理論數學研究的意義在哪裡？

01-06

我認為，這裡存在兩個基本的問題，一個問題是關於「如何看待數學學科」以及「數學的意義是什麼」的問題，即存不存在「純理論」的，「自律」的「理論數學」學科？第二個問題，便是在可預見的將來，對於社會沒有實際效用的研究，兩類基本主體（理論數學工作者和普通大眾）究竟應該如何看待這類研究？做還是不做？允許、支持還是反對？
最後，這個問題的提出或許是基於社會上的兩種現象：一個是普通大眾非常不理解理論數學家的工作，還有一個是理論數學工作者（特別是在這方面並不是很有「天賦」的）也很苦惱自己的工作意義在哪裡~

謝邀。這問題回答過很多次了，

數學的最大意義就是提供一種「靈感」，這種靈感可能是思維方式的革新，可能是描述方法的更新，而這種靈感對於其他領域來說可能是一種「參考」，可能是一種「工具」，也可能是一種「指導」，也可能是一種「依據」，也可能只是一個「探討主題」，這些依據具體情況而來。

具體說說的話，這次我換個回答風格，我給你講個故事，你就明白了。。

（1，以下故事建立在虛構的理想狀態，請不要理解成我在拔高數學地位，我沒這種想法，也沒這種必要

2，速食麵只是指代一類命題，不要代入到現實中得「速食麵」裡面。）

從前有個傻叉，人家都叫他Dr.Rovsion ，這個人一天過著吃了睡睡了吃，天天幫老闆梳理idea打下手的工作，運氣好出論文的時候，老闆會大發慈悲給他個「四作」的名頭，雖然他可能連paper原文的終稿壓根都沒看過。

有一天，他覺得不要過這種混吃等死的生活了。他就開始發現自己想做且能做的idea，他想到了他非常喜歡捏速食麵，有事沒事都去超市捏著玩，所以他經常被老闆娘轟出來。

於是他在想一個命題「如何保證即能享受捏速食麵的快感，又能保證不碎呢？」，然後他想做些解釋。

先轉換這個命題「如何製造一個捏不碎，但是依然有碎裂感覺的速食麵」。

但是這其實並不容易，前沿數學在一個大命題被提出的時候，很多本範疇內的「定義」，「系統」都沒有建立起來，假設人類並不能製造速食麵，全部貨都是從外星人那進口的，進口的那幫人號稱是「神的食物」，自稱飛天麵條教的「先知」，只知道「速食麵是食物，而且可以吃」以外，其他的一無所知。而公眾主流對於「速食麵」只關心在「吃」上面，對於速食麵的其他知識完全沒有興趣，實際上研究速食麵是非常冷門，而且離實用很遙遠的東西。。

那麼數學家從這些信息可以提純一個形式化的描述「速食麵是一種僅靠熱水就能食用的食物」。這個東西很簡陋，但是在一切都還沒有嚴格化的大前提下，這至少可以保證他人的基本「理解」和「交流」了。

但是這個信息量實際上很小，比如我們還並不知道「速食麵可以夾在漢堡里嗎？」「速食麵可以做冒菜嗎？」「孕婦可以吃速食麵嗎？」

所以我們要解構這個命題，幸好數學從早年的算學繼承了強大的符號化系統，又從具體數學中提煉了一整套公理化系統。

這樣的話，通過解構這個形式化命題，我們可以把相關的概念通過明確地「形式符號」建立起來，並且建立邏輯規則，這樣的話，你起碼可以構造在數學系統中的「速食麵」究竟是個神馬東西——「他是什麼」，「可以做什麼」，「不能夠做什麼」。比如我至少知道」速食麵是油炸的」，「和地球人吃的麵條神似」。

但是這一切是不夠的，我不知道速食麵產自何種工藝，我也不知道速食麵是由哪些食材組合而成的，以及一些基本性質。。這樣的話我還是不能真正理解速食麵

於是，我開始在google學術上搜索相關領域的研究。他找到一些重要文獻，

《一種叫速食麵的食品》

《沖水即食的食品相關概述》

以及參考文獻。

《食品工業級油炸產品的製作和保存》

《地球麵條類食品製成品的概述》

《麵條食品製品的創新性研究》。

OK，雖然因為領域不同，無法完全搞清楚，但是至少能弄明白裡面的理論部分和技術分析部分，至少我們開始真正明白「速食麵」了。。然後，他可以開始著手寫一篇論文，開始「通過地球上的麵條食品製品來分析「速食麵」，並且推廣到一般情況下所謂「神的食品」的工業製成可能性」（這樣也破解了飛天拉麵教的」速食麵神創論「）

那麼他會開始著手做一下最初提出的命題，經過長期的思考和粗略計算的研究，發現貌似「捏不碎」和「捏起來有快感」兩個條件其實不能在一般情況下滿足，所以這個研究沒辦法持續下去。但是偉大的Dr.Rovsion不會輕易放棄這個課題的，所以他選擇了「弱條件下「的命題——怎麼保證速食麵堅固而捏不碎。。。

