關於微分中dx的一些問題！？

01-06

題主高三狗，自學了一些高數，在研究微分以這一段時，發現了一些難以理解的問題。
（1）首先是關於dx的解釋，比如d f（x）是指對x微小變化時f（x）取得的一個增量，（簡略的寫一下，作為高手的你們都懂的）下面分別是同濟第六版高數，和科大數學分析對dx的解釋
同濟:

數學分析:
顯然數分的解釋似乎更合理一些，但是我不理解的地方是，dx也表示對x的一個增量么？如果是增量，那呢怎麼表示呢？所謂的不依賴x的常數和高階無窮小在哪呢？難道說dx就等於那個微小區間長度h？
（2）其次是對不定積分的定義，同濟的不定積分直接寫成了:∫ f(x) dx =F(x)+C
而數分則這樣定義: ∫ dF(x) =F(x)+C

而dF(x)=f(x) dx，帶入上式即得到與同濟相同的式子，（注:上面的f(x)都表示F(x)的導數）
顯然數分的定義很明確的告訴我們:不定積分是微分逆運算，並且f(x)與dx是乘法的關係，反觀同濟的定義，最後稀里糊塗的說明了不定積分是微分的逆運算沒有批判的意思，只是表示個人看法，但是要指出這裡因為dx的意義我沒有搞懂，所以即便數分的定義再完美，我還是有些模糊。
綜上，我的問題:請高手詳細解讀dx的真正含義，別太深，太深只能留著我以後看了！多謝！！
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補充，在看了多位高手的解答後題主依然一頭霧水，回答大致分為:
1.一元微分沒必要知道
2.我們也不知道
3.你不需要知道
所以呢，我覺得可能是我的敘述不夠準確，(或者是我自己根本就沒懂，陷入了自以為是的怪圈)

在此加以補充，上圖:
問題來了，為什麼對x沒有像對y那樣定義，能不能將△x也寫成△y那樣的形式？
比如說△x=△x+0 ( 然後呢0=o(△x) ，對於無窮小理解的不深，錯了別罵 )
即△x=△x+o(△x)
△x稱為自變數的微分，記做dx，即dx=△x，

這樣就解釋了「令dx=△x」為什麼突兀的出現了，實際上我這辯解也沒啥用，就是緩解強迫症。
醒悟後的思路整理: dy是對△y的局部一種線性擬合，他們相差了一個高階的無窮小，而dx只是對微小變數△x的好看的記法，你可以不叫他dx，就叫他△x，只不過前人這樣叫而已。
這樣來看，正如數學分析所說，一元微分的意義確實不大，同時，它也給我們引入了「變數微分」的概念，即df(x)=f"(x)dx，這裡f"(x)是關於x的變數，而g(x)=dx是另一個變數，不要求dx很小，並且也不依賴x，完全由我們給出，只是一個函數而已，如果不用x表示而用其他的表示就更清晰了，比如df(x)=f"(x)f(z)，雖然這有啥用我依然不知道，但肯定不用於局部擬合了，因為它不精確了，應該是涉及到多元函數了，這個我還沒看過。

回顧了一下，這個問題確實有點亂，好像我的問題根本不是問題一樣，並且一個普通高中生深究這個也確實不務正業，但不得不說數學確實很迷人，儘管我以後可能不學數學，但還是覺得迷人，歡迎大家來討論，也希望高手給予批評，不勝感激！

首先，相同的問題從我初中接觸微積分開始也是一直困擾到我大一正正經經學習過數學分析之後，所以我建議題主暫時把這個問題放一放，把高考準備好，去一個好的大學數學系，因為現在搞懂這個問題並沒有太大幫助。

具體對這個問題，dx和dy確實都是指一個小的變數，但是單獨拿一個dx或者dy出來是沒有意義的。d/dx是微分運算元的萊布尼茨形式，跟f"是完全等價的，它的定義就是在x點附近坡度的極限。當然你也可以想像成dy和dx的比值，但是就沒有極限說的精確。

