任意一條曲線是否可以找到方程或者函數來描繪？

01-06

如果加上一個允許表達式無限的前提，答案是：必然可以。

如果不允許無限，那麼我們可以以任意精度去逼近那條曲線。

最簡單的方法，把一條曲線上所有的點都表示出來，例如(a, b)，那麼這一個點可以在直角坐標系中表達為 $(x-a)^2+(y-b)^2=0$ ，加上一個點(c,d)就是 $[(x-a)^2+(y-b)^2][(x-c)^2+(y-d)^2]=0$ ，通過無限個限定，自然就能得到需要的曲線。

某個坑爹的、定義域錯誤的計算器：Inverse Graphing Calculator

另外一個方法比較有趣，開始之前我想先提一下地心說。在地心說時代，一些天體的運動極其複雜，但運用本輪和大量均輪的嵌套，當時的數學家強行證明了一把地心說的正確性。現在我們知道，這一方法就是信號學和數學當中都非常重要的傅里葉展開。

文獻鏈接：The Mathematical Power of Epicyclical Astronomy on JSTOR

傅里葉展開的思想其實非常簡單，它把所有波形看成一個周期函數（如果沒有周期，就在測得的範圍之外重複來」強行周期「；如果是無限的無規則波形，就看成周期無限大），然後將其分解成無限個正弦波和餘弦波之和。這裡也可以用任何一對非線性相關的波形代替，例如計算機中常用的方波，用正餘弦是數學上的處理方便。

傅里葉變換的鏈接（作者說看完不懂可以掐死他，然而啃教材懂了，看這個沒懂囧）：

http://zhuanlan.zhihu.com/#/wille/19763358

我們認為，任何一條連續的曲線都可以表示成參數方程的形式，例如從某一端開始沿著曲線勻速移動遍歷整個曲線（允許」回頭路「，不需要」一筆畫「），時間 t 和坐標(x, y)就會有一個連續函數關係（而且是單值函數喲），通過這一對函數的傅里葉展開，就可以得到任意精度、無限逼近的代數曲線。

神一樣的Mathematica代碼：graphics - How to create a new "person curve"?

其實還有很多有意思的技巧，你可以到我的某個（冷清的）果殼小組看看~

蜜汁鏈接：天函地方小組

附上一些自己做的也比較喜歡的東西……

這要看你承認什麼範圍的方程或者函數。

比如說多項式、初等函數、解析函數、連續函數、可測函數……

如果你承認隨意定義的函數，那麼對於曲線，看作點集A，考慮A的隸屬函數f(x,y)，f(x,y)=1就是曲線的方程。

方程可以，函數不行。

方程的可以參照樓上的回答。

函數一個x不能對應多個y，如圓就不是函數。

估計不行,簡單舉個例子：一條在固定x值有多個y值的曲線