於是，又一篇數學論文發表在A刊上面。。

（*）那麼這些研究有什麼意義呢？？？

一位物理學家知道了第二篇論文，在數學保證了」一般性「和」可行性「的情況下，物理學家開始追究這些麵條是怎麼製成的，需要什麼樣的條件，需要怎麼樣的」物理機制變化「。他們發現外星人的麵條是在一個「物質雛形」上再開始工業化的，而且是通過某種」自然機制「完成雛形」，於是他們開始設計實驗來解釋和認識這種「自然機制」，並且製成了速食麵的「雛形「。然後發表了這個成果。

一位技術研究者無意間去參加學術會議知曉了這個成果，於是開始在物理學家們的基礎上，開始研究怎麼把」雛形「製造成」產品「，而且這個產品要滿足」食用「的目的，基於一些設計和計算，他們完成了這個過程的」工業化設計「，取得了專利，並且開始兜售這些專利。

一位搞工程的無意間買下了這些專利，但是他對」新型建築結構「在建築材料問題上造成的局限，而苦惱不已，但是他發現這種」捏不碎的速食麵「剛好可以作為解決這種結構方案局限的好建築材料，於是他開始與上一位合作開企業，開始推廣」速食麵大樓「。

一位哲學家，主要在分析哲學領域工作，但其實更對「知識論」感興趣，數學哲學這個命題向的東西也會做一做，有一天他在例行研讀一些前言數學成果的時候，發現了Dr.Rovsion的第一篇」介紹速食麵「的論文。而當時的人類世界還不會認識到所謂「外星人」並不是神，還沉浸在飛天拉麵教控制思想界的時代。而這篇論文讓這位哲學家知道」速食麵壓根可以人造「，於是開始質疑起飛天拉麵神教宣傳的世界觀。

他通過理論主義來批判」飛天拉麵神教神創論「給出了以下哲學論據，稱為「面神不可知論」：

」人不可能感知到神祇或其存在，在「內在理論」體系中，神與世界是緊密相連的，因此也存在於人的思想中，與此同時，每個人的意識又都必然是主觀的；根據這種不可知論，人類認知所存在的種種限制使得來自宗教信仰的任何客觀推理都無法得出神存在的結論」

基於以上這種批判，他開始在認識論上建立一套東西。

「現有人類世界觀局限於高層次生命的設計之中，所以所謂」理性「和」邏輯「本質並不可靠。」

「合乎理性的未必就是現實，而合乎現實的未必需要符合理性。「

而一位經濟學研究者，會考慮麵條工業化以後的一些宏觀經濟大勢。

人文學者可以探討「近百年來，人們對於速食麵的觀念變化和」速食麵宗教「的細節考證」。。

而Geek們，根據這兩篇論文，發明了一種叫「速食麵打地鼠」的桌面遊戲，風靡全世界。

商人們在速食麵產品化之後，開始通過資本運作和實業經營，建造起了一個超級的「速食麵產業帝國」。。

等等等。。。

總之，數學留下的就是一種靈感，這種靈感是參考性的，這種靈感很可能沒用，但是即使沒有直接作用，往往也提供了一些研究主題，數學的作用也就在於此。

而Dr.Rovsion呢？？作為一個失敗的數學家，在拿了一個不痛不癢的獎項以後，繼續給自家老闆打下手去了。。。。

1你必須先明確一下什麼是純理論，怎樣衡量一個理論夠不夠純。

2即使明知一些數學成果沒有實用價值，養幾個數學家又能花幾個錢呢？

為了人類心智的榮耀。

不僅僅是數學之外的人對數學有這樣的疑問，哪怕數學內部也有這樣的分歧。一些偏嚮應用的人覺得純數學太虛，而也有搞純數學的人覺得應用不夠純粹。但是數學以及其他理論研究的一大特點就是，我們不知道什麼時候它會有用。下面這段話是我從何夕的《傷心者》裡面抄出來的，科學史上這樣的例子數不勝數：

古希臘幾何學家阿波洛尼烏斯總結了圓錐曲線理論，一千八百年後由德國天文學家開普勒將其應用於行星軌道理論。
數學家伽羅華公元1831年創立群論，一百餘年後獲得物理應用。

公元1860年創立的矩陣理論在六十年後應用於量子力學。
數學家J.H.萊姆伯脫，高斯，黎曼，羅馬切夫斯基等人提出並發展了非歐幾何。高斯一生都在探索非歐幾何的實際應用，但他抱憾而終。非歐幾何誕生一百七十年後，這種在當時毫無用處的理論以及由之發展而來的張量分析理論成為愛因斯坦廣義相對論的核心基礎。

最早看到後面的文章是在一位教授的個人主頁上，但是他原來的鏈接已經失效了，這裡是我保存下來的一個版本。在最後有原載和譯註的引用信息。

當然這都是對於其他人的意義，而對於研究者本身而言，喜歡這一個意義就足夠了。

不合時尚的追求 Freeman J.Dyson
一、引言
今天，我很高興以高等研究所代表的身份，向 Humboldt 基金會的會友講話，因為高等研究所和 Humboldt基金會都在努力支持國際範圍的科學研究，又都面臨著同樣的困境和難處。我們正試圖堅持150年前 von Humboldt所開創的傳統。為了對von Humboldt有所了解，我查閱了1910年版的不列顛百科全書，看到科學史家Agnes Clerke寫的極漂亮的文章，如果你查以後的版本，則只能讀到Clerke文章的片斷。Clerke在文中描述了von Humboldt建立第一個國際氣象和磁力觀測網的工作，結尾鏗鏘有力："國際間的科學協作，乃是現代文明最富麗的碩果，而正是Humboldt的努力，成功地促成了第一次合作。"高等研究所和Humboldt基金會正以von Humboldt為榜樣，儘力在我們自己的時代，加深和擴大國際間的科學協作。