至於不定積分(準確的說是關於上極限為x的定積分)，其實和微分在定義上是完全無關的兩個概念，他們只是因為微積分基本定理才有了緊密聯繫。所以通常來說積分是定義成函數圖像的面積，而積分裡面的dx，作用是表示函數圖像是關於x這個變數的圖像。所以這時候如果再把dx理解成x的小變數，再乘以f得到一個小矩形的面積，就顯得不精確，當然理解上可以這樣想，這也是為什麼dx會被放在這裡的原因。

具體的，精確的定義一定要和極限(確界)結合在一起，所以憑空思考這個是不切實際的，還不如多刷幾張卷子。

作為一個微積分初學者，把dx理解△x最為方便、簡單、易懂。

比如說：

1、導數的定義

$y$

然後把所有希臘字母換成拉丁（英文）字母（ $Delta o d$ ），極限符號去掉。記作：

$y$

2、定積分的定義

$mathrm{the~Integral~of}~ f(x)~mathrm{from}~a~mathrm{to}~b=sum^{infty}_{i=1}f(xi_i)Delta x_i$ （Riemman積分的定義）

把所有希臘字母換成拉丁字母（ $、 o d$ ， $Sigma oint$ ），稍微寫的直觀一點。記作：

$int_a^bf(x)dx$

3、全微分的定義

$、f(x,y)=f(x+Delta x,y+、y)-f(x,y)=frac {partial f}{partial x}、x+frac {partial f}{partial y}、y+oleft( sqrt{(、x)^2+(、y)^2} ight)$

把所有希臘字母換成拉丁字母（ $Delta o d$ ），然後把o去掉。記作：

$df=frac{partial f}{partial x}dx+frac{partial f}{partial y}dy$

如果只想直觀的理解什麼是dx，這上面的就足夠了。實際上，這個記號最開始由萊布尼茨（Leibniz）發明，也就是這麼來的。非常直觀，將希臘字母直接換成拉丁字母來得到記號。而且最開始人們的推導並不嚴謹，加減乘除地經常都帶著dx，dy計算。主要是因為那時候微積分的嚴格理論還沒有建立起來，人們這麼推導最符合直覺也最簡單。

後來嚴格的分析理論建立起來後，人們很長時間就擱置這個微分d的符號。不解釋它……僅僅把它作為一個不精確但推廣了的記號而已……因為它實在是太難以捉摸。

後來引入微分流形的概念後，微分的內在本質人們才搞清楚。不過這都是後話了，作為高中生，甚至大一學生，甚至非數學系的學生，都完全沒有必要知道。不是說太玄妙，一般人理解不了，而是很沒有必要。因為它們都是在研究更高層次的數學問題才會需要的。

題主正在跟牛頓思考一樣的問題，但是牛頓選擇忽略

因為微分要弄得明白一點還是要學一點微分流形才可以

關於微分中的dx，自微積分發展三百多年來，仍很難有人給它下一個準確的定義，去解釋它究竟是什麼東西，是無窮小量，是有限量還是一個無限趨於0的變化量。

導數定義是y"(x)=dy/dx.到了微分定義是△y=f"(x)△x+o(x)，dy=f"(x)△(x)，這也是柯西關於微分的定義，一直被沿用至今。因此我們可以從dy和△x入手，來探討dx的定義，順便反駁和指出一些過去的誤區和錯誤認識。

首先是dx=△x，實際上兩者是不等的，甚至可以說沒什麼關係，無所謂等不等。從柯西的微分定義上看，有△y=dy+o(x)，即△y≠dy，如果x是關於t的函數，那麼也應有△x≠dx。

事實上為了得出dx=△x，以便得到dy=f"(x)△x=f"(x)dx，即得到導數定義，我們大學的通用教材上利用y=x函數，於是有dy=y"△x=△x，dy=dx，所以有dx=△x，然後再代入微分定義里。實際上這是很荒唐的。y=x與y=f(x)不是同一函數，利用y=x得出的dx=△x不能強行用到y=f(x)中去。事實上對於絕大多數函數的確是不成立的，例如有dy=dx=△x，也可推出dy=f"(x)△x=f"(x)dy，推出矛盾來。如果照這個邏輯來推理，那麼關於微分的定義就有它致命的缺陷，既無法自圓其說，又不能推出導數定義來。即使能推出來，也是誤打誤撞，存在嚴重的邏輯混亂……

