物理系學生如何系統自學數學？

01-06

物理系大三在讀生。已修群論，集合論在學。將來想做理論物理（可能偏數學物理）的方向（希望是弦論或全息理論），我希望得到兩方面的答案：
1.在代數，幾何，分析上分別要學些什麼科目？
2.這些科目分別大概會重點用在物理里的哪些地方？
3.在自學過程中有什麼需要特別注意的？

謝邀請。

我不是做數學物理的，但是旁聽/選過Ron Donagi教授兩年的課（一年數學物理，一年復代數幾何）。就我個人觀察，幾何方面主要是復幾何，我們當時用的Huybretch那本Introduction to Complex Geometry，我覺得還不錯，裡面還講了一點點超對稱。物理系學代數幾何大概也沒必要走代數的路子，非要從scheme那麼抽象的東西往下學，畢竟這些東西也很難用得上。。我感覺做弦論的很多還是關心具體的例子，比如Calabi Yau啊，具體的moduli space啊，Hodge theory啊，可能對物理學家來說幾何直觀比嚴格證明更重要吧。

然後再往深一點還有什麼supergeometry，有一奇一偶兩個維數，我一直沒搞明白到底什麼意思。。代數方面么，具體的群表示論（比如說具體到要畫出Dynkin diagram那種），還有一些同調代數，graded ring什麼的，感覺還是具體的例子居多。當然我不是說數學物理學家不會抽象的數學，Witten Kontsevitch這樣的人自然也懂很多抽象的東西，也有很多數學物理比我上面所描述的要抽象很多，但是對於物理背景的學生來說，也許先接觸一些具體的例子，to get your hands dirty, 是效率更高的做法。

跟量子場論一樣，弦論本體用得比較多是複變函數和特殊函數。子方向拓撲弦論會需要代數幾何、復幾何來分析和描述 target space。全息需要解偏微分方程來找引力對偶。超對稱場論會涉及微分幾何、代數拓撲的基本知識。

但是，除開某些具體題目特殊需求，普遍的情況是這些主體、子方向的主體都不需要很多（更不需要深）數學，更重要的是把問題簡化、動手算。

因此

0. 各個子方向所需要的數學不一樣，系統學是不現實的，而且學了也沒什麼用。

1. 需要的零散知識散落在幾個較為固定組合

微分幾何、代數拓撲、辛（切觸）幾何、李群：流形、（上）同調群、同倫群、矢量叢、指標定理、
複變函數、偏微分方程：亞純函數積分及技巧、級數展開、方程奇點分析、特殊函數
黎曼幾何、偏微分方程：常見時空幾何、黑洞解等
代數幾何、復幾何、辛幾何：代數簇、除子、Calabi-Yau、toric 流形、奇點的 resolution
群表示論：Highest weight rep，Dynkin diagram，Young-tableaux

2. 各個組合主要用在（用得都不深，通常也就用到「概念/定義」就到底了，剩下的就是動手算；拓撲弦論除外）

微分幾何、代數拓撲等：超對稱規範場論
複變函數、偏微分方程：弦論本體，共形場論以及 q-deformation 或者 elliptic-deformation
黎曼幾何、偏微分方程：全息、黑洞、糾纏熵
代數幾何、復幾何、辛幾何：拓撲弦論、Seiberg-Witten curves、弦緊緻化、probe brane
群表示論：超對稱場論、共形場論

3. 特別注意不要學太多。比如學同調群，熟悉基本概念和幾個例子 $S^n$ 、 $mathbb{C}P^n$ 、 $mathbb{R}P^n$ 就差不多了，如果再學「怎麼計算其他更複雜的流形的同調群」那就超額了。

最好是根據當前感興趣的物理問題的需要學，邊學邊用。也可以收集各方面的書籍、講義，泛讀一下，目的是了解各個名詞在什麼數學領域，以後碰到可以快速 google 。

4. 如果就是對某些數學問題感興趣，多學無妨。但不要指望在物理研究能用得著。

看了你在評論里的補充。要知道這裡面的信息才能使我明白你在問什麼。這些背景很重要，反而是你提出的一二三要求，既無法滿足(現實)，也無法滿足(心情)。

我也明白你現在並不能做出決定，但是從現實來講，我也明白理論物理到數學物理，一旦想轉行，差別很大，這一點是親身經歷過的。理論物理所需要的數學在數學物理眼中，是很少很少。所以，可能你想問的是如何在不做出決定之前暫時兼顧二者。可是，要我說，這個兼顧，由於交集太小，幾乎等同於同時拿下數學和物理學學位。在推薦高級數學課的時候，也談不上其在物理中的應用。那都是自欺欺人的，實際在物理學家中的受眾非常特殊而有限。