二、科學研究的時尚
我決定談談科學中的時尚問題，因為對於科學，特別是對於高等研究所和Humboldt基金會，這是個嚴肅而日趨重要的問題，我首先談在高等研究所里看到的時尚；然後講我們能從跨越漫長時期的科學史中吸取的教訓；最後，就今後如何更明智地對待時尚說幾句話。
有種說法總是對的，而且在今天比以往任何時候都更加真切，即：對於能力一般的年輕科學家，最聰明的辦法是追隨佔優勢的時尚。任何一名青年科學家，要是沒有傑出的才華，也沒交上難得的好運，他首先關心的是找到一項工作並保有它。為此，他必須涉足於某個科學領域--它是控制著職業市場的、佔據高位和有影響的權威們感興趣的，並從事一項自己能勝任的工作。這些權威認為重要的科學問題，幾乎就可以定為合時尚的問題。當然，給予工作的權力，在今天一般不由單個權威掌握，而由一個權威組成的委員會控制。但是，跟個人相比，委員會更難從一個時代的潮流中解脫出來。所以，關心自己生存的的青年科學家傾向於順著踏就的路前進，這是毫不奇怪的。那些第一流的高級學術機構，向能輕車熟路跟隨時尚的人提供保證，給予升職晉級，對不追隨時尚者則只提供極少的機會。
我們研究所也不例外，三十四年前，我首次來這裡作訪問成員。當時主要的權威是Robert Oppenheimer。他決定物理學中的哪些領域值得搞，他的口味總是跟當時最時興的方向吻合。我那時年紀輕輕、雄心勃勃，拿著一篇討論時髦問題的急就篇找到他，很快得到了一個永久的職位。這是那時的狀況，今天也依舊如故。有些了解研究所歷史的人可能反對上述看法，他們會說，研究所畢竟也給了Kurt G?del 一個永久職位，情況確是如此。G?del乃是本世紀少有的幾個名不虛傳的天才之一。在我們的同事中，他是唯一能跟Einstein以平等地位一起散步、聊天的人。G?del從事非常深刻但不合時尚的一個數學領域的研究。隨著年齡的增加，他顯得更加趕不上潮流。我們研究所有理由為給他在教授會提供席位而驕傲。只有一個事實使這和光榮減色：G?del自來研究所生活和工作，從普通成員升到教授竟花了十四年時間。G?del有如此的獨立和潮流精神，才使得我覺得，研究所在經歷十四年的躊躇之後，終於使他成為一名教授，總算也是值得一提的一點功勞吧。晚做總比不做強！
今天來研究所工作的青年物理學家，比起三十年前的我，受到更大的壓力。首先，他們多半是靠跟政府的合同得到錢的，合同約束他們在確定的時間內從事指定科學領域的研究。當然，我們不必過份從字面上理解「合同」這個措詞。管理合同的國家科學基金會和能源部的官員都是理智的，允許我們對所承擔的義務作帶點伸縮性的解釋。如果研究所內某些靠合同掙錢的成員，打算搞跟合同無關的課題，那時沒有人會強迫我們把這些人趕到大街上去。有些人的興趣所在不適於簽入合同，他們的工作一般就由研究所基金會支持。但不管怎麼說，合同仍是嚴肅的，具有約束力，它從總體上規定了研究所物理部的訪問成員應積極從事的工作領域。合同確定了物理學的主流應該是什麼。我們對邀請來工作的成員，必然要求他們的工作能容易地納入這一項或那一項合同之中。
三十年後的今天，我也成了權威中的一份子。我努力鼓勵年輕的物理學家在非時尚的領域搞研究，但只能以一種既不道明又十分無力的方式進行。我試圖讓很少幾個沒有合同支持的研究領域保持生氣。我力圖讓研究所的大門向具有獨立思想和逆潮流的人物敞開。我要始終開著一扇門，以待另一個Kurt G?del找上門來。不過我不得不承認，我企圖阻擋時興潮流的努力，其效果跟傑出的前輩Ｃanute王[注１]阻止大西洋潮汐的結果差不多。今天的年輕人，被一種比合同或權威更強的力所驅趕，追求著時興的玩意兒。這股駕馭年輕人時髦的力量就是同輩的壓力，就是追趕時髦本身的刺激。他們知道舞台在那兒，並想登台表演。他們知道只有短暫的時間來證明自己是個科學家。他們知道在配給他們使用的短時間內做出有價值成就的最好辦法是隨大流，儘快地在已成熟的領域摘取科學果實。
年輕的科學家們力爭儘快獲得成功、力爭儘快取得報償，這本身並非壞事。他們的努力集中在一些時興的專門領域，也不一定有害。畢竟，時尚問題之所以成為時尚，並非由於象某些時裝設計師那樣的靈機一動所致，而是大部分科學家認為它們重要。有一條普遍法則，大多數人的判斷總是有根據的。時興的領域常常都是些在其中獲得了極其重要發現的領域。年輕科學家擁向這些領域，以期作出轟動世間的發現，這是無可非議的。確實，在時興領域中許多人同時研究一些課題，大大增加了研究所日常生活中樂趣和激情。對於你在時興領域開發寶藏進的每一次小的成功、每一回短暫的凱旋，朋友們都會在飯桌上或討論班裡談起它。如果失去對時興問題的共同旨趣，如果沒有這種對新鮮消息和傳聞的關心，我們研究所的生活將變得十分乏味。
那麼，我為什麼還不滿足呢？我為什麼要為那些年輕人--他們正做著我自己在那種年齡時做的事--鳴不平呢？我之所以有牢騷，因為我認為我們的工作不應該百分之百都是合潮流的。時尚的研究是有用的、重要的和激動人心的。我們可以為年輕一代搞時髦課題並有所建樹而驕傲。出於我能理解並尊重的理由，我們將看到他們中的大多數人會永遠樂於搞時尚課題。我的意思只是說，必須為少數不搞時尚研究的人留下位置。我們應該發現那些不適於納入流行款式的少數人，並對他們加以鼓勵。在為研究所選人時，必須稍微偏向一點非正統和不從習俗的人。如果連我們這裡都不給搞非時尚科學家的從業者一席工作之地，那麼還有誰會給呢？！
