矩陣有可能實體化嗎？

01-06

矩陣有沒有可能實體化？比如我拿一塊玻璃，告訴你這是實體化的高斯矩陣，透過這塊玻璃可以讓現實中的圖片變清晰？比如說透過凸透鏡凹透鏡看東西都會和我們直接看到的東西不同，有沒有可能用矩陣來理解，比如各個位置的厚度、透光性或者什麼，我在亂猜hhh。我想嘗試探究矩陣和它有同功能的光學器件之間有沒有什麼聯繫，能不能找到一些規律。如果發現了規律，也許未來可以把很多處理圖像或其他功能的矩陣實體化，變成一個小工具，使用這些矩陣時就像拿起一個放大鏡一樣輕鬆。當然結構不一定是透鏡，材質也不一定是玻璃。單純地感到好奇，並不是非常有目的性地想實現某種功能，只是想看看有沒有規律。想作為一個選修課的研究課題來做。如果有明白的朋友請給我些指點，也非常接受研究方向的建議。不勝感激！

透鏡對光線的變換可以用矩陣描述。

對於高斯光學，在平面內光線傳播的位置可以用二維矩陣： $egin{pmatrix}q\pend{pmatrix}$ 描述。 $q$ 為具光軸的距離； $p=n heta$ 。這樣光線的位置就可以用一個二維矢量空間描述。在此基礎上：

光線的傳播可以用矩陣： $A=egin{pmatrix}1frac{t}{n}\01end{pmatrix}$ 表示；

透鏡對光線的變換可以用矩陣： $B=egin{pmatrix}10\-(n_2-n_1)k1end{pmatrix}$ 表示。

容易發現： $detA=detB=1$ ， $A,Bin SL(2,R)simeq Sp(2)$ 。

由此，二維辛群 $Sp(2)$ 可以用來描述高斯光學（同理 $Sp(4)$ 可以描述線性光學）。我們可以將描述光線傳播位置的二維矢量空間視作一個光學系統的Phase space，即：a two dimensional Symplectic vector space $(V,omega)$ 。其上光線的傳播對應 $V$ 上的Symplectic transformations。

這種結構很像哈密頓力學，哈密頓力學中，力學系統狀態的空間是一個Symplectic manifold $(M,omega)$ 。其上狀態的演化或變換對應 $M$ 上的Symplectomorphism。

不過呢，哈密頓當年是先把這個框架用在線性光學的研究中，之後才用於經典力學的。我的意思是說，這些東西已經非常古老了。數學上它們可以看作是辛幾何的歷史源頭，至於物理上這種方法有沒有什麼特別發展我就不了解了。

摘自昨天剛交的光電子學作業，最後一道題是你說的厚透鏡。

實際上和這玩意關係很深Linear canonical transformation。

謝邀。

在光學領域，矩陣的實體化有很多類。

第一類是抽象矩陣，例如瓊斯矩陣表述光學偏振特性，傳輸矩陣表述薄膜反射和透射特性等。

瓊斯矩陣

第二類是三維實體「拍扁」成「二維」的矩陣，這是一個數值「矩陣」，例如一個透鏡就可以視為一個二維矩陣，即不同位置引入的相位差不同。

舉個例子來說，假設我們有這麼一個玻璃球：

三維玻璃球體

不考慮其他因素，僅考慮其對入射的平面波引入的相位差的情況下，可以將相位分布表示為一個二維矩陣，圖像化之後就是：

三維玻璃球體對光場調製的相位分布

這類情況下，可以把問題簡化，相當於把三維實體拍扁成二維矩陣，數值計算和模擬模擬中都會更方便。

第三類則把「拍扁」的過程都省略了，是一個真正的二維數值矩陣，這就是近年來新發展的一個光學方向：光學超表面器件。這類器件可以視為一個二維平面（厚度僅幾十或幾百納米，相比起光波長可以忽略），平面上分布著很多「像素」，每個像素的尺度都在半波長以下，可以對光的相位、透過率、反射率、偏振等進行調製，與題主設想的器件一模一樣。

超表面器件和異常折射

超表面器件的材料也有很多種，有介質型，也有金屬型。實現的功能有常規的聚焦、成像、全息等，也有違背傳統電磁學理論的異常反射、折射等，因此可以用來做隱身衣。

超表面製作隱身衣

其他領域我不懂，就不亂說了。

關於隱身衣，插個live廣告：「隱身術」的前世今生

你是不是想描述這麼個東西？

有一塊玻璃，蓋在一幅圖上，透過玻璃看圖，就是高斯模糊？

大概是這麼個意思吧？

少數濾鏡肯定可以實現，但是我想大多數濾鏡是無法實現的。

比如說隨便搞一個什麼邊緣查找運算元，怎麼可能用玻璃實現出來？

除了很多回答提到的瓊斯矩陣，根據量子力學，任何一次測量都是一些投影算符，也就是矩陣。

矩陣實體化了不就是一根多維向量嗎？怎麼會聯想到透鏡？透鏡的結構其實是三維的，不是二維的，只不過光線也是向量。一根三維的向量和一維的向量相互作用，改變了一維向量在另外兩維平面上的分布。從這點來看，任何在超過二維的空間里呈現一定方向性的序列都是矩陣的實體化。

