為什麼無理數會存在於數學體系之中？（我當然不是問為什麼有數會除不盡的問題...）
兄妹問題參考:
複數的物理意義是什麼？ - 物理學信號與系統 複數信號 物理意義
這個有非常多的理由，其他答主都分別給出了其中一些。
而歷史上我們有非常直接的理由：非常簡單的整係數方程x2=2沒有有理數解，這對應於邊長為1的正方形對角線長，而這個長度是存在的。為了表示這個長度（以及所有可能存在的長度）我們必須引入另外一些數。
-----補充一些-----
現在似乎流行改問題……上面的答案是針對「為什麼無理數會存在於數學中」這個問題……至於起什麼作用，無理數是實數理論中的關鍵部分，實數理論是數學分析的基礎，而數學分析……物理學似乎沒有什麼地方不用到微積分吧……更廣義地說，只要用到實數（或者等價地，直線上的點）的地方，就要用到無理數……實數域才有完備性，這才能使得極限運算是封閉的，是微積分體系的基礎。
如果僅僅是為了解根式的話，引入代數數就夠了。因為有理數域對極限運算不封閉，這讓我們很不開心
另外什麼叫「可以驗算到盡頭」？宇宙有沒有盡頭和這個問題有何關係？什麼叫一個數學體系是「對的」或者「錯的」？雖然不知道你說的「萬物有理」是什麼意思，但是怎麼看也不像是和數學有關的辭彙正如 @馬晨講的那樣，隨便就可以舉出一個例子來證明無理數在數學世界裡是必要的。
至於在物理世界裡，動力學裡面，曾經有人證明過運動在相平面上的初始勢能和動量的有理相關（是這個詞嗎）與否，會影響運動類型，好像是和遍歷運動有關。猜想可能是因為運動方程中，作用在初始值上的運算在無理數或者有理數中是封閉的，因此相空間上上某種性質的運動只有在初始值一個是有理數，一個是無理數，或者都是無理數的時候才能達成。這個例子被拿來證明很多種類的運動軌跡是在相空間上是不可切割的。
不過遍歷運動分析本身就是形而上的討論。實際上還是一個數學工具。我修改了問題。複雜系統理論我是沒有專業訓練，題主可以邀請相關專業的優秀答題者來解答。——————————————————————————————————————————————針對 @王道蓬的回答，針對性地說一些東西：首先我承認我錯了，更理智的做法是另起一個問題。不過第二期修改不是我做的。第一次修改問題，被改回來之後，我就意識到應該重啟一個話題。不過，我還是要說說一些想法。1、你可能不清楚我們看到哲學問題時候心裡不由自主的厭惡。知乎現在哲學家泛濫。把基礎數學分析的一點兒知識，加上所謂哲學思考的人，賺了那麼多贊。我們的想法很簡單，多一些專業性的知識，少一些形而上的泛化思考。這些人的特點，恰恰就是夸夸其談幾次數學危機，什麼現實中看不到嚴格等於π的客體，什麼哥德爾不完備性。這些東西已經是話佐料了，在提出新的見解之前，請不要再提這些東西了。因為這些東西的通俗易解性，使得更多的人夸夸其談，使得大部分人甚至都以為哥德爾不完備性已經完全消解了通用數學邏輯體系統一化的努力。
不是沒有意義，是你那點兒東西反覆講，講反覆，講了一百遍了，知乎成了一群古希臘和近代哲學家的樂園，還有什麼意思？2、無理數在數學體系中的必要性，可以通過有些計算對於有理數不封閉來確定，不過還需要通過戴德金切割來定義無理數，還需要Hegel的雙向無窮觀還確定某些無窮位數的合理性，還需要康托兒對角線方法確定實數的不可數性質，這些東西也都是些陳芝麻爛穀子了。直接說了吧，我不喜歡科普。因為這些東西根本還有一堆問題沒解決，你一科普就開始瞎編了。無理數，是永遠也除不盡的，是無窮無盡的，而物理世界，是分子到原子，原子，到夸克，到了一定程序就是另外一個世界定律在起作用，是量子世界，量子世界有測不準原理，量子世界的下面是什麼現在也不知道。
很多概念只存在於數學虛擬世界，在現實世界不存在，特別是無窮小，無窮大，這類是哲學上的東西。
數學這樣計算是為了簡單方便，如果物理抽象出剛體，真空一樣，是為了推理方便。複數，無理數，等就是這種抽象。
很多看似沒有用的數學公式或理論，實際上都能找到它的實際用處，有的是純數學需要，有的是現實需要。如小波變換在信號和模式識別用處很大，可以對信號進行頻率和時間兩個結合的變換，其使用過程就用到無理數。