三、以往的歷史
由於存在許多非時尚的科學，支持它們的主要困難之一是選擇問題。非時尚的科學千姿百態，沒有任何統一的結構。上星期，我穿過批Princeton 大學的Forrestsl Cumpus (一處校園)時，遇到兩個研究生靜靜地坐在草地中間，起初，我以為他們正在享受陽光和八月午後的靜謐。可是走近時，我看到他們正全神貫注地做什麼精巧的操作，手一點不能顫動，精神不得絲毫分散。當走到跟前時，我才弄清他們正忙著把一小塊鉛粘在蜜蜂背上。我靜靜地在旁觀看，等他們做完全部工作，便跟著來到他們的實驗蜂箱，箱上裝備有照相機和錄相機。這兩個人正在更精確地做Karl von Frisch 的經典實驗，並進一步擴充實驗內容：原實驗用於研究蜜蜂用舞蹈傳遞信息的系統。他們已發現，當蜜蜂發現蜜源離巢相當遠時，它們的舞蹈更明顯、更有力、了更精確。不幸，大多數蜜蜂只在蜂巢附近找蜜，返巢時只是簡單地、馬馬虎虎地跳一陣。這兩個學生想觀察高精度的舞態，便設計一套辦法讓蜂表演更明顯的舞姿。當一隻蜜蜂負重45毫克鉛時，只要飛一小段距離它就以為飛了很長時間。蜜蜂以所費的氣力來感知飛行的距離。所以，負重的蜜蜂每次采蜜回巢後，都跳出精細的舞蹈。
上面說的是典型的非時興科學的例子。事情發生的地點就在我們Princeton大學的門口，我並非提議高等研究所應支持某個昆蟲學學派。但蜜蜂實驗說明，一切這類非時興研究的特點，使得支持它們變得困難。它們的規模很小，研究對象各式各樣，風格特異，看起來缺乏嚴肅性。
為了說清非時尚科學具有真正的和持久的重要性，我來談我擅長的領域：數學物理。數學物理是這樣的人從事的學科，他們力圖用嚴格的方式和純數學的方法，達到對物理現象的深刻理解。這門學科處於物理和數學的交界處。數學物理學家的目標不是對現象進行數量方面的計算，而是從質的方面去理解。他們提出定理，加以證明，但不依賴數學和計算機。他們的目標在於用數學的精確性，闡明物理理論賴以確立的概念的含義。
數學物理有三個性質使它跟眼下的討論有特殊的關係。第一，它為更實際的物理領域提供基本思想和專門語彙，它從大的範圍闡明事物的性質，因而很重要；第二，它的進展緩慢，一個新概念從創生到能有效的使用，基本上經歷五十到一百年之久；第三，它幾乎總是非時興的，因為它的周期比科學浪潮的周期大約慢車10倍。由於它不時髦，所以在歐洲對它的關注與支持，總比在美國強得多。
有一位偉大的數學物理家的工作，對今日的物理學仍然無比重要，我指的是Sophus Lie,他已去世八十年了。他的偉大工作完成於十九世紀七十至八十年代，但只是在剛過去的二十年間，才支配了研究粒子的物理學家的思想。 Lie第一個理解並清晰地陳述了群理論可作為物理原理的起點。他幾乎靠單槍匹馬構造了浩大而漂亮的連續群理論，並預見到有朝一日它將成為物理學的一個基礎。一百年後的今天，每個按照破缺或無破缺對稱性研究粒子分類的物理學家，都自覺或不自覺地使用Sophus Lie的語言。可是當Lie在世時，他的思想並不合時尚，幾乎沒幾個數學家理解它，更不用說物理學家了。Felix Klein 是為數很少的能理解和支持他的大數學家之一。
Lie屬於這樣一種人，他們似乎承受著不公平的厄運， 1870年普法戰爭爆發時，年輕的Lie正在法國漂泊。他是挪威人操著帶普魯士口音的法語。楓丹白露的愛國者認定他是普魯士姦細，把他投入監獄，由於法國戰敗，形勢一片混亂，當Lie的法國朋友最終找到關他的牢房並成功地使他獲釋時，他正靜居囚籠，搞出了新的數學發現（Lie, 1877）。在世紀交替之際，Rouse Ball出版的數學史中，以悲愴的語調結束對Lie工作的評述（Rouse Ball, 1908）：「看來，Lie一直很失望，因他的工作價值沒得到普遍承認，他為此而苦惱……。在他生命的最後十年，他常陷入沉思，想著他被過份忽視了的過去，使他心情不快。」
另一位偉大的數學物理天才是Hermann Grassmann, 他在世時比Sophus Lie更不合時尚。 1844年在Stettin當預科學校的教員時，他發表了題為Die Lineale Ausdehnungslehre（擴張演算）的著作，首次引入了向量、向量空間和反交換代數的基本概念。它們在二十世紀的物理學中極其重要，但在十九世紀時卻不然。在他生活的世紀，Grassmann一直在那所不知名的預科學校當教員，科學院的權威對他不聞不問。不過，他比Sophus Lie 有更強的適應性。他不是老想著得不到數學家們的承認這件事，而是開闢第二戰場，去學習梵文。他把Rig-Veda（印度古經典四吠陀之一）譯成了德文，因而有了不小的名氣。也許，如果命運安排你成了不被承認的數學天才，為了健康起見，去當個預科學校的老師比當大學教授要好一些。
為準備這次講演，我到研究所圖書館查過資料，我高興地發現了一本1878年版的Ausdehnungslehre(維數理論)，標題頁上用鉛筆寫的Minkowski的名字 --他是Einstein的老師，第一個理解相對論的數學家。1878年出的這本書中有Grassmann寫的序言（仍是在Stettin寫的），他興奮的表達了如下希望：新版本將比三十四年前的頭一版受到學術界更多注意。序言之後有一行腳註："Der Verfasser ist w?hrend des Druckes gesorben"(本書付印時作者已去世)。只是到了十九世紀九十年代，Felix Klein--一位在為非時尚的事業戰鬥時總是毫不吝嗇氣力的人，才促成了對Grassmann的正式承認，並出版了他的全集（Grassmann, 1844, 1878, 1894）。