我覺得我可以盡量強答一下。

答主不是數學系的，所以肯定是不嚴謹的，所以就不在乎是否嚴謹了。

下面是我自己的理解。

在高數裡面，我們遇到最多的是下面這兩類積分是吧？

A： $int_Omega f(x)mathrm{d}x$ 和 $int_Omega g(x)mathrm{d}x$

B： $int_Omega mathrm{d}f(x)$ 和 $int_Omega mathrm{d}g(x)$

我們應該有以下的認識。

在（A.）和（B.）中，真正沒變的是 $int_Omegamathrm{d}$ 。所以，我們可以把它看作整體。
假設我們的積分域是 $mathbb{R}$ ，對於 $int_mathbb{R} mathrm{d}$ ，我們可以理解為，把積分域 $mathbb{R}$ 拆分成一小塊一小塊的。
（2.）中有一個很有趣的地方。就是，你並沒有規定一個小塊的形狀。我們可以將 $[0,1)$ 拆分成 $[0,0.5)$ 和 $[0.5,1)$ ，也可以將 $[0,1)$ 拆分成 $[0,0.2)cup[0.8,1)$ 和 $[0.2,0.8)$ 。這兩種拆法，都是將 $[0,1)$ 拆分為了兩塊。
我們需要面積，也就是高和寬。（這一條看上去像是，在看過高數的積分部分後，感覺很有道理的「行話」）
（A.）中的函數 $f(x)$ 和 $g(x)$ 與（B.）中隱藏的的常量「1」都可以作為高。
我們需要「寬」。對於積分域 $mathbb{R}$ ，把區間的長度作為「寬」看上去十分有道理。
我們在測量(3.)中，那些各種各樣的小區間的寬度。我們需要一個函數，計算一個集合的寬度。
我們一定會同意，對於區間 $[a,b]$ ，它的寬度是 $b-a$ 。
讓我們不去管（3.）中那個奇怪的劃分，把注意放到符合直覺的、對 $[a,b)$ 的劃分： ${[a_0,a_1),dots,[a_{n-1},a_n)}$ 上來。
在（7.）中，我們說過，需要一個計算函數寬度的函數。在（9.）的約定下，我們把這種感覺能做大事的函數寫成 $mathrm{d}mu$ 。
我們自己體會一下（10.）中的函數： $mathrm{d}mu:mathrm{set} omathbb{R}$ （普通的路人函數長這樣： $f:mathbb{R} omathbb{R}$ ）

$(mathrm{d}mu)([a,b])=mu(b)-mu(a)$

令函數 $mu(x)=x$ ，（12.）可以進一步簡化為 $(mathrm{d}mu)([a,b])=mu(b)-mu(a)=b-a$ 。
在（13.）中，將函數符號 $mu$ 換成函數符號 $x$ ，並結合（9.），我們有了高數書本上的黎曼可積的描述。
在（13.）中，將函數符號 $mu$ 換成函數符號 $f(x)$ 或者 $g(x)$ ，我們有了（B.）。
我們試著理解一下（B.）。假設 $F^prime(x)=f(x)$ ，會有： $int_{[a,b]}1mathrm{d}F=1cdot mathrm{d}F([a,b])=F(b)-F(a)=int_{[a,b]} f(x)mathrm{d}x$

下面關於微分幾何。因為，巧的是，符號也是 $mathrm{d}$ 。我只看過最基本的微分幾何。可能和我一樣，看了好長時間都看不懂入門書籍的同學，能體會到我看到以下思路時的高興 &>_&<

