研究生在學習有限元課程前需要什麼數學知識？

01-06

1.本人研一，目前在學習有限元理論，用的是王瑁成老師的教材，本科只學習過高數現代概率論，關於加權餘量法和變分原理以及許多複雜數學式子實在太傷腦筋，不明白原理，所以我想了解一下學習這些需要哪幾門數學基礎課，學習的先後順序是什麼？
2.作為土木的學生，需不需要掌握那些數學知識，有沒有合適的教材，適合我這種情況來入門。
3.知乎第一問，最近被虐的比較慘，怒請教知乎各位大神！

我自己上過的數學課程有數學分析, 高等代數, 泛函分析, 數值分析, 偏微分數值分析, 偏微分解析方法, 還有兩門專題性質的應用分析和科學計算. 都多多少少對理解有限元有些幫助.

總的來說, 有限元需要的數學知識可多可少.

想要初步了解有限元的思想, 其實看看結構力學就可以了: 桿件是單元, 端點是結點; 單元內有單元剛度矩陣, 整個結構裡面結點的某個自由度的剛度來自於所有包含這個結點的單元的單元剛度之和. 然後你會進一步發現, 誠然, 任意長度, 任意空間位置下的一根桿件的單元剛度矩陣你都可以寫出來, 然而若是引入參數坐標架和Jacobian矩陣的概念, 一切都那麼顯然. 這就基本開始接觸一些單元的性質了.

想要了解有限元的數學背景, 可以看一些Hilbert space的東西. 了解一下什麼叫弱解. 一個受力物體真實的形變, 就在於, 在連續介質的假設下, 物質是連續的, 且每個物質點都是內力+慣性力=外力. 而有限元意義下, 一個受力物體在某種形變場下, 各個節點的內力+慣性力=外力. 為什麼我們可以說有限元的解和真實的形變是一致的, 收斂的, 那麼就得看泛函了. 這裡面不少公式的推導用到了一些格林公式, 也就是面積分和體積分轉化什麼的, 可能得重新翻翻書才能想得起來.

對於桿件的有限元, 還可以繼續深入到梁單元問題, 也就是每個節點包括位移和轉角自由度, 再深還可以弄明白Euler–Bernoulli梁和Timoshenko梁. 不過要明白梁或者桿單元還是停留在材料力學範疇. 有限元一個很大的應用就是實體單元解決彈性力學問題. 彈性力學本質上還是數學的東西, 應變的度量(運動學), 應力的度量(動力學), 應力應變關係(本構模型), 平衡方程等等. 然後還是一樣, 強形式弱形式等.

然後你會接觸到實體單元, 以及各自的形函數. 對於參數單元, 你就會接觸到積分點這個概念. 結點-單元-積分點組成了實體單元求解彈塑性問題的重要部分. 你會發現哪怕兩種單元結點一樣, 但積分點的不同會導致結果完全不同. 這就牽涉到一些單元技術. 你若是了解了一些知識, 就會在網格劃分的時候避免很多一眼看不出來的錯誤. 譬如用實體單元模擬梁的彎曲的時候, 在彎曲的方向至少需要四層積分點, 否則誤差就會很大.

然後你還會發現有限元這種積分餘量為零的想法還可以求解穩態熱傳遞/物質擴散問題(橢圓形偏微分方程), 瞬態熱傳遞/物質擴散問題(拋物型偏微分方程), 波動問題(雙曲型方程). 在求解瞬態問題中, 時間維度一般使用有限差分, 這牽涉到一些數值計算的知識, 橢圓形還好, 雙曲型就牽涉到如果差分一個對時間二階求導的問題, 常見的Newmark-beta以及Hilber-Hughes-Taylor (HHT)方法都是解決這個的. 如果你繼續探究, 你還會發現瞬態熱傳遞中, 空間維最好用有限元離散, 而不是有限差分離散, 這就牽涉到了有限差分格式的一些一致性收斂性分析.

現在的有限元都有現成的程序實在是沒有必要從編程學起，當然搞數值計算的除外一般的達到境界三就可以了。

對於商業程序是這樣的常見的有ansys abaqus flac三種ansys的apdl語言還不錯但是做前處理還是有點弱另外做非線性問題吧也有點坑，flac專門做岩土用的是差分法，其實有些大型通用軟體也內置差分計算比如abaqus，說到abaqus本人作為abaqus的腦殘粉必須要講兩句，abaqus使用目前最好的有限元分析技術採用py,inp加互動式操作三種方式特別好用一般的互動式就夠用了，其隱式求解和顯式求解都十分好用，其動力學部分簡直開了卦一般嘖嘖