數學物理在更近期的一個偉大發現，是Hermann Weyl於1918年提出的規範場的思想。這一思想僅過了五十年就在現代基本粒子物理學中獲得了地位。量子色動力學是1981年粒子物理學家最時髦的理論，從概念上看，它就是Lie的群論代數和Weyl的規範的綜合。Weyl提出規範場時的情況，跟Lie群和Grassmann 代數發現時遭遇完全不同。Weyl既有名氣，工作也得到了承認。他在1918年搞的正是物理學中最時興的領域：新誕生的廣義相對論。他創立規範場是為了解決將重力和電磁力統一起來的時尚課題。幾個月內，他的規範場變成最時髦的玩意兒。然後Weyl和其他人發現，規範場的提出並沒達到預期的效果，即他們在事實上並不適於Weyl原來創立它們的目標。它們很快又不時興了，甚至幾乎被人忘卻。又經過五十年漫長歲月之後，規範場在一個完全不同的方向上--量子電動力學及其在近期引出的量子色動力學方面的推廣，清楚地顯示出它的重要性。為規範恢複名譽的關鍵一步，是由我們Princeton的同事Frank Yang和他的學生Bob Mills於1954年邁出的，那是在Hermann Weyl 去世前一年的事（Yang和Mills，1954）。沒有證據說明Weyl知道或注意到Yang和Mills使用從他腦袋裡蹦出來的娃娃所從事的研究。
規範場的故事充滿了諷刺意味。一個時髦的思想，本想用來解決某個問題，但這個問題本身是短命的。經受長期的冷落之後，規範場最終以物理學裡程碑的雄姿屹立於世。在漫長的數學物理髮展史上，不乏這種反覆的例證。Hamilton發明的四元數，曾被歡呼為解決十九世紀物理問題的靈丹妙藥。可是在世紀轉折之際，因無用而被棄置。到本世紀二十年代，它有以量子力學中自旋矩陣的形式恢復了青春，現在，它又光榮地躍入了夸克場理論。 Gauss發明的微分幾何，起初只是他從事測地學和繪製地圖等實際工作的副產品，經天才的Riemamn之手，它被改造成一個具有抽象一般性的新天地；五十年後，又作為Einstein重力理論的基礎立於世人面前。這些歷史有一個共同點，它們都經經歷一個漫長的時期，從發生到結束通常超過單個人的生命期，而最終的結果完全無法預知，發明具有決定性意義的概念的人中，沒有一個能對最終使用這種概念的物理領域有些微的感知。
往事講得不少了，我想，我已經給各位充分的歷史見證以證明我的論點：不時興的人和不時興的思想，常常對科學的進步有決定性的意義。現在該講講現實和未來我沒有理由期待今後科學思想的發展格式跟過去不同。我們能夠期待，在未來的歲月，非時興的思想顯示其重要性的機會跟過去一樣頻繁，當然，這要經過漫長的孕育期，並在人們所不熟悉的領域嶄露頭角。作為科學進步的衛士，我們面臨著如何識別有前途但不合時尚的思想以及如何支持它們的問題。
四、魔怪和教訓
首先，讓我們環顧數學世界，看看能否鑒別出在二十一世紀可能成為物理學基本構件的非時髦的思想。要是走運，我們說不定能挑出未來傑作的侯選者。當然，不能奢望在我們的有生之年，就弄清這種挑選是否正確。
粗略地講，非時尚的數學就是Bourbaki的權威們宣布為不屬於數學的那部分數學，許多非常漂亮的數學發現屬於這一範疇。據Bourbaki的觀點，一種思想要稱得上是數學，應該是一般的、抽象的、統一的，並跟數學的其餘部分有清晰的邏輯關係。被排除在數學之外的是特殊的事實和具體的對象，它們的存在缺乏相應的理由，數學農稱之為偶然或散在的事物。非時尚的數學主要跟具有意想不到的妙處的對象有關，如特殊函數、特殊的數域、異常的代數、散在有限群。我勸諸君到數學中這些尚未系統化、尚未形成學科的部分，去尋找物理學下一次革命的火種。它們具備奇異性和意外性的品質。它們不容易納入漂亮的Bourbaki的邏輯結構。正是基於上述理由，我們應該珍愛它們，去開發它們。請記住兩年前我們的所長Harry Woolf在一次講演中的基調，那是他在研究所紀念Einstein誕辰白周年紀念會上引用的Francis Bacon的一句話： "沒有奇特的奇異性，也就不存在於不同的美麗"（Woolf,1980）。
我將簡要地談談散在有限群（Conway, 1980）的特殊的奇異性。散在有限群的歷史始於法國數學家Emile Mathieu，他在1861年發現了第一個這種群， 1873年又發現第二個。跟通常獲得這類發現的情形一樣，Mathieu並不知道自己發明了散在群，事實上，他的文章的標題中沒有"群"這個詞（Mathieu, 1861, 1873）。但是，他清楚的知道已找到某種非常漂亮和重要的東西。用幾何語言講，我們可以說他已經發現在12和24維空間中，存在一種具有奇特對稱性的結構，但在任何維數不是12或24的空間中，不存在這種結構，他的工作發表了，但在其後的一百年里並不時興。正如被公認的數學家喜歡說的那樣，這是珍奇的孤品，沒有開闢任何前進的道路。
大約七十五年後，Mathieu群在編碼業務中表現出某種實用的重要性。每個Mathieu群都給一種特別有效的糾錯碼提供了基礎。當然，Mathieu群在實際中的應用並未招致數學家的青眯，他們的口味讓Bourbaki給限制住了。
