賦范空間和度量空間都可以定義極限，為什麼要引入兩個能定義極限的空間呢，區別是什麼，各自有哪些應用範圍？

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謝……謝邀(-_-) zzz……

給一個集合，定義一種結構之後，自然就可以去刻畫很多東西。但是有些定義會「更豐富」一些，賦范線性空間很自然的就可以被定義為一個度量空間，它能刻畫比度量空間更多的東西。

度量空間：定義了元素之間的距離。那麼，最直接的：我們在其中可以刻畫點列的收斂，引入其上的拓撲。以及進一步的去考慮其上的緊集，利用壓縮映射原理討論某些方程的解的存在性問題……等等。

賦范線性空間：定義了範數的矢量空間。我們可以在其上利用範數很自然的引入距離的定義，所以它也是一個度量空間。度量空間有的它全都有，而且它上面還能討論更多的東西。最直接的：元素之間的加法，數乘，矢量長度的刻畫。

內積空間：定義了內積的矢量空間。它很自然的就可以被定義為一個賦范線性空間。而且內積還使得我們可以去考慮其中元素的正交性問題。

可以看出，內積空間的性質更為豐富，其他兩個有的東西它都有。物理上應用的時候通常都是完備內積空間起步，相比之下度量空間的性質太單一了。

引入空間，不是為了定義極限，而是研究不同的問題。

線性空間上才能賦范。線性空間是好的空間，有線性結構，以及相關的各種好的性質。

但並不是所有問題都可以放到線性空間里研究。為了研究更廣泛的問題，就需要在更一般的空間里定義距離，也就是度量，就有了度量空間，來描述點與點之間的關係。

當然，度量空間也不是萬能的。為了研究各種問題，就還要用到其他空間，比如一般的拓撲空間、測度空間、群、流形等等。

簡單的說，任何一個賦范線性空間都自然的是一個度量空間，範數自然定義的了一個度量；任何一個度量空間都自然的是一個拓撲空間，度量自然定義了一個拓撲。

為了研究問題的需要，一個空間上可以有各種不同的結構使得它可以被同時看成各種空間。比如線性空間上也可以定義與範數無關的度量或拓撲；又比如實數空間，可以被看成是一個域，或者是一個賦范線性空間，甚至是Lebesgue測度空間等等，這些都分別代表了實數空間上各種不同的結構。

一般的拓撲空間沒有度量，也可以引入極限的概念，把數列推廣到net，用鄰域的包含關係來表示net的下標，從而定義net的極限。

在一定的意義上，賦范空間「包含於」度量空間。

假設有一個實賦范空間 $(X,||cdot||)$ ，可以證明 $d(x,y):=||x-y||$ 是一個X上的度量。

假設有一個實度量空間 $(Y,d)$ ，不一定可以用這個度量給出一個範數：考慮 $d(x,y)=chi({x eq y})$ ，也就是定義不同的兩個點的距離為1，重合的點（自然）距離為零。可以驗證這是一個在實數軸上的度量。但是不能由這個度量誘導出一個在實數軸上的範數，比如說，因為它不齊次。

還有一個區別是，一般範數定義在線性空間上，但度量不一定要定義在線性空間上。Poincaré disk model

就我目前學到的知識，極限的核心並不是metric或是norm，而是topology。光要定義極限，一個topological space就可以了。(我感覺極限有時可以作為除了開集語言之外描述拓撲的另一種語言...)

事實上搞出這兩種空間，主要是為了利用更多的性質。上面答主已經說好了。

不引入都能定義極限……