想了半天，覺得我還是有能力留下一點乾貨。

一、物理學專業數學課：

數學分析，線性代數，複變函數，數理方程，概率統計，隨機過程，群論。

我想你可以看看我之前的回答，推薦過不少這些課程里的好書。

二、喜愛數學的物理專業可以有效額外學習的課：

微分幾何

相對論的土壤，比相對論中用到的卻抽象高深了許多。我沒有去網上搜索教材的評價，題主當多聽大家意見，結合自身情況選擇合適的書。我讀過一部分陳省身的微分幾何講義，覺得不錯，但是網上評價是大師之作過於簡潔，不適合初學者。

拓撲學

Amstrong的書是本科生拓撲學的經典教材，包括點集拓撲及代數拓撲入門；Hatcher的書是研究生代數拓撲學經典。前者我沒讀過，後者讀過，如痴如醉。當初我學的是北大的本科生拓撲學，也是不錯的。

抽象代數

我上網搜索了一下大家的評價，轉述一下。Dummit and Foote是一本正規經典。Pinter在亞馬遜上得到好評，稱其視角引人入勝。此外Lang和Artin分別是兩本飽受詬病的代數學經典教材。人們覺得他們廣而深，但是跳步嚴重，甚至天馬行空，適合研究者參閱，不適合初學者自學。

李群與李代數

需要微分幾何+抽象代數先修。我未查資料，同樣請題主自行了解。

三、數學專業課程

一些低年級的，那都是將來從事無論什麼類型數學的基礎，如實變復變微分方程等。

謝邀，我是@cmy28 。

不請自來。題主的情況跟我大二大三時有點類似，作為自己的一個紀錄就來回答一個。

先說我自己的背景：進大學以前就是想讀物理的，中學數學相較於物理並沒有突出，也沒參加過相關物理或數學的競賽。大學也是進了物理本科，但因緣際會跑去修了數學系的微積分被感召了，於是開始產生興趣，儘可能的兩邊同時修課。後來由於自己的興趣轉移（或者說喜好看待事物的角度不同了），大三的時候轉入數學系，現在本科的老闆是數學繫上一位坐數學物理的老師（跟樓上提到的Donagi一起發過文章）。現在的興趣跟主要讀的東西都是數學，偶爾行有餘力讀點量子場論而已。

具體的知識關聯其他樓說得很清楚了，想談一點比較主觀經驗的東西。

根據我自己的經驗與其他老師們告訴我的經驗，系統性的學習固然很重要，但是要走到許多近代的東西距離本科學習的知識就已經有很大的gap（物理是如此，數學更是??），不能夠期待可以像是本科剛開始時刷完一本接著刷另一本地學習走到最前面。比較可行的方式會是找一個好的老師指導具體的學習方向，不一定是做研究，但重點是他給你的學習方向是你感興趣的。例如我就是一直被丟一些經典老文章，叫我下周開始報告，就必須自己想辦法去看懂搞定那些gap。（我問我在物理系做高能理論方向的同學們也是得到類似的回饋）

我自己現在採取的方式就是除了老闆給的文章以及正在修的課之外，另外安排自己覺得重要的知識學習。隨著你看的東西越多，你就會逐漸知道哪些東西會一直冒出來，哪些知識是重要的。有時候只是一些定義，翻一翻書看懂論述、證明就可以搞定。有時候那些理論、知識的machinary可能很大，就可能必須要先跳過，再找機會慢慢補。

再講到數學物理的這塊，如同樓上講的，通常做string theorist (mathematical side)的人都掌握了許多例子。像有一次跟我老闆抱怨煩惱說抽不出時間來好好讀gtm 52，他表示他自己其實是在先掌握了很多具體的例子跟計算，之後去讀gtm 52就很快可以抓到要點。（當然，每個人的學習路徑不一樣要找到適合自己的）另外，他也曾表示說通常從事這行的，掌握新東西的能力都很強，知識都很廣厚，所以他認為邊走邊學是最可行的方式。

最後講個小故事（雞湯？）：之前Kontsevich來台灣的時候，他有被找去當訪問者之一（最後沒有刊登出來），就有其他訪問者問Kontsevich說：「現在這些理論知識都被堆到這麼高了，年輕人該如何跟上？」

Kontsevich說：「我發現現在年輕人就算沒有很多知識，還是有辦法做新的問題！」

P.S. 原文是用繁體字打的，為了方便大家閱讀，直接丟google翻成簡中。