接著的二十年間，風雲突變，各方面的數學家用各種方法發現了新的散在群組成的宏大的"動物園"。他們之中有的是按照Mathieu的思想找到的；另一些是通過研究一個非時尚的問題引出的：把24維的撞球儘可能緊地裝進24維歐幾里得空間（Leech, 1967）；還有的是在大計算機上試算排列組合問題時創造的。
這些發現有一些共同點：具體性、經驗性、實驗性和偶然性。這跟Bourbaki的精神正好相違。包括Mathieu的結果在內，總共發現了25個散在群。與此同時，群論專家的團體，用更一般和抽象的方法，成功地證明了散在群的總數不能大於26，所以，兩年前的形勢是還剩下一個散在群可尋。當時知道，如果著最後一個群存在，它將是所有散在群中最大和最漂亮的（Conway和Norton, 1979）。正在獵取它的人給它起了綽號叫"魔怪"或"親密的巨獸"。
去年，當Bob Griess從Michigan大學來高等研究所訪問時，上面的故事終於有了結尾，他找到了構造這個魔怪的方法（Griess, 1981）。正巧在昨天，我收到從Michigan幾來的長篇論文的最後部分，其中包括對他的研究的完全和肯定的評價(Griess, 1982)。對於那些不辭辛勞地從細節上弄清Bob Griess構造的人來說，魔怪的面目已暴露無遺，他們可以感到滿足和快意。現在，這最後的也是最大的散在群已無懈可擊地獨立於世，成為一座不朽的紀念碑。
這一切對物理學有什麼意義呢？也許，一無所有。也許，散在群只是數學史上一彎可愛的滯水，遠離浩蕩主流的奇妙的插曲。我們絕沒發現一點兒跡象，說明物理世界中的對稱以任何方式跟散在群的對稱發生聯繫。迄今，我們所知道的是，不管有無散在群存在，物理世界的面貌和功能依然如故。但是，我們不應過分地肯定它們之間無關。缺乏證據跟不存在證據到底不是一回事。在物理學史上，有過比意想不到的散在群的出現更奇怪的事。我們應該永遠準備好迎接意外的事情。我必須坦白地招認，我內心存著希望，沒有任何事實和證據支持的希望：有朝一日，在二十一世紀，物理學家將與魔群邂逅，以某種出人意料的方式將其納入物理世界的結構。這只是一種莽撞的推測，幾乎肯定是錯的。有利於這一推斷的唯一證據來自神學。這個強有力的證據是：宇宙的創造者喜愛對稱。如果他喜愛對稱，那麼還有什麼別的對稱比"魔怪"的對稱更可愛呢？
散在群只是不合潮流的數學家創造的怪異而奇妙的思想寶庫中的一例。我還能舉出許多例證。你能想像一個正面體，--由完美的對稱元構成的物體，--排列成完美的對稱結構，總共有11個面嗎？去年，我的朋友Donald Coxeter（在Toronto）找到了這個多面體（Coxeter, 1981）。有朝一日，會不會發現Zeta函數的零點（Riemann在120年前猜測它們具有某些性質，現今仍是數學中重要的秘密之一）跟物理世界有隱秘的聯繫呢？去年，Andrew Odlyzko(Bell實驗室使用Cray計算機的數學家) 發現了Zeta函數零點的某些新的和出人意料的性質。 Kurt G?del的不完全性定理（證明純數學中存在這類問題，任意給定一組有限個公理和推理規則，都無法解答它），是否有一天會使我們對物理知識的限度有更深入的理解？不管你在哪個思想的王國遊歷，總會發現各種奧秘的暗示，聽到有關藏匿著的各種事物間聯繫的傳聞。
時間不多了。我必須踐約講講對支持科學研究的具體意見。我是針對高等研究所和Humboldt基金會講的。這既是我們的義務，也是我們這兩個比政府更具慧眼的獨立組織的殊榮。我們應能採取一種比政治家和博士後的學生看的更遠的科學觀。目光遠大的科學觀教我們怎麼做呢？從上面講過的許多故事應引出什麼教訓呢？教訓只有一條，很簡單：應該更多地注意、更有力地支持非時尚的研究。在科學史上任一特定時期，最重要和最重要和最富成果的思想往往潛伏著不被利用，原因僅僅是它不合時尚。具體到數學物理領域，從新思想的孕育到它成為科學思想的主流，通常要磨蹭五十或一百年。如果這是衡量基礎性進展的尺度，那麼結論必然是：在數學物理領域從事基本研究的任何人幾乎肯定是不合時尚的。
當然，我們不應該停止支持使大多數年輕科學家忙碌和高興的時尚研究。但我們應撥出一部分經費，也許是十分之一或四分之一，以支持從事非時尚工作的不合潮流的人。我們不應該害怕看到做傻事，或是看到一堆破爛；我們不應該害怕支持可能完全失敗的冒險事業。因為我們是獨立的、我們有權利冒險和犯錯誤。那些僅僅支持搞無危險、無犯錯誤機會的研究的機構，實際上只是支持了平凡的人。如果我們靠良知和勇氣，支持不時興的人，去做正統觀念認為是不對題和冒險的事，這就提供一種好的機會，為科學拯救很難得到的Sophus Lie或是Hermann Grassmann。當我們時代的所有時髦動人的成果早被人遺忘之後，他們的思想仍將馳名於世。
參考文獻
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譯註1： Canute王：英格蘭及丹麥的王（995-1035）。
原題：Unfashionable Pursuits。譯自The Mathematical Intelligencer 5:3 (1983), 此報告是1981年８月２４日在Princeton高等研究所做的。
中文翻譯：袁向東譯，吳允增較。原載於《數學譯林》。

