兩個獨立事件都發生的概率為什麼等於兩個事件發生概率的乘積？

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獨立事件的感性認識是，一個事件是否發生，不影響另一個事件的概率。

所以事件A、B獨立可以定義成，

故

於是。

事實上一般直接用作為事件獨立的定義，因為此式中沒有概率在分母上，能夠涵蓋概率為0的事件。

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聲明：默認題主是高中生，本答案只講述高中數學中的古典概率部分

當然，如果你只是想弄清楚一些腦中沒想清楚的現實問題，那麼也不妨看看這篇答案。

一、什麼是古典概率（更關心答案的話請略過這部分）

初等數學乃至高等數學中，古典概率的定義其實一直是有些含糊不清的。

1、古典試驗的定義：

如果一個試驗滿足兩條：

（1）試驗只有有限個基本結果；

（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。

這樣的試驗便是古典試驗。

好的，現在請解釋「每個基本結果出現的可能性是一樣的」，標準骰子擲出的點數可以不？嗯，好像不錯；一元硬幣可以不？好像不行哎，兩面根本不一樣！

在高中，有些學生會對「拋硬幣」產生懷疑，但試驗時，硬幣兩個面朝上的頻率確實差不多。骰子的印花點數也沒有對試驗得到的頻率產生什麼大影響。

最後，學生抽象出了兩個思維模型：「完全一樣」與「差不多」。正如數學的圓與生活中的圓一樣，學生們把「基本結果出現的可能性一樣」與「看起來差不多」分別作為古典試驗在數學與生活中的識別特徵。

2、古典概率模型：

對於古典試驗中的事件A：

，其中表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目，表示事件包含的試驗基本結果數。

好的，現在請定義「基本結果」，什麼叫「基本」呢？高中課本可不強調這個，老師也很少會仔細跟你說——通常，他們會在你不經意間告訴你，然後你得靠自己去理解，悟性正常的話很快就弄懂了原理，悟性不夠就被攔住片刻。

於是總有學生一開始會搞不清「兩個骰子點數之和為3」的概率應該如何計算，他們會想：「擲兩個骰子有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這樣11種結果，3隻占其中一種，那麼兩個骰子點數之和的概率應該是」,這恰恰是數千年以來，一些低端賭徒們的想法，但事實上正確答案是。

高中數學裡的定義並不是那麼容易理解，因為相對於小學，中學課本里會出現一點點不講人話的內容。所幸中學數學教學很講究舉例子，骰子和硬幣的例子幫助太多人入了概率的門，功勞實在大。

二、相互獨立事件（同樣，可略過）

相互獨立事件的定義：

事件A是否發生對事件B發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。

一個骰子6個數，一個硬幣2個面，它們組合起來將有種結果，我想這一點沒有人有異議。

一個骰子6個數，一個骰子6個數，它們組合起來將有種結果，但它們的點數之和只有11種結果，我們把前面的「36」叫做基本結果。

三、關於「兩個獨立事件都發生的概率為什麼等於兩個事件發生概率的乘積」的初級解答

作為一個正常人類，我腦中的模型是：

的意思是個「均勻」的結果中,發生的有個

的意思是個「均勻」的結果中,發生的有個

由以上模型，要想笨笨地看清楚和同時發生的概率，那既然它們是相互獨立的，我們就只要找找所有個「均勻」的結果中，同時發生的有幾個就行了——很顯然有個，於是。

舉例：

一個搖獎機：

A箱里4個黑球，2個紅球；

B箱里5個黑球，1個紅球；

兩個箱子同時搖出黑球才能中獎。

中獎概率？

如圖，直接記「A箱搖出黑球」為發生、不發生兩種情況，這是事件A；B箱也一樣，記為事件B。

那麼，原題就是：

兩事件A、B相互獨立；

其中。

這兩個事件同時發生的概率是多少？

你看啊，36個「均勻」結果中，有20個是AB同時發生的，是不是等於呢？

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我覺得中國的數學教育最大的問題是教了一堆公式以後不知道什麼是定義……

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