高等數學課本中關於任意函數可由一個奇函數和一個偶函數組成的推論？

01-06

感覺題目的思路是：假設存在奇偶函數，利用奇偶函數性質推導出式子，再用式子證明函數奇偶，這樣的證明是否有問題？有種用自己證明自己的感覺。

我對著問題左看右看，有種題主把作者好心當成驢肝肺的感覺。

寫書的怕你不知道怎麼想到這樣構造的，特意寫了一段啟發，結果你看完反而說有問題。

我要是作者，聽到你這番牢騷，直接空降一個構造給你好了～

不過要說作者，也是有問題的，應該把那個加粗的「證」字，挪到啟發之後。

樓主你這樣想吧，警察去賓館抓人，他們在門口開門前不知道裡面有沒有人，但是根據情報和推理，犯罪嫌疑人就在裡面，於是他們破門而入，抓住了犯罪嫌疑人，結案。

是否存在奇偶函數組成任意函數這個事情是客觀的，就像犯罪嫌疑人在不在房間里也是客觀的，並不會因為警察進不進房間而改變，所以這個方法是合理的。

這是我的數學分析筆記，老師上課說。

類似的構造太多太多了，遍布數學各個領域，大部分作者不會這麼好心的，還啟示你一下，大多是，

可以得到以下的構造，其顯然滿足xxx，這就證明了…

你只能攥著書不停地woc

這人為什麼這麼聰明

然而事實是這個構造很可能是某個大佬思考幾天甚至幾月的結果…

所以你們啊，還是naive

(當然答主這個還是太初步了，毫無跳躍性，基本一下就可以想到，所以不用大佬)

求書名謝謝

必要條件和充分條件。

即如果一個函數能表達成一個奇函數和偶函數之和，那會是什麼模樣。(必要性)

反過來，

那個模樣的確是函數的分解。(充分性)

最後，我們實際上得到更強的結論，

一個函數有且僅有一種方式分解為一個奇函數與偶函數之和。

證明一個命題成立或者想讓一個命題成立時時，往往更容易找到這個命題成立的必要條件，即假設命題成立，看看能推出什麼，推出的東西就是必要條件，從而如果必要條件不滿足，那待定命題肯定不成立。而與之相隨的，如果推出來的東西滿足後反過來又能推出原命題，即意味著充要條件，那最好不過了，我們就喜歡充要性，因為充要性意味著等價性，內在一致性。

而在等式，不等式，方程中往往都伴隨著可逆性，所以有關等式不等式的問題，往往都可以推其成立的必要條件，反過來這些必要條件往往又是充分的，即當且僅當。比如我們熟悉的方程思想，問題1:想確定一個數使得這個數的2倍等於6，解:設2x=6，==》x=3。和問題2:已知2x=6,求x.這裡有先後問題，但客觀事實是2x=6《==》x=3.是當且僅當的關係，所以無所謂語言上的誰先誰後。

因為我自己高中的時候也注意到這個問題，比如問a:若某個條件成立，求參數取值問題和問b:是否存在a使得某個條件成立，若存在請求出所有的取值，若不存在請說明理由。老師以及我們對b的做法依舊是令條件成立，求參數a的取值。當時也納悶人家是問你是否存在使得人家成立，你怎麼能直接默認人家成立呢，這樣問題b和問題a還有什麼區別，後來有段時間一直敏感這個「如果」一詞以及又聯想到因果關係以及關係上的前與後等等等等。其實客觀存在的是兩個條件的充要性，所以就無所謂誰先誰後了。所以我不認為題主這樣想是可笑或者不識趣什麼的，因為曾經我也這麼想過，也困擾過，我也不想把我當初的自己否定掉(到了大學又稀奇古怪的去想因果關係和充要性的問題了，對於充要的兩條件，誰是因誰是果等等等等後來自己安慰自己的說法是判斷原因而不是事情的原因，扯遠了抱歉)

言歸正傳，好多東西都是一步步試出來的，研究極值存在性或者可微，可積條件，大都是先找必要條件(因為容易哈哈)，從而不滿足的肯定不是，不可微不可積，然後再找充分條件，最後難得可貴以及最好不過的是充要條件。而對於充要條件，若你想完全可以去定義了，因為定義本身就意味著一樣，從而充要。進一步說，最完美的是等於關係，等於意味著兩邊一樣，次之的是等價關係。(提到太多關係了，關係:集合論、隸屬)。

對於自身專業而言，結合所學專業才發現等於，等價是那麼的美，出來一個等式(借貸原理，無套利假設條件等)，在金融里，就意味著複製，組合與分解，均衡，無套利定價。從而可以用一項或一組金融資產去複製另一項金融資產。後來就覺得數學中各種分解定理是真美啊(都是錢啊!)

很抱歉，知乎小白。然後回答的問題自己以前也想過，就比較感慨，覺得一定要說一說，然後中間好多都是無關緊要的話，如果有哪些地方感覺不對勁，歡迎指責批評討論。對於題主，很開心能回答你的問題，真的是感覺在和過去的自己說話，告訴他那個喜歡亂思考的小男孩慢慢長大一點了，也知道自己不是一個人有著曾經那樣的想法。所以很感謝能有那麼個機會去稍微回想起曾經的時光，如果有幸被其他知友看見了，也謝謝您能在這麼熱的天能讀下來。

再啰嗦一句，其實好多東西無所謂準確與否，對與錯，只是表達形式上的不同，而內在具有一致性。不舍的走了(拜拜)

→_→主要是"證"這個字放錯了位置，讓題主產生了誤解。

而且該證明過程是想表達任意一個函數，可由他自身構建出一個奇函數或偶函數。

首先我們知道，任何一個方陣可以寫成一個對稱陣與一個反對稱陣的和，這就啟發我們寫出書上的那個證明。