有些問題在短時間就能看到用處。為物理或者計算方面提供理論依據。還有很大一部分的人做的偏微分方程，方程的背景就是大氣或者不可壓縮流體，這些在天氣預測等方面有很大用處。還有生物種群數量的變遷就會涉及到動力系統等方面的研究結果。保守的力學系統就會用到哈密頓系統的研究結果。這些在生物，力學，金融方面都有應用。

還有一些就是短時間內看不到的用處。更多的關注於數學本身的問題。解決謝謝問題有助於數學的發展。或者這些研究到人類滅亡也沒有在其他方面的用處。甚至數學本身有沒有這個結果都是一樣的發展。

其實，人類對未知的探索也是這樣的。就像是北京霧霾研究，有人的研究結果說是炒菜，有人的研究結果是因為汽車尾氣，有人說是因為一大堆我們根本聽不懂的原因。而事實上，這些研究結果都有直接的用處嗎？我想不是。但是這些研究都有可能是有價值的。所以，這些研究的進行還是有必要的。因為在研究之前我們根本不知道誰會得出正確的結論，甚至在研究之後。

人類對於未知的探索本事就有大量的無用功。就好像人在黑屋子裡頭找東西。東西可能找到，但是可能其中會有一些沒有必要的步驟。因為我們不知道要找的東西在哪裡，只能憑藉直覺往下走。說不定哪一步就拿到了我們想要的。也有可能我們一直都找不到任何東西。

我個人從實用主義角度出發去理解：由於科學研究往往是「突破」，而不是靠規劃來前進的，這就意味著無法像搞原子彈那樣集中一批專家就能搞定。這個時候，只能是允許各種研究方法和各種研究路徑都存在，直到某些方向產生成果。所以，也許不能說有沒有意義，而是我們不得不支持各種方向的研究，因為沒人能提前知道哪個方向能產生對人類有用的結果。