首先是 $abla f =(partial/partial x+partial/partial y+partial/partial z)f=partial f/partial x+partial f/partial y+partial f/partial z=f_xmathrm{d}x+f_ymathrm{d}y+f_zmathrm{d}z$ 和 $mathrm{d}f=f_xmathrm{d}x+f_ymathrm{d}y+f_zmathrm{d}z$
$mathrm{grad}f=(f_x,f_y,f_z)$ ，我們注意到，這是個向量函數。

$((mathrm{grad}f)cdot(1,0,0))(x_0,y_0,z_0)=((f_x,f_y,f_z)cdot(1,0,0))(x_0,y_0,z_0)=f_x(x_0,y_0,z_0)$

假設 $mathbf{v}inmathbb{R}^3$ ，我們有 $mathrm{grad}fcdotmathbf{v}:mathbb{R}^3 omathbb{R}$
對於（18.）， $mathrm{d}fcdotmathbf{v}:mathbb{R}^3 omathbb{R}$ ，進一步，我們表示成 $mathrm{d}f(mathbf{v},(x_0,y_0,z_0)) omathbb{R}impliesmathrm{d}f:(mathbb{R}^3,mathbb{R}^3) omathbb{R}implies mathrm{d}f:(mathbf{v},mathrm{p}) omathbb{R}$ 。
令 $mathbf{v}_mathrm{p}=(mathbf{v},mathrm{p})$ 。我們有 $mathrm{d}f:mathbf{T}_p(mathbb{R}^3) omathbb{R}$ ，其中， $mathbf{v}_mathrm{p}inmathbf{T}_p(mathbb{R}^3)$

我們會發現， $intmathrm{d}x$ 和只是一個比較通用的記號，於是被用來描述各種各樣的問題。但這記號並沒有給出對於具體問題的具體解決方案。enjoy the ride~

如果真的要理解相關的概念，去圖書館看一下極限論，微分學，測度論，微分幾何的一些入門教程應該就能很好的把握這符號背後的含義了。我也還沒懂呢，大學時加油去看吧~

我的理解：dx跟△x是兩個東西，前者是x的微分，後者是自變數的增量。兩個概念從定義上就是不一樣的。但是我們常常默認它們在一元函數中可以相互替換，這是因為考慮函數y=x，那麼dy=dx(因為x跟y其實是同一個量)，另一方面，根據微分的定義dy=1×△x=△x，所以根據以上兩個式子才得到dx=△x。那麼原來導數的符號是dy/dx，若dy/dx=f"(x),本來是dy/dx不可以拆開的，但是現在引入了微分的概念，y的微分就可以寫成dy=f"(x)dx，這些都只是記號！！！但是這樣記之後就可以做一個形式上的運算，也就是說可以把dx當做一個量乘到等號右邊或者除到等號右邊。

df的嚴格定義其實是一個線性泛函

這些基礎性的問題，大一大二曾折磨過我。也曾看過一些高大上的解釋，但最後發現，許多看似高大上的解釋，只是用了新名詞而已（數學很大程度上是在用新的語言表達舊的東西），比如陳天權的數學分析講義把微分定義為線性泛函，其實初學沒必要了解，因為到最後發現那只是一種表達方式，隨著對數學理解的深入，發現原始的idea才是實實在在的解釋，也就是現在通行的數學分析書上的解釋，後來的說法，那是伴隨著對整體數學的理解，自然而然形成的。

這樣的解釋如果你還覺得有疑問，那說明你對無窮分析理解還不夠深入。不妨舉個例子說說，就以物理上的路程來說。以S(t)表示t時刻的路程，S(0)=0. 那麼速度V(t)是它的導數，導數的定義沒有太多疑問吧。我主要解釋下微分到底有什麼意義。

