數學問題：如何證明兩直角邊之和大於弧長？

01-06

我來幫題主補充一下：這裡說的弧是一段完全落在三角形內部的圓弧，不存在歧義。當然按照 @Aoxiang Cui 的答案，擴充成凸曲線也是對的。但是不能擴充成任意曲線，因為曲線的「迂迴行進」會增加其長度。
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在學習弧微分的時候想到這個問題。如圖所示，直角三角形AOB中有一段弧AMB，如何證明|AO|+|BO|&>|AMB|？

注意到圓弧AMB所對應的圓心角不大於角ABO和角BAO較小值的兩倍，否則圓弧不在三角形AOB內。不失一般性，設角BAO=θ&<=π/4，角ABO=π/2-θ，AO=b，BO=a，AB=c（a^2+b^2=c^2），圓弧AMB所在圓半徑為R，所對圓心角為2α&<=2θ，圓弧AMB長度為l。

於是有 $Rsin alpha = frac{c}{2}$ ， $Ralpha = frac{l}{2}$ ， $sin heta = frac{a}{c}$ ， $alpha le heta$

故 $frac{c}{l} = frac{sin alpha}{alpha}$ ，考慮函數 $f(x) = frac{sin x}{x}$ ，導數 $f$

於是 $frac{c}{l} ge frac{sin heta}{ heta}$ ，或 $frac{l}{c}le frac{ heta}{sin heta}$

另一方面 $frac{a+b}{c} = sin heta + cos heta$

於是問題轉化為證明 $heta - sin ^2 heta - sin heta cos heta le 0, forall heta le frac{pi}{4}$ ，記不等式左側為 $g(x)$

$g$

又 $g(0)=0$ ，因此上述不等式成立。

（總感覺用三角函數求導是循環論證了……）

給評論區的某位看個圖：

假定這條弧完全落在三角形內部，是對的。有一個很一般的結論，有兩條光滑的凸的曲線兩端重合，如果一條始終在另一條上面，那麼上面那條長度更長，可以試著用分部積分證明一下。直角的那個斷點問題不大，換成一個任意小圓弧就好了。

以圓心為極點作極坐標，把弧和直角邊都寫成極坐標函數，按幅角積分，直角邊在相同的幅角里總是長一點。

如果弧在△AOB內部就可以證明。

把弧AMB分成n段，當n→＋∞時:

誰說沒有初等解法的？ @Kuchler

初等解法是這樣的：

（手機臨時摳圖，見諒）

過圓弧兩端做兩條切線（綠色）。

首先證明兩條綠色切線段的長度和大於弧長，這個是非常簡單的，因為tan(x)&>x

然後證明兩條綠色切線段的長度和小於兩條直角邊長度和，這也是非常簡單的，因為

顯然綠&<藍&<紅

證畢，初中生也能看懂吧

證明見下圖：

我也提供一個思路，只需要構造一個斜邊序列fn（n=1，2...），滿足|fn|&<=|fn+1|(這裡|*|是指*的長度）並且存在一個正整數N和正整數k使得對於任意k&>N 都有|fk|&>|M|(這裡M指的是給定的那條斜邊），並且fn的極限收斂到直角邊就可以顯然證明了。當然這個思路比較繞一些。

幾何證明

弧AMB在三角形內部，默認題主問得弧是圓弧，橢圓弧或其它弧線那隻能曲線積分了，圓弧最長時應該與較長的直角邊相切， $angle{OAO$ ，此處假設M為弧中點，明顯弧AM& )，弧BM&弧AMB，得證

1，先證明一個引理1，兩點間，中心角不大於π的弧線的長度，隨半徑增大而減小。

設AB=a，O為圓心，則M是AB的中點，設∠AOM=θ，半徑r=a/(2sinθ)，θ∈(0，π/2]。

弧線長度f(θ)=2rθ=aθ/sinθ。f"(θ)=a/sinθ-aθcosθ/sin2θ=a/sin2θ.(sinθ-θcosθ)，

設g(θ)=tanθ-θ，

則g"(θ)=tan2θ，在(0，π/2)上為正，所以g(θ)≥g(0)=0。

所以f"(θ)≥0，又f"(π/2)=a，所以f(θ)在(0，π/2]是單調增函數。

引理得證。

2，弧線要落在直角三角形內部，設三角形較小直角為α，則需θ≤α，α∈(0，π/4]

f(θ)≤f(α)=aα/sinα。

三角形直角邊長度和l(α)=asinα+acosα=a√2.sin(α+π/4)。

l/f=√2.sinαsin(α+π/4)/α=h(α)。

h"=2√2.sin(2α+π/4)/α-√2.sinαsin(α+π/4)/α2=√2/α2.(2αsin(2α+π/4)-sinαsin(α+π/4))。

在α∈(0，π/4]，α＞sinα＞0；

(2α+π/4)∈(π/4，3π/4]，2sin(2α+π/4)≥√2＞sin(α+π/4)＞0；

所以h"＞0，所以h(α)在(0，π/4]單調遞增。所以h(α)＞h(0)=1。

所以l＞f。

證畢。

dl=sqrt(dx2+dy2)