境界一，彈性力學把結果看懂

境界二，高等土力學和混凝土把本構倒明白

境界三，看一看王勖成的原理把演算法搞清楚

境界四，學習下fortran啥的搞點二次開發

境界五，找點開源的程序算著玩

建議題主實踐出真知，老王的原理我也在看說實話這個加權餘量只不過是用來求解等效積分弱形式的一種方法，數值解嘛，所以一定要看看數理方程那本書，其中可以看看泛函和變分，但是這各有限元操作是兩碼事，積分形式用的演算法需要看數值計算部分比如高斯積分啥的，如果從操作出發就好理解不少

本人建議先學軟體，在學理論很快就清楚咯

知乎處女答，答得不好請批評指正^_^

我的一點點感悟是：從數學的角度，有限元與有限差分法、有限體積法都是求解偏微分方程（組）初邊值問題的數值方法，而力學是有限元應用得最為廣泛的領域之一（此外還有熱學、電磁學等）。想要理解有限元法的數學本質，首先要掌握偏微分方程的基礎知識，在此基礎上，推薦閱讀陸金甫的《偏微分方程數值解法》。由於有限元法的數學模型中涉及到泛函與變分的數學推導（等效積分「弱」形勢，對應於彈性理論中的虛功原理），泛函與變分的基礎知識是必要的，推薦閱讀錢偉長先生的《變分法和有限元》，內容深入淺出。

在應用層面，有限元為求解具體控制方程的初邊值問題（結構力學、流體力學、熱力耦合、流固耦合等）提供了一個數值計算框架，所涉及的知識涵蓋力學的方方面面。作為一門課程，顯然無法面面俱到，或許從整個數學框架的學習入手，是個不錯的切入點。

以上個人淺見，不足之處，敬請指正。

第一，個人覺得紮實的線性代數和結構力學知識能大大幫助學習有限元的初步理論。

尤其是線性代數（或，矩陣分析）能提供對有限元離散化後的代數方程進行初步的分析：例如，通過考察矩陣的對稱性、特徵根、條件數等就能對原始「弱」形式的有限元方程進行穩定性和解存在性的初步了解。

當然，要嚴謹地把線性代數方程、PDE和弱形式的解的特性聯繫起來，需要更深層次的數學知識。舉一個很有意思的例子，Fredholm alternative ，這個選擇性定理就分別有PDE和線性代數的版本，可以用於判斷解的唯一性。

但一般的線性代數知識已經足以讓我們感覺到有限元背後數學的美感了。好的線性代數的入門課程和書籍非常多，可以到網易公開課等找到。這裡推薦一本進階程度的教材：

Gene H. Golub, Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 2012.

其次，王勖成老師的有限元寫得非常好，很適合本科力學專業學習。但研究生程度我會推薦：

T.J.R. Hughes 的《The Finite Element Method》

MIT Bathe的《Finite element procedures》

這兩本書基本把有限元最常用和最成熟的知識和技術都介紹了，可以作為科研工作的常備工具書。還可以參考這個有哪些有限元學科方面比較好的書？ - 知乎用戶的回答問題中的其它推薦。

假如答主是希望從事科研和研發方面的有限元研究，那麼我覺得非線性有限元的學習是必不可少的，推薦 T. Belytschko， W.K. Liu 和 B. Moran 的《Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures》

最後，如果題主要繼續讀博士志於成為一名光榮的「發考題」，並且是要從事有限元或其他數值演算法的發展、分析等科研工作，深入地理解有限元的內在數學邏輯則是很重要。那你就要考慮先學習泛函分析，然後閱讀偏數學風格的有限元分析教材。這些有限元分析教材很多，但本人只涉獵過一些皮毛，這裡介紹 Brenner 的《The Mathematical Theory of Finite Element Methods》。

入門有限元方法所需的數學知識不算多。詳細如下：

高等數學：關於導數的定義，有助於理解變分。高斯公式，格林公式。

線性代數：矩陣乘法，對稱矩陣的性質，如何把矩陣對角化，高斯消元法。

變分法：初步理解什麼是泛函，什麼是泛函的變分。

數值分析：高斯積分，拉格朗日差值的思想（有助於理解形函數）

有了這些加上彈性力學材料力學知識就可以入門了。很多更好的數學，碰到了再學也行。

了解變分原理，基礎彈性力學固體力學知識，掌握微積分，矩陣運算，數值分析之類就差不多了。後續就看你的研究學習深度。

可以看看專欄文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24984667

想先糾正題主的一個別字，那本教材的作者不叫王瑁成，而是王勖成，後唐庄宗李存勖的勖。

我覺得作為土木專業的研究生，一般的有限元教材中的數學已經足夠了。題主可能是糾結於加權餘量法、變分原理了，這很正常，因為一般的工科專業在本科數學課中都不會教它們，所以初學有限元的時候會不適應。我認為只要抓住它們的本質，不要糾纏細節，學到後面自然就會逐漸明白的。

