分析力學與牛頓力學的比較本質的區別是什麼（從大學本科物理的角度理解）？

01-06

我在本科上完完分析力學的課後，感覺學得比較模糊。只感覺到，分析力學是以能量為出發點來討論力學問題的，而牛頓力學是以力為出發點。但只是一種模糊的感覺。而且我無法將拉格朗日量、哈密頓量、正則方程等很好地聯繫起來。希望有同學能對此進行一些具體的分析。

分析力學是力學的力學。它提供了一類力學的生成方式，並給出一些這類力學共通的結論，比如對稱性導致守恆律（能量守恆、動量守恆等等）。

給定適當的拉氏量，我們可以得到牛頓力學、麥克斯韋電磁場理論、狹義相對論和廣義相對論。一些化學反應系統的力學也可以這樣給出。

大部分回答都說了牛頓力學和分析力學之間的區別。我來回答一下哈密頓量，正則方程，以及拉格朗日量之間的關係吧。

如果我們把能量守恆認為是一個原理，想從能量角度刻畫整個系統。那麼它的數學形式是非常容易寫出來的，就是 $H(vec q,vec p)$ ，也就是定義在相空間 $(vec q,vec p)$ 上的一個標量函數。設 $vec x in (vec q, vec p)$ 是向空間中的一個點。下面 $vec x$ 要運動了。一般運動方程是這樣一個形式

$frac{mathrm{d}vec x}{mathrm{d}t}=f(vec x)$

$f$ 是一個矢量函數。回到一開始，我們想從 $H$ 來刻畫整個系統，所以運動方程的形式應該是

$frac{mathrm{d}vec x}{mathrm{d}t}=f(H(vec x))$

這裡 $f$ 把一個標量場 $H$ 變成了一個矢量場。那要把一共標量場變成一個矢量場，最直接的方法就是做梯度。猜測這個運動方程可能是

$frac{mathrm{d}vec x}{mathrm{d}t}= abla H(vec x)$

也就是圖中的 $mathrm{d}H$ 。

但從圖中我們可以看到，你一個沿著梯度方向走的點 $vec x$ ，怎麼說走等值線（保持 $H$ 不變）就走等值線了呢？也是很自然的，把 $abla H$ 轉 $90^{circ}$ 就好了。乘個旋轉矩陣

$I= egin{bmatrix} 1\ -1 end{bmatrix}$

就解決問題了，到這，我們的運動方程就變成了

$frac{mathrm{d}vec x}{mathrm{d}t}= egin{bmatrix} 1\ -1 end{bmatrix} abla H(vec x)$

寫開啦就是

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t} egin{bmatrix} q\ p end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1\ -1 end{bmatrix} egin{bmatrix} frac{partial H}{partial q}\ frac{partial p}{partial p} end{bmatrix}$

這個就是正則方程啦。

然後你又想，這 $vec p$ 算啥玩意嘛，看不見摸不找。還是喜歡速度 $dot{ vec{q}}$ 。那就做一個勒讓德變換

$L=frac{partial H}{partial p}p-H=dot{q}p-H$

這就是拉格朗日函數了。

分析力學的適用範圍遠遠高於牛頓力學。

區別一：

牛頓力學歸結為牛頓三大定律。慣性定律定義了理論成立的慣性參考系，第二定律規定物體的運動規律，第三定律規定物體的作用規律。從第二定律、第三定律出發，能導出能量守恆定律、動量守恆定律、角動量守恆定律。力學範圍內的其它定律如質量守恆、電荷守恆等則無法導出。

拉格朗日力學的基礎是完整約束下拉格朗日方程。引入約束、廣義坐標、廣義速度，我們在坐標選擇上有了更多的任意性，避免了力和加速度。力學中的守恆定律，歸結為體系的時空對稱性，這是思維上的巨大提升。

哈密頓力學更進一步，體系的物理過程用一個作用量來描述，真實物理是作用量的極值情形，即最小作用量原理。反過來，拉格朗日函數、拉格朗日方程也可以通過勒讓德變換、拉氏泛函的極值獲得。至於正則方程，形式上從拉氏的二階偏微分方程降為一階方程。廣義坐標、廣義速度被正則坐標、正則動量取代，相空間取代了位形空間，泛函的變分發生在相空間。

區別二：

牛頓力學是宏觀、低速、弱引力場下的近似理論。宏觀有別於量子力學，低速有別於狹義相對論，弱引力場有別於廣義相對論。

相反，分析力學不做太多的限制改動就能與量子力學、相對論相容。甚至在某種意義上，我們可以從分析力學出發，導出新的物理。正則方程提供正則量子化方法，哈密頓-雅可比方程可以過渡到薛定諤方程，路徑積分方法基於作用量。

區別三：

與牛頓力學不兼容的電磁理論、相對論都有分析力學的形式。

與牛頓力學毫無關係的量子場論建立在場的分析力學形式上。

單純從方法上來說。

牛頓力學和拉格朗日的分析力學之間的關係就像是用平面、立體幾何方法和解析幾何方法之間的關係。

平面、立體幾何一般需要輔助線，分析幾何關係然後解決問題。而解析幾何通過建立坐標系把一切問題的解決流程給程序化了。

同理，牛頓力學你得一個個做受力分析，去深入細節。分析力學只要寫出能量表達式，然後按照拉格朗日方程就能程序化的得到問題的方程。

所以用兩個方法去解決問題時候用的思路和方法不太一樣。

大部分答主都提到了分析力學不用直接分析動力系統的受力就能得出該系統的運動狀態，我在這裡不再贅述。主要想談一談分析力學對於其他學科（如量子力學、量子場論）的啟發作用。本人最近也在學習這些內容，簡單的談一談自己的理解。才疏學淺，在此姑妄言之。