實數都是真實存在的，包括有理數和無理數。
有理數這麼翻譯其實跟有沒有道理沒關係。rational有「理性的」一義，也有「比例數」一義。有說法稱，有理數其實是說能寫成兩個整數的比例。（本條未經專業嚴謹考證）
你也許不知道，有理數是實數的特例，佔比極少。無理數才是實數中的絕大多數。你這樣一下子把廣大人民群眾開除國籍，你說你什麼居心？
另外，除不盡和無理數不是一回事。我希望大家在討論與數學有關的問題上能有起碼的嚴謹。大概源於現實需要與實際問題的存在……
最開始，我們很單純，要數數，於是有了12345後來，我們發現我們需要有那麼一種數，代表減少，我們要表示它，然而正數滿足不了我們，於是有了負數。後來，我們發現我們需要有那麼一種數，代表沒有，我們要表示它，然而非零數滿足不了我們，於是有了0。後來，我們發現我們需要有那麼一種數，代表整體的一部分，我們要表示它，然而正數滿足不了我們，於是有了分數。這都是自然而又自然的。
直到有一天，我們發現我們需要有那麼一種數，代表冪次方是x的數，我們要表示它，然而有理數不能滿足我們，於是有了無理數。
然而有人不理解——為什麼我們要無理數？因為我們需要無理數。為什麼我們不能用有理數表示它？正因為不能表示它，我們才引入的無理數。道理我都懂，可是我們為什麼要無理數？因為鴿子很大（笑）現實世界的物質具有量子特性，而無理數是一個數學概念，用於在現有的數學體系中解決問題
我覺得還是有必要解釋一下我為什麼反對目前對原問題的修改。在論證過程中，也從一些方面回答了原題主的問題。
1. 篡改問題原問題：為什麼無理數會存在於數學體系之中？（我當然不是問為什麼有數會除不盡的問題...）
原問題補充：對於產生一個沒有辦法驗算到盡頭的數真的對嗎，因為就連宇宙都有盡頭，那麼畢的萬物有理是不是對的，錯的只是現有數學體系呢？第一次提問題，格式上有些慌張。。。
原問題：為什麼無理數會存在於數學體系之中？
這個問題可以從幾方面回答。
最直接的原因，考慮它的產生背景就可以了。熟悉數學史的人很容易講述這樣一個故事：畢達哥拉斯學派認為所有數都能表示成兩個自然數之比。這個學派出了一個叫希伯索斯的「叛徒」，他發現邊長為1的正方形的對角線無法用任何比例數表示（這個可以用邏輯嚴格證明）。這動搖了畢達哥拉斯學派的根基，後來希伯索斯被扔入大海。
無理數的發現引發了「第一次數學危機」，是數學史上十分重要的一筆，推動了數學發展。於是，可以回答：有理數不足以表示某些線段的長度，因而產生了無理數。還可以從數學體系的完備性上回答：有理數對極限運算不封閉。一個常見的例子是
這是個有理數列，但是它的極限不是有理數。如果沒有無理數，很多重要的極限都不存在了。而極限是分析學的基礎，分析學是微積分嚴格化的產物。沒有嚴格的實數理論基礎，微積分學就成了空中樓閣。順便一提，「第二次數學危機」由微積分對「無窮小」不加證明地使用引發，解決這一問題依靠的就是嚴格的實數理論的建立。
題主這一問題直接與數學史上三次「數學危機」中的前兩次相關，難道就因為這個問題已經被解決就成了沒有意義的問題嗎？知乎可不是學術論文發表地！
以上是從數學體系的構建角度來回答。當然，還可以從無理數的應用方面回答。數學中隨處都有這樣的例子。最簡單的例子，假使不允許存在無理數，方程x^2=2隻能通過有理數得到近似解，這可能本身沒有問題。但是如果之後又需要用到這個解求x^4，使用近似的x計算至少把過程變得相當繁瑣。其他的例子當然也有。數學之外，別的學科可能也必須用到無理數，這都可以由各個學科的專業人士回答。
改過的問題：無理數分別在數學理論和應用（物理學、通信學等）中起到什麼樣的作用？
僅我一人，就至少想到了從三個方面——無理數產生的背景、數學體系的完備性、無理數的應用——來回答這一問題，並且前兩個方面對於數學學科發展的影響是十分深刻的。還有答主想到了其他方面的回答。然而改過的問題並不適合採納以上各個方面的回答，縮小了題目範圍。
2. 帶偏答題方向
原題問的是為什麼會有，強調的是其存在的必要性和合理性；改過的題問的是有什麼作用，是在默認其存在後強調其所起的作用。二者雖有關聯，卻不是一回事，在答題方向上是有差別的。前者無須考慮應用，後者不必說明存在性。存在不一定有用，有用也不證明存在。