首先，無論微分還是導數，都是一個局部概念，這必須得明確。既然是局部概念，先得固定t，在t的某個鄰域內來討論。自變數的微分，可以看作一個函數，任取鄰域內一點t"，t"-t即是微分，把這個函數記為dt(實際上這是關於t和t"的二元函數，只不過為了簡單，固定了t，可以看做一元函數了)。自變數的微分解釋清楚，因變數的微分就好說了，它即是dt的函數，dS=V(t)dt.這是個線性函數。這裡dt物理上表示一個離t時刻的時間段，dS表示在dt時間段里，以V(t)的恆定速度行過的路程。任意給定一個精確度，都有一個鄰域，在此鄰域內，微分dS與實際路程S(t+dt)—S(t)的差距都在給定的精確度之內。換句話說，瞬時速度在很小範圍內可以近似看做這個範圍的平均速度。如果把一段時間分割成很多份，那每份都很小，在每個小時間段都可以看成平均速度，那這整個時間段的路程近似可以用這些小時間段的路程加起來，這不就是函數的積分的黎曼和？再進一步，路程是什麼？是不是發現了神奇的牛欄公式？所以說原始的idea就是這麼清晰明白，實實在在。後來做的事情，就是把這個過程用嚴格的數學語言來表達。原本只是一個線性化的想法，引申出許許多多的東西。

嚴格表達微分，一點極限論，一點線性代數是必要的。因為它最初的想法就是作線性化，線性函數是最簡單的函數，一般函數未必能線性化，也就是不可微。怎麼線性化？那就是用極限的語言來表達。你還有疑問，說明極限掌握的不夠清楚，線性代數估計也還沒學。

我們有

y=f(x)，

dy=f"(x)dx（自變數為dx）。

這是兩個很像的函數。

我們把第一個函數放大放大放大，取局部，挪到原點，就是第二個函數了。

由於是局部，所以是線性的，所以f"(x)是常數。

由於是局部，所以自變數和因變數取值範圍極小，所以要加d。

但我們畢竟挪了挪，所以是兩個函數，所以說dx，與x無關。

但只是作了平移的操作，不改變增量之間的比例關係，所以可以用第二個函數模擬第一個函數的局部增量。

這時，你就明白了，求導，求的是一個函數在局部的近似線性函數，這種理解，在接觸多元微積分時就顯得格外重要。你會明白鏈式法則為啥會是那樣，由於是線性，矩陣會很重要。

比如y=5x，dy=5dx，為啥這麼像，因為原函數本來就是線性的，局部等於沒局部，本來就過原點，挪了等於沒挪。

這是高教版《數學分析簡明教程》的解釋。所以實際上dx是人為規定的符號，用來表示自變數的改變數△x。之所以這樣規定，是因為對於 y=x 來說，dy=1·△x=△x，而 dx=dy。

Leibniz thought of integration as a form of summation, choosing a
symbol similar to the letter s to show this relationship, and dx as an infinitely small increment of x. (at least as a heuristic)

So try to think in this way:

The classical definition of the definite integral is $int_{a}^{b} f(x)dx=lim_{Delta x ightarrow 0}{sum_{x=a}^{b}{f(x)Delta x} }$

The motivation behind integration is to find the area under a curve. We do it schematically, breaking interval [a,b] into little regions of width Δx and adding up the areas of the resulting rectangles:

(Graph from Wikipedia)Then we want to make an identification along the lines of

$sum_{x}^{}{f(x)Delta x} =int_{a}^{b} f(x)dx$

where we take those rectangle widths to be infinitesimaly small and refer to them as dx.

先佔個坑以後再答

第一問，dx其實就是h，就是x的微小改變數，

所謂不依賴於x，是指不管你x取什麼值，都不妨礙你取x多大的增量，這個不難理解吧，就是說x想增加多少跟x已經是多少是無關的；

所謂高階無窮小，這麼說吧，我相信題主從小聽到的改變數是寫成Δx對吧，當Δx趨近於無窮小的時候，Δx就變成了dx

第二問的話，你這樣想，速度位移公式ds=vdt，速度行走了一小段微小時間得到微小的位移，在這裡dt就是dx，代表著時間的微小改變數，所以到最後還是微小改變數。

一元微積分沒必要知道這個，書上也沒必要講。

目前為止講這個的幾乎都是錯的。

導數就夠了，講微分毫無必要。

（1）dx就是那個h。題主還有問題嗎?