冒險小虎隊的卡

光學或者聲學超表面應該最符合題主想表達的意思，超表面屬於超材料的一個分支，就是把擁有不同性質的微結構單元（相當於矩陣的元）按照你想要的規律排成一個超薄的表面（相當於一個矩陣），當光或者聲通過這個表面就可以實現各種各樣不同的效果，可以異常折射，波的自彎曲傳播，放大縮小形變，可以成像，可以濾波，可以實現隱身，可以顯示信息，可以加密解密，可以實現多指向性傳輸，多點聚焦，也可以實現全息，聲學裡還可以實現物體的懸浮，甚至操控其運動。

歡迎你來學超材料，來我們聲學更加歡迎。

當然，各種濾鏡，各種鏡頭，全息相片，膠片底片，還有我們聲學特有的表面波器件也都可以算作矩陣實體化。

這不是光學裡面的ABCD矩陣嗎？

作為一個藝術設計生，對你這個提出的想法很感興趣呢。最近在嘗試通過材料的特性來實現一種比較藝術性的模糊濾鏡，然後來產生攝影作品。手法會比較diy。但在想，如果你想將矩陣（雖然我也不是很懂是什麼，大概理解）實體化，是否可以先嘗試通過純手工的過程來實現一些可以接近或達到的功能，然後藉由此過程和步驟來搜索和獲取相對應所需的材料特性或一些機械原理。設想是否這樣可以有個初步的模型。當然如果有專業的演算法支持會更好了！

非常希望能看到你的想法能夠得到一定的進展。期待未來能夠使用到。

......不是一直都在這麼做嗎，比如photoshop的那麼多濾鏡

此想法真的很棒！假設一下，如果能，那麼就是神器了，最起碼神經網路訓練出來的模型就可以用一堆玻璃來做成個人神助理，將進入光量子信息時代。

對這個領域不了解，這很可能與材料的納米級結構、量子領域、拓撲領域相關吧，對這些我一無所知，瞎猜的。

本人並不專業，以下如果有錯誤的地方就當拋磚引玉了，望指正！

題目：「矩陣有可能實體化嗎？」

最狹義地說：有可能，任何光學元件都可以看做對應的矩陣的實體化。舉個最簡單的例子，想實體化

$left[ egin{array}{cc} 1 0 \ 0 0 \ end{array} ight]$

這個矩陣，找個偏振片就行。//猜測題主想問的並不是這個。

稍微推廣一些：「任意矩陣都有可能實體化嗎？」

如果題主說的「矩陣」只局限於光學領域（具體而言即透鏡等光學元件），那麼答案是「不」，至少目前還做不到隨便寫一個方陣都能磨出一個對應的透鏡出來。//猜測題主想問的是這個。

再推廣一些：「如果不局限於光學領域，那麼任意矩陣都有可能實體化嗎？」

看到了題主添加的「計算機圖形學」的標籤。題主應該知道數字圖像的抽象表示就是用的矩陣，換言之矩陣可以通過轉換為圖像來完成實體化（覺得這個還不「實體」可以乾脆列印出來）。矩陣中最小元素對應純黑，最大元素對應純白，其餘元素按比例量化對應灰度就行。比如上面那個2x2的矩陣，就可以實體化為一個4個像素的圖片，第一個像素是白色，其餘像素為黑色。

我想說的

個人認為題主可能對」矩陣「的理解有些狹義了，畢竟矩陣是抽象出的數學模型/對象，也就是說應該」先有實體，後有矩陣「。如果把題目換成」自然數有可能實體化嗎「、」向量有可能實體化嗎「、」乘法有可能實體化嗎「，題主能看出哪裡不對么？

以及，哪怕僅僅在光學領域內討論，「矩陣「也不是僅僅對應於一個個光學元件。

話雖如此，題主的想法很值得讚賞。如果能找到某種實體化的方式，讓任意瓊斯矩陣都可以轉換成實體可見可用的透鏡，那這種技術的研究和應用前景理論上會非常光明，有點光學領域的FPGA的感覺。（雖然個人感覺」實體化任意瓊斯矩陣」並不可能做到，我並不專業，就不妄加猜測了。）

只能說存在實物可以近似達到某個矩陣的效果，因為矩陣本身就是對真實世界的東西建立的模型。比如磨砂玻璃可以近似為高斯模糊，或者相機坐標系的變換。

但是如果說對於任意一個矩陣，哪怕是退一步說，任意一個卷積核，都能製造出對應的實物模型，在現階段是不可能的事情。那麼多特殊的矩陣你沒法造出實物，就算造出了也不能保證他們滿足矩陣的性質。

可以在水下寫字的筆？

二埠網路的參數就是個二階矩陣