不知道那本書後面附加的FEATP程序你們要不要用。如果做大作業要用的話，強烈建議把代碼的相關部分看懂，並會適當修改。等學會使用程序的時候，你就不會糾結於這些數學了。

看你學有限元是什麽需要了。如果是用來科研，建議直接看課本即可。不懂得地方就查清楚，基本原理網路上都有。

如果是為工作需要，基礎幾何即可。會定坐標，掌握收斂方法就好。

另及：主要看你導師的需要。如沒有需要，課餘時間還是好好玩吧，多社交比有限元有用多了。

有限元並沒有涉及到複雜的數學運算啊！分部積分到頂了吧。只是矩陣乘起來煩人，所以用計算機。

有限單元法把前面幾章看懂了，然後對著模擬論壇做幾個例子就差不多了。

朱伯芳的有限元那本書比較實用。

其實完全不用看泛函分析。能玩轉高數基本基礎就沒問題了。隨便看一本有限元的書搞明白兩個問題。第一個如何將微分方程改寫成積分形式以及這麼做的意義。第二個為啥解線性方程有些時候會用到格林公式。我看過工程類的書，那些公式知道這些就足夠了。

當然如果要學起來沒啥疑問的話搞明白點乘叉乘以及多維張量是有必要的。這個看看北大那本流體力學前兩章就行。不建議深入學習，工程對於數學要求沒那麼難，如果想深入的話看看俄羅斯那本現代幾何，不過能不能聯繫上有限元就看自己理解了。彈性力學沒必要，就倆公式翻來覆去的講，看完了還是入門狀態。

需要自己編程的話補充一點共軛梯度演算法和牛頓法之類的演算法用來解方程就可以了。

另外還有一些推薦的書:

杜修力老師的那本工程波動。

老夫的畢業論文

王瑁成的書不知道你說的是哪一本，如果是"有限單元法基本原理和數值方法"，清華大學出版社，不建議初學者看這本。基本上是照著K J Bathe的紅皮書Finite Element Procedures翻譯的。我看的是第二版，Bathe的一些筆誤在這本書中一模一樣的存在。不知道現在有沒有修正。

這本書側重點在於理論，對初學者不好掌握。我個人覺得還是從工程應用入手比較好。推薦Cook的Concepts and Applications of Finite Element Analysis，內容深入淺出，容易上手。

對於初學者來說，不需要那麼多的數學知識。排名第一的答主列出的那些課會嚇到一大片的。線代和數值分析就夠了。關鍵要實踐。用Matlab寫一段代碼，計算單元剛度矩陣到總體剛度矩陣，求解各個節點位移，再推導每個單元的應變應力，就能掌握有限元的基本原理和方法。

泛函分析 + 橢圓微分方程

只能說選錯專業了，後悔中

本人也正在學習，

彈性力學（到按位移分量求解問題）

泛函分析（http://www.youku.com/playlist_show/id_3744431.html，其實懂個泛函和變分的思想就行，不用太深入）

數值分析（插值函數思想，線性方程求解）

再推薦一本書《有限元方法基礎教程》，Logan寫的，最新是第五版

其實有限元方法里最經典就是能量方法（利用的就是泛函和變分原理），另外一個就是加權餘量法。這兩種方法都是把原本的微分方程轉化為等效積分形式，方便進行數值計算。

你有這樣的問法，說明還是一種被灌輸的學習方式。研究生了，要有意識培養自己的獨立思考能力。比如，有限元的學習。你都認識到哪裡不會了？為什麼不去把那些具體的問題通過看書，討論，學習去解決呢，學習的過程就是解決問題的過程。

建議先學好專業基礎，在不懂專業問題的前提下做有限元分析，就是輸入一堆垃圾，再輸出一堆垃圾，你知道怎麼把實際工程問題簡化為一個不失真的有限元分析模型不？你能判斷計算結果的正確性不？你看得懂計算結果並獲取對工程有意義的相關數據不？如果你做不到，就先補專業，再學有限元。有限元是東西了，但前提是你會用，而不是騷整。

建議你先參加一些軟體的基礎培訓（像altair每個月好像都有公開培訓的，從網格到簡單計算分析），再反過來學理論，會大大改觀你的認知！當然這只是速成的方法之一，進階則需要下很大苦工了。

有限元的基礎知識太多了，主要看你想解決啥問題。以問題為核心，遇到不懂的再來學。

這個關鍵還是看老師吧，我現在也在學有限元，哪些方法老師上課都講，而且講的特別仔細，都已經連續講了4周了，所以，你說的什麼加權餘量法之類的老師都認真講了

看目的是什麼如果是做有限元演算法研究上面同學說的都對會的越多越好

如果為了工程應用本科數學就行了遇到不會的再google學最關鍵的英語好看幫助文檔

彈性力學有限元的原理性課程，灰常重要