3. 無視題主原意原問題補充：對於產生一個沒有辦法驗算到盡頭的數真的對嗎，因為就連宇宙都有盡頭，那麼畢的萬物有理是不是對的，錯的只是現有數學體系呢？
從題主對問題的補充可以知道，題主認為宇宙有盡頭，無理數不能用有限的數字字元串表示，那麼無理數無法在宇宙中表示，因而無理數這個概念本身是錯的。題主由此產生了疑問。
首先，無理數的確不能以十進位小數形式用有限長的數字字元串表示。其次，宇宙可能是有限的。（我對這一學科不了解，至少存在這種假說。即便我們所在的宇宙無限，那麼也不妨礙作為假設，純思辨地討論這一問題。）那麼，題主的問題可以重新表述為：如果我們的宇宙有限，但無理數不能以十進位小數形式用有限長的數字字元串表示，這是否意味著無理數這個概念是錯誤的。我絲毫看不出這個問題（而非證明！）有什麼值得指摘的。我沒有看到哪個認為這個問題不值得討論的人從邏輯上證明或推翻這個結論，或是指出題主這一推理的錯誤之處。他們只是本著實用主義精神，宣布這個問題（在自己學科內）不是問題，卻不給出這一問題在其他學科（或以非學術的方式思考）也不具討論價值的理由。
題主實際上還展示了這樣一個矛盾：如果無理數在現實中不存在，那麼納入了無理數的數學體系是否是錯誤的？無理數在現實中存在嗎？很難說。真的能找到一個邊長為1、對角線長恰好等於根號2的正方形物體嗎？真的能找到一個圓形物體，它的周長恰好是直徑的pi倍嗎？沒有人能夠驗證。假如無理數在現實中不存在，那麼憑什麼認為納入了無理數的數學體系是值得信任的呢？這個問題當然超出了數學和物理學的範圍。所以我給它添加了「哲學」標籤，希望能有更專業的解答。
從原題主對問題的表述可以看出他對一些概念的認識可能存在偏差。比如，無理數和除不盡並非充分必要條件，數也不是只能用小數形式表示。面對原題主對問題描述的不嚴謹處，我們應當以什麼態度對待？我在第一次編輯問題時，並沒有修改題主的原文。因為，從這種不嚴謹表述本身可以推斷：題主雖然對問題有一些樸素的認識，但是由於知識結構不完整，還不足以嚴格、清晰地表達自己的問題。這也意味著，不能以讀教科書的方式逐字逐句地解讀題主的問題，而要理解題主想表達的真實意思。對於這樣的問題，我主張用更嚴格的話語幫助題主表達他想表達但沒有說清楚的問題，而不是按照自己的喜好妄自篡改題主的問題。我之所以沒有修改題主的原文，一方面是因為我認為通過這種表達能更直接地推斷題主的本意，另一方面也是因為我不敢隨意以自己的理解代替題主的原意。
改過的問題：無理數分別在數學理論和應用（物理學、通信學等）中起到什麼樣的作用？
改過的問題完全無法體現題主的哲學思考。對這一問題的回答也不能解決上文提到的兩個問題。
4. 不尊重已有回答
目前（2016年09月27日0:51）幾乎所有的回答都是圍繞「為什麼無理數會存在於數學體系之中」這一問題的。這些回答大多有一定的價值，是答主的勞動成果。然而當題目被改成「無理數分別在數學理論和應用（物理學、通信學等）中起到什麼樣的作用」後，部分回答就顯得有些文不對題了。有的答主不得不修改或重新組織答案。連最高票 @馬晨 的回答都無奈地補充了僅針對新問題的回答。對問題的修改顯然破壞了原本問題和回答的統一性。5. 知乎公共編輯的原則是不改變原本的題意在 如何參與知乎問題的公共編輯？ - 黃濤的回答中提到在嘗試對創建時間較久，並且已經得到有效回答的問題做出修改時，最基本的原則就是不改變原本的題意。
可見，對問題的修改，要求不改變原本的題意。然而從以上分析可知，後期這一問題已被修改得面目全非。現在的問題和原來的問題是有關聯但不同的兩個問題。
綜上所述，雖然原有問題由於題主自身知識結構不完整而沒有得到嚴格、清晰的表達，但是，它提出的問題是有討論價值的。我們至少可以從歷史、學科體系、應用三個方面回答。不僅如此，它還能從哲學方面進行討論。然而，修改後的問題改變了題主原意，縮小了討論範圍，帶偏了回答方向，漠視了已有回答。
最後感慨一下，我原先有3個贊的回答本來排在前幾名，不知為何被踩到了最後。表示蛋蛋的憂桑(┬＿┬)
