關於諾特定理和能量守恆定律的問題？

01-06

有人說諾特定理的時間平移不變性可以證明能量守恆定律，我不大明白，諾特定理怎麼就可以從邏輯證明能量守恆定律，舉個例子，比如說楞次定律是能量守恆定律在電磁方面的體現，假設某種奇異材料製造的線圈可以不遵守楞次定律，那麼能量就不守恆了對不對，那麼諾特定理是否可以證明這種奇異材料不存在，如果不能，那諾特定理又怎麼從邏輯上證明能量守恆定律

似乎，只要一個理論可以由拉氏量的語言描述且不含時間，你總可以定義出一個與時間平移對稱性對應的守恆量，那個量被你叫做了能量.......

或者說，當你發現原來的理論里定義的能量不守恆時你可能做的事情就是定義了一種新的能量存在的形式，把新的能量存在的形式考慮在內總能量就守恆了。

在現代物理學理論中，能量被定義成了時間這個維度平移不變性對應的守恆量。

我會相繼給出數學上的和物理上的說明。

首先，諾特定理和數學息息相關，先來看看我們數學上是怎麼做出來的

下面給出一個數學上的說明，首先諾特定理有兩種表達，一個是坐標的連續變換導致的，一個是場的連續變換導致的。考慮到一般情況，我們在3+1維中討論場論的不變數，我們有(P32 Condensed Matter Field Theory,Atlands):

首先承認系統有一些通用性質，對於坐標變換:

其中各符號表示不言而喻。

其次，對於場的變換

注意到，為了Genera的討論，我並沒有限制 $F^a$ 是場的線性函數。

推導作用量時候記得:

即，拉格朗日密度被積的時空坐標也得變換。

最後給出守恆流的結果:

對於你得這個問題，我們考慮:

給出守恆流:

考慮這個守恆流的守恆荷，給出能量守恆定律:

從上述數學上的推導，結合你得例子，物理上的反應是:

這個模型適用於一切時間平移不變的材料，也就是說，只要你得奇異材料滿足時間平移不變，諾特定理保證了能量守恆。

其次，諾特定理給出連續對稱性對應的守恆流，能量是能流的時間分量對應的荷，在理論物理體系中，是被定義出來的。

反對這個問題下的某些答案。

這個回答主要來源於 Structure of Physics

首先，一般我們要求一套理論具有一定的對稱性，時間平移對稱性與空間平移對稱性是最低要求，因為如果連這兩個對稱性都不滿足，這個理論能夠適用的範圍就變得很窄，以至於我們基本上不認為它描述一套足夠普適的規律。（更詳細的論證見上述來源）

其次，Noether"s Theorem要求理論的每一連續對稱性對應於一個守恆量。時間與空間平移對稱性是連續對稱性，因此分別對應於一個守恆量。接下來我們定義與時間平移對稱性相應的守恆量為能量，與空間平移對稱性相應的守恆量為動量。

所以Noether" Theorem不僅僅是可以推導能量守恆，它還是Modern Physics裡面能量的定義的來源。

以及，這和材料完全無關。這個條件還可以放寬，這和任何物質場的對稱性無關，而只和物質場所滿足的規律的對稱性有關。所以，即使你找到什麼時間不對稱的材料（事實上這種東西很多好嘛，要一個物質場隨時間變化簡直太常見了），也沒有任何影響。

更多關於物質場對稱性與理論對稱性，可以參考 Structure of Physics 附錄B.

還是要去思考能量是什麼？是怎麼定義的。日常生活中看似你很了解能量，但是給它下一個定義或者理解它是不那麼容易的。

必須時間平移不變才有能量守恆定律。那種奇異的材料不滿足時間平移不變當然就沒有能量守恆。

最早將對稱性用於物理理論構造的人，是愛因斯坦。他發現狹義相對論的變換形成群。其後閔可夫斯基將洛倫玆群的表示寫在了他的一篇論文裡面。

狹義相對論建立後，有人寫信給諾特（誰寫的我忘記了），希望她對最近10年物理理論的發展作一個數學上比較有深度的總結（主要指相對論），然後諾特就鼓搗出了一條原理：任何連續對稱性必定對應一個守恆律。

這種「連續對稱性」當然不僅僅局限於拉氏量，由於其後規範理論發展起來更強調用拉氏量去求動力學方程，因此在拉氏量裡面用的比較多。但是事實上諾特原理所談論的對稱性和守恆律，泛指一切可能的物理量。

最簡單、直接、有效的用時間的平移不變推導能量守恆定律，是用4-能動矢量（或張量）， $P=p_0+sum p_i=mfrac {dt}{d au}+sum mfrac {dx_i}{d au}$

其中時間分量 $p_0=mfrac {dt}{d au}$ 為能量，坐標平移並不會改變 $Delta t=t$ 這個差量，由此可得能量守恆。同理可得空間平移不變對應動量 $sum_{i=1}^{3} p_i$ 守恆。

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回到樓主的問題，「那諾特定理又怎麼從邏輯上證明能量守恆定律」

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一個體系的時間連續對稱性算不上是證明，只算是「公設」，諾特原理只是說明了該「公設」的一個直接推論——它導致能量守恆。

如果時間沒有連續對稱性，它導致的問題不僅僅是破壞能量守恆，還導致其它一系列問題，物理常數將不再是常數。

如果存在某種材料不遵守愣次定律，那麼並不意味著能量守恆被破壞，也不意味著時間失去連續對稱性。只是意味著存在未發現的新場和新物理定律——這是最可能的情況。因為時間比能量基本，能量比愣次定律基本。

【補充一下，類似的故事歷史上出現過多次，比較著名的是玻爾的，當中子衰變時，由於沒觀測到中微子，他做出了錯誤的判斷，認為能量守恆在小範圍被破壞了，即時間的對稱性不適用於量子尺度，後來事實證明他錯了，能量不守恆（實際上是假象）總是伴隨著新物理、新現象。如果你發現類似的現象請通知我，我最喜撿這樣的便宜了。】

簡言之，諾特定理不能從邏輯上證明能量守恆。

首先諾特定理只適用於能夠用拉格朗日量來描述的理論。通過一個簡單的分析就能得出，如果拉格朗日量具有某種連續對稱性，那麼體系就會存在對應的守恆量。這個結論需要的僅僅是歐拉-拉格朗日公式。完全是一個數學上的結果，不會錯的。

但是，你完全可以寫一個拉格朗日量，讓它沒有時間平移對稱性，這時能量就不守恆，這沒有什麼稀奇的。不過，我們從觀測中得出來，實驗現象並不隨時間而變化，能量也確實是守恆的，因此我們認為，描述我們的宇宙的拉格朗日量確實具有時間平移的對稱性。當然隨著實驗精度的提高，或許有一天這些都會被打破，這從邏輯上講是完全可能的。

更或者，我們的宇宙根本就不能用拉格朗日量來描述，比如如果最小作用原理是錯誤的。這種情況下，諾特定理的有效性根本無從談起。

諾特定理是可以從物理規律的時間平移不變性推出能量守恆。因此能量守恆定律成立與否取決於物理規律的時間平移不變性成立與否。

要理解諾特定理就去讀經典力學的書，去啃那些數學，空談空想都沒有意義。

前兩個答案說得很清楚，時間平移不變性具有了之後，才能用諾特定理推出能量守恆。類似還有空間平移不變性可推出動量守恆，旋轉不變性推出角動量守恆，這實際都是拉格朗日函數在某種群作用下不變性的體現。還有一個好玩的應用就是可以從這裡看出來，三體問題的不可解。