由均值不等式知dl≤(dx+dy)

故弧長C=∫dl≤Δx+Δy

不難看出這裡對曲線的要求是任一處切線在一三象限內（含坐標軸）

這個結論本身不一定成立，你好好想想？

你的問題等價於

以一個圓的一條弦為斜邊作直角三角形

那麼，這個直角三角形的兩條直角邊的和一定大於弦所對的弧長

把坐標軸旋轉一下，使斜邊平行於x軸。

這樣只需要考慮兩條斜線與其上方的一條凸曲線的弧長關係。

ds=sqrt(1+f"(x)^2)dx

結論顯然。

對於顯然的解釋是，曲線弧長積分一定可以表示為三個部分：

中間包含導函數為零的點，被[sqrt(1+min{k1, k2})*區間長度]控制；

兩端的部分由於斜率不會越過0，因而各自被直角邊的弧長積分控制。

這結論不一定成立吧。

就拿簡單的345的直角三角形因為你說任意的弧那就取成圓心在斜邊上的半圓也滿足你的條件

弧長5pi/2=7.85

直角邊和3+4=7

我的第一個直覺竟然是數學歸納法，果然是程序員思維。

從M向兩條直角邊做垂線。考慮任意一邊，如果MA是直線，和三角形的結論相同。如果不是，在MA弧上任取一點，在垂線，原直角邊的一半，和MA連線之間，形成了一個子問題。無限可分直到弧線變成直線為止。

因為相同周長圓的面積最大

將圓替換成相同面積的正n邊形，可知落入三角形內部的園的弧長小於落入三角形內部的凸多邊形的邊長（折線段）。

三角形兩條直角邊相當於該折線在X和Y方向的投影。並且投影沒有任何重疊。

因為每條線段在X和Y的投影長度和小於等於該線段的長度。

由於每條線段的斜率都不同，所以存在小於投影其總長度的線段

所以折線段總長小於三角形兩邊長

所以弧長小於兩個直角邊之和

逼近，極限，以曲代直，大概就是這個意思。

我想這個結論可以做一般性推廣，不一定是弧。一族連續凸曲線（首條是平凡的直線），除具有相同起始點外，兩兩不交，則該族曲線長度是曲線與直線所圍面積的增函數。

給個基於拓撲的想法，論證不是很嚴謹

設直線OM與AB交於點N

M和點N重合的時候，AMB=ANB=AB，AO+BO&>AB=AMB=ANB

M和點O重合的時候，AO+BO=AMB

M在線段NO沿射線NO的延長線上的時候，AO+BO&

根據連續性，當M在線段NO上的時候，有 AO+BO&>AMB。

（也就是關於點M位置的方程 AO+BO-AMB=0，考慮函數 f(M)=AO+BO-AMB，然後考察函數值的正負號，類似二分法求根的原理）

這個問題還是要限制一下什麼是「弧」(比如AB是某個圓的弦這樣)，不然隨便亂畫一個彎彎曲曲連續的曲線都可能讓結論失效

證明過程略，結論:推廣到弧上的點橫縱坐標關於自然參數單調時成立

依評論區要求，給出其明確的幾何意義

當橫縱坐標關於自然參數單調時，不妨設三角形的底邊長為1，用x(s)的反函數s(x)，可設y=y(x)。令h=y"，因y光滑。於是A為y(1)-y(0)=豎邊長。故有斜邊長≤弧長≤兩直角邊之和

劣弧的時候可能成立，優弧和半圓的時候可不成立嗷，我找找邊界條件。

用極限的思想，這個問題等價於直角三角形的斜邊小於兩直角邊之和

其實可以直觀理解，用一隻無形的手捏住這條連接兩點的弧，往那個直角移動，一直保持弧形，得到一條弧長最長的弧，這時發揮想像，這最長的弧和兩條直角邊只相差一點點，一個是弧端，一個是直角，形狀就有點像一個正方形內切一個圓後一個的四分之一。

原心不定，誰知道你這弧怎麼畫出來(ー_ー)!!

證明：
假設構成三角形的三條邊分別為：a、b、c，且a、b、c大小任意；
①先證明：a+b＞c；
因為a、b、c都為正數，所以要使得a+b＞c成立，只需證明(a+b)^＞c^2，即：
(a+b)^2-c^2＞0；
根據餘弦定理：cosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab=[(a+b)^2-c^2-2ab]/2ab；
移項得：(a+b)^2-c^2=2ab（2+cosB）；
對於等式的右邊：cosB在角B取值範圍內的值為（-1,1）；
所以1＜（2+cosB）＜2；
又因為a、b都是正數；
所以2ab（2+cosB）＞0，即(a+b)^2-c^2＞0，即a+b＞c；
②對於a+c＞b和b+c＞a的情況證明是類似的；

綜上所述：三角形的任意兩邊之和大於第三邊。