以下是原回答，作於2016年9月24日
----------光看題目，數學家尚能憑本學科的知識和觀念解釋這個問題。簡而言之，數學體系的構建依賴的是邏輯自洽而非與現實對應。（這不代表數學理論能不依賴現實憑空產生。）數學發展中，邏輯上要求無理數存在，它就產生了。具體其他回答能說明白，我就不擴展了。不過看題主對問題的描述，我覺得僅僅這樣解釋不能消除題主的疑問。題主真正關心的並不是為何邏輯上要求有無理數，而是這種在現實世界中可能不存在的東西為何卻在觀念上產生了，這是否是錯誤的。這個問題已經超出數學和物理學的範疇了。
我本意不是來答題的，而是解釋為何添加了「哲學」標籤。我不懂哲學，如果添錯了請相關專業的人士改正。我還想問複數要來幹嘛呢！現在的理解也僅僅停留於電磁學描述電磁波很有用，但當初創造虛數的目的絕不與物理有關，也不只是給x^2+1=0一個解這麼簡單。複數和無理數、無限小數乃至小數點的創造，都開拓了數學涵蓋的範圍，都是因為在研究到一定範圍時，發現已有理論的不足才有的。現有的數學都是人類發明，而這些數在這個體系下很融洽，所以我能說無理數等都是完美存在的，譬如圓周和直徑的比值，它確實是個pi啊。至於這個數學體系對不對，那我不知道了，現階段它為人類服務得很好。還有，數學是不能像物理一樣通過觀察驗證理論，數學以公理為基石 ，非歐幾何就誕生於對公理的質疑。至於畢達哥拉斯萬物起源於數，這是哲學思想罷，誰知道→_→我還萬物起源於道呢。
因為無理數存在於世界中啊。比如邊長為1的正方形對角線長度是
這個問題要早2500年問，不失是個好問題，說不定還能結交一個好基友。
有理數只是你的幻覺，畢竟它測度為零
有無理數是一種近似
比如牛頓方程是相對論方程的近似有理數也是一樣
1代表1個蘋果 然而物質是概率波 所以也沒有1 有近似的1
0代表沒有 然而什麼也沒有的空間並不存在 0也是一種近似
1-1=0 但世界上沒有相同的兩個1
並沒有無限不循環小數 只是用近似的數學框架（1，0框架）難以表達 空間和時間的不均勻性和概率性
無理數本身就是對（1，0框架）的反證這世界上沒有無限 存在就是唯一的真理
當然 你可以假設1和0
無理數在實數軸上確實存在 但用0-1系統無法完美表達因為他存在啊
因為數學概念里的宇宙 比外在物理的宇宙更大。
你左手邊有一個木頭，現在需要測量長度，如果你把精度設置為厘米，那麼很容易就能測得結果;如果把精度設置為毫米呢，也能測得結果。我們不斷地提高測量精度，就會發現每次都能測得結果，而每次都不是木頭的實際長度。你看看這個測量結果，它是不是一個無理數。不僅長度是一個無理數，幾乎現實世界中所有具體的東西都是無理數。也就是說，無理數是存在的，不是某個數學家想像出來的。以人類目前的認知水平，還不能達到無理數的盡頭吧！我們知道無理數的存在，卻拿他沒有辦法。人類選擇主觀忽略無理數，把它變成可以理解和操控的數。或許宇宙有盡頭，無理數也有盡頭，或許無理數真的不存在。只是我們理解不了。
用來解釋現象只是數學的一個作用而已，連目的都不是。
題目被改了，結果下面的回答都顯得文不對題了。
要說無理數的作用的話，比較直接的就是：對無理數的嚴格定義保證了實數的完備性，即實數集中的收斂序列等價於柯西列，這是進一步討論微積分的基礎。原回答：以有限個符號生成的任意有限長的語句的集合是可列的，而實數卻是不可列的。也就是說，不管你以怎樣的方式表示數字，必然存在著一些實數不能被有限長度的語句表出。所以，受限於我們思維表達的方式，所謂的「沒有辦法運算到盡頭的數」是一定會存在的。據我所知，無理數最早被發現而不是被發明（當然，如我們所知，畢達哥拉斯學派不想承認無理數的存在），是因為畢達哥拉斯及其弟子發現勾股定理之後，自然要面對三角形的第三邊c長度的問題，某些特定的邊長下，他們發現第三邊的長度無法用有理數來表示，最簡單的就是兩邊長為1的等腰三角形。所以無理數是實際存在的，並不只是數學家為了解決問題製造的數學概念。
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