為了科學經濟性原則，越純粹，越抽象，適用性越廣，太應用就只能用在某些具體問題。

我想從馬克思在《提綱》中的一條作為引子：哲學家們只是用不同的方式解釋世界，而問題在於改變世界。

在我們的意識形態下，從事理論研究工作的人們應該有這個必要去質疑自己的工作。

事實上，信奉「自由主義」等意識形態的人們是沒有理由去質疑這件事情的。而且，不論怎麼辯解，他們都已經把數學當作一門孤立的學科來看待，而且他們甚至把社會割裂成一個個孤立的個人或團體，美其名曰「個人追求」。因為如此地割裂，如此地自由，對「理論研究」存在的意義便直接滑向了「人類」存在的意義，其實質怕是要在引導到「神秘主義」中去，從而終止我們的知乎網友的討論。「算了吧，這個問題你回答不了滴！」

從網友的回復中看，大部分人都不同意將「理論數學」從「社會」這個大家庭分裂出去。即使回答的不多，現實中，我們普羅大眾和一些這方面的工作者大部分也應該這麼想的。

可是，這種大多數人的立場反而讓我們沒有了底氣！為什麼，因為我們在質疑。我們認為理論數學應該要回歸實踐，雖然歷史上有很多案例為證，但是好像有點「碰運氣」的感覺。

特別是關於「哥德巴赫」之類的數論問題更加是讓人摸不清方向。

所以，「這種脫離群眾的學科，僅僅維護了一部分圈子人的利益，浪費社會資源，乾脆不要了！」這在我國某一時期，或許真的是這麼想的，也這麼做了。

但是實踐證明這種想法又是錯誤的。

亂拉，亂拉，亂七八糟，那到底我們應該看待這個問題呢？

首先，我認為，「理論數學」相較於「應用數學」、「物理」等等是一門「年輕」的學科。「倉廩足而知禮節」這個順序是不能亂的。其次現狀是，我們理論數學研究的土壤是貧瘠的，氛圍是不濃厚的。所以，「摸著石頭過河」是在所難免的。道路是曲折的，這是一定的。

但是，歷史上的種種事情也從感性（或許也有科學數據吧）啟示我們，這一個學科是有出路的，這個出路以前是其他學科無意中「摸石頭」碰來的，那我們如果「自己干」，也是大有作為的嘛。可見，前途也是光明的。

回到具體的態度呢？那就是「仰望星空，腳踏實地」，做到這兩者的辯證統一。

以前有不少人強調「理論」與「實踐」分離，而且是許多老先生咧！做實踐工程的覺得學生沉浸在「理論」「主義」，沒有辦法定下心來「解決問題」，真所謂「眼高手低」。搞理論研究的老師呢？又強調，我們的目的在於尋找「真理」，不要管「意義」，那是「下面的人」乾的事情！其實，這也是他們多年來摸索出來的道道，也算是「矯枉過正」吧，不然學生總是這山望著那山高，手頭的事情一個也做不好。

這種「分離」態度是西方的態度（好像我們討論的都是西方的理論數學）。統一呢，是我們東方人常說的，結果呢？歷史是，我們邁不開步子，他們卻閉著眼睛，憑著一股橫勁，闖出了不少東西！

結合之前的論點「理論數學」是一門「年輕的學科」。現在是我們需要「為而不爭」，這個時候，其實談「理論有沒有脫離實際？」是一句空話，因為我們甚至都沒有！不僅無益，反而有害。

簡潔地說，歷史的趨勢告訴我們，理論數學是會有很大的用武之地的。現狀是，全世界，尤其是中國，「理論研究」的氛圍是不濃厚的，談論「理論與實際結合」是沒有基礎的。所以，我們最重要的要堅定信念，「篳路藍縷」，其次的還要不忘初心，密切地關注每一個理論背後的可能。

當有一天我們的科技發展需要用到的時候它已經在那裡了！

不知道有沒有人看過科幻作家何夕寫的《傷心者》，文中那個失去女朋友，失去自我，甚至失去生命的主人公，也要拚命去將他的理論揪出來，懂的人說那是一個很美的東西，但是也說那不實用。可是誰知道呢，幾個世紀過去他的理論有用了。

在這裡，我不是說這是一個好故事，也不是只是告訴我們不要輕易用有沒有用來評判一個人，一件事，一個理論。。。。。

我自己想說的是，如果真的愛得無法自拔，會去做的人自己會去做。他就算知道沒有用也會去做。

從實證角度看，工程學科的發展為人類生活提供著工具，物理科學的發展為工程學科提供著工具，應用數學的發展為物理科學提供著工具，理論數學的發展為應用數學提供著工具。

理論數學研究的本質是對人的思維本身的全新拓展和更新理解。這大概源於人類那不斷去點亮和交互未知事物的生物本能，即好奇心吧。

作入一個經濟學的入門者，我想，要是沒有數學，例如微積分，作為支撐，現代經濟學的是很難進行描述的。

現在，理論數學和理論物理等學科緊密相連，理論數學的研究能夠為其他學科的發展提供工具。比如愛因斯坦在研究廣義相對論的時候，苦苦找不到可以用來計算的數學工具，但是他從很多年前的黎曼幾何中找到了答案

對於數字信號處理方面吧每一種新的變換的提出都是數學研究的結果，可以說沒有數學理論的支持，簡直就沒有這一學科的發展=_=

陳省生說過，研究數學就要研究純理論的，越是沒有實際運用的越好。

那就說研究理論數學沒什麼實際應用吧！

覺得理論數學是哲學的一個分支，（其實科學最開始都是從哲學分出來的），包括邏輯學，物理學說到底都是哲學的範疇，是一種哲學思想。