍內，該方程的解只有 $sin(sqrt{frac{1}{k}} x)$ 和 $cos(sqrt{frac{1}{k}}x)$ 以及他們的線性組合，所以一定是正弦曲線

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周易強請問可以證明嗎？

首先，線性微分方程解的線性組合也是方程的解，這應該很容易看的出來吧。

然後看下面這個式子， $y_1(x)$ 、 $y_2(x)$ 為方程的兩個解

$left[frac{y_1(x)}{y_2(x)} ight]$

如果 $y_1(x)$ ， $y_2(x)$ 線性相關，上式恆為零，否則恆不為零。其分子（加個負號）可以寫成行列式的形式，叫Wronsky行列式。

$W(x)=left[ egin{array}{cc} y_1(x) y_2(x) \ y$

當 $y_1(x)$ ， $y_2(x)$ 線性無關，對於任意一個解 $ilde{y}(x)$

$left[ egin{array}{cc} y_1(x_0) y_2(x_0) \ y$

右邊Wronsky行列式不等於零，有唯一一組解 $ilde{C_1}$ 、 $ilde{C_2}$

對於 $y^*(x)= ilde{C_1}y_1(x)+ ilde{C_2}y_2(x)$ 是方程的解，再根據解的存在唯一性定理（初始條件，y，y『給定後解存在且唯一）滿足 $y^*(x_0)= ilde{y}(x_0)$ ， $y$ ,的y*只有一個。

高數書上應該都有這些吧

解的唯一性定理保證了，這個方程給定初值（函數值和一階導數值）的解是唯一的。