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如何簡單證明阿基米德定律（浮力定律）？

01-06

不邀自來。思想是可以代替公式的。

既然要求簡單，那就不能擺公式了。

阿基米德定律，物塊受到的浮力等於排開液體的重力。

把物塊替換成"水塊"，那麼周圍的水對"水塊"作用力的合力抵消了水塊的重力，所以再把水塊替換為物塊，周圍水對物塊的力即浮力，就是排開液體的重力。

簡單的說就是流體受到重力作用越到下面下面的壓強越來越大，壓強差讓物體受到向上的浮力。

歐拉靜平衡方程

ho vec{R} = abla p

即有

ho vec{R} cdot mathrm{d} vec{r}=( abla p) cdot mathrm{d} vec{r}

僅考慮重力作用，重力方向為z的正方向

ho g mathrm{d}z=frac{partial p}{partial z} mathrm{d}z

frac{partial p}{partial y}=0

frac{partial p}{partial z}=0

考慮物體上dS的面積有

mathrm{d} vec{F}=p vec{n} mathrm{d} S

即有

oiint_{partial V} mathrm{d} vec{F}=oiint_{partial V}p (vec{i} mathrm{d} y mathrm{d} z+vec{j} mathrm{d} z mathrm{d} x+ vec{k} mathrm{d} x mathrm{d} y)

Z方向，我們有

F_{b}= oiint_{partial V} mathrm{d} {F_{z}}=oiint_{partial V}p mathrm{d} x mathrm{d} y = iiint_{V} frac{partial p}{partial z} mathrm{d} x mathrm{d} y mathrm{d} z

由上式

F_{b}=iiint_{V} ho gmathrm{d} x mathrm{d} y mathrm{d} z

證畢

我的思想實驗：處於靜止狀態下的「水塊」，所受合力為0。水塊受2個力，一個是重力G，另一個是水對它的作用力F1=G。 現在把「水塊」替換為物塊，顯然水對物塊的作用力F2=F1（一坨「剛體」在平衡系統里達到靜止，顯然和它內部的組成沒關係吧？），把這個F2稱為浮力，則有F2=G。

附加的，我們有，如果物塊的重心和水塊的重心不在一條重力垂線上，那麼物塊會翻滾，直到2者在一條直線上時平衡。

將 Oxy 坐標面取在液面上，而 Oz 軸垂直液面向下。

設密度 varrho ，浸入液體的物體 V 的表面積為 S ，若對應於面積元素 dS 的深度為 z ，則在 dS 上所受的壓力為 varrho zdS 。由於此壓力總是垂直 dS 面的，故壓力在各坐標軸上的射影為

-varrho zcosalpha dS,-varrho zcoseta dS,-varrho zcosgamma dS

根據高斯公式，即得作用於物體整個表面的總壓力在各坐標軸上的射影

P_x=- hoiint_S zcosalpha dS=- hoiiint_V 0dxdydz=0

P_y=- hoiint_S zcoseta dS=- hoiiint_V 0dxdydz=0

P_z=- hoiint_S zcosgamma dS=- hoiiint_V dxdydz=- ho V

這表明壓力的主向量即合力，朝著垂直向上的方向，其大小等於物體所排出的液體的重量，即阿基米德定律。

謝邀。就是趙華田 說的那樣。

不邀自來

我考慮過一個問題，就是液(氣)體中上浮的物體的機械能守恆問題

設物體排開液(氣)體的質量為M，物體質量為m，上升一段h，忽略阻力

由動能定理，

W浮-mgh=Ek

由機械能守恆定律，之前令我不解之處是我列出來的方程是這樣的:

-mgh=Ek

之後我才發現，這個過程中我忽略掉了液(氣)體的重力勢能變化，因此應該是這樣的:

ΔEp(液)-mgh=Ek

這樣不但解決了我先前的疑惑，還能順便證明阿基米德浮力定律:

注意到ΔEp(液)=G排*h

因此有W浮=G排*h

注意到G排為恆值，因此W浮∝h，於是有F浮=G排

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