手機碼字，不知如何輸入公式。等到時間充裕之時再做補充。

首先就是在分析力學中引入了拉格朗日方程和哈密頓正則方程。拉格朗日方程告訴我們，對於任何一個動力系統，只要我們知道了它的拉氏量，我們就能得出它的運動方程，而拉氏量是與能量相關聯的，因而就可以把這一理論推廣到其他的非經典力學體系，通過構造合適的拉氏量，就能夠得出對應的運動方程。這一點在量子場論中非常重要。在量子場論中人們研究的對象是拉氏密度，也就是單位體積的拉氏量，通過構建合適的拉氏密度，我們就能夠由此得出klein-gordon方程和dirac方程，這一轉化過程非常自然，而用牛頓力學體系則不能完成這樣的轉化。在粒子物理中，人們也通過對稱性（這一點後面再說）來構建合適的拉氏密度，進而求解。比如最著名的就當屬標準模型的拉氏密度。

其次再來說說哈密頓力學。從形式上看，拉格朗日力學是一個二階偏微分方程，而哈密頓方程是兩個一階的偏微分方程，看似差別不大。但從其數學結構上，哈密頓力學則可以使用辛空間而不依賴於拉格朗日力學的表述，而哈密頓系統則可以理解為時間上的纖維叢。哈密頓量在辛流形上的向量場中也可以導出泊松括弧，這樣就給了流形上的函數空間一個李代數的結構。這一點略微超出了題目限定的本科的範圍，在此不再延伸。

還有就是哈密頓力學與量子力學的關係上，最小作用量原理的思想被費曼所參考，天才般的發明了路徑積分。還有就是從哈密頓雅可比方程出發，通過構造合適的母函數，就能夠導出薛定諤方程的形式。而泊松括弧的引入對於海森堡表示也有著很大的指導意義。

就實際應用來說，哈密頓方程應用範圍比較廣，而且也不局限於物理。經濟學中也有利用哈密頓方程建模的研究，其核心就是把經濟學中的量與物理量相對應，然後就可以用計算機進行模擬計算了。而牛頓力學很難做這樣的推廣。在這方面懂得不是很多，就說到這裡。

還有就是關於對稱性與守恆量，這也是分析力學帶給我們的一個有力的工具。在拉格朗日力學中，通過諾特定理，我們得知了對稱性意味著守恆量，我們就能夠寫出一個「流」（current，不知道翻譯成流對不對）。而在牛頓力學中我們是做不到這一點的。而守恆量就意味著不變性，通過對它進行變換，拉氏量不變，我們就能得出這個拉氏量具有對應的不變性。這一點就把物理和群論聯繫在了一起。通過對稱性，進而構造出守恆量，然後構造出拉氏密度，這也成了粒子物理的研究手段之一。比如在QCD中，就可以引入su（3）群，其中的平凡表示對應的就是輕子，而基本表示對應的就是夸克的三色，而伴隨表示對應的就是強相互作用中的膠子。所以可見，分析力學中的諾特定理的引入，對於後來的物理學的發展有著不可估量的重要作用的。

在辦公室電腦沒有中文輸入法，手機碼字，說的比較亂，大家姑妄讀之。待時間充裕之時再進行結構上的修改與錯誤的訂正。

謝邀。

比較贊同 @趙永峰的理解。要解釋牛頓力學和分析力學的聯繫，就要先講清楚牛頓力學指的是什麼。牛頓力學斷言了系統運動方程的形式是 $ddot{x}_i = f(x_1,dots,x_n;dot{x}_1,dots,dot{x}_n)$ ，但不負責給出任何函數 $f$ 的信息。而分析力學則給出了函數 $f$ 的生成方法，並且允許有別的形式的運動方程。舉個例子，牛頓引力理論的運動方程是 $mvec{mathit a}=vec F=-Gfrac{Mm}{r^2}hat{r}$ ，所謂牛頓力學其實只說了前半部分，後半部分是獨立於力學三定律的內容（雖然也是牛頓發現的），而這後半部分才是分析力學主要負責的部分。更一般的，分析力學通常直接給出 $mvec{mathit a}=-Gfrac{Mm}{r^2}hat{r}$ ，而忽略力這個中間概念，在一些動力學中（比如廣義相對論）甚至很難定義這樣一個中間概念，這也說明了分析力學的涵蓋範圍要更廣。

本科階段啊。

一，牛頓力學：最關鍵的就是牛頓第二定律了，這是一個矢量微分方程。

1，我們需要通過受力分析找出矢量函數F。

2，然後根據情況的不同把這個矢量微分程「放」到不同坐標系裡，變成一個微分方程組。

3，求解這個微分方程組得到運動時間函數。

二，古典變分法：大部分物理學裡的微分方程都有一個與之等價的泛函求極值問題。

1，泛函即某個函數空間到一維實數空間的映射（我們在數學分析中學到的函數是n維實數空間到1維實數空間的映射。）

2，類比數學分析中的內容，泛函也可以去定義「臨域」，「連續性」，「導數」等。

3，函數求極值的必要條件是函數的導數等於0，這是一個代數方程；泛函求極值的必要條件是泛函的變分等於0，這是一個微分方程。

4，科普的講：微分方程是要找一類使得方程成立的函數，泛函求極值問題是要找一類使得給出實數為極值的函數。（都是在找函數，某種情況下存在等價關係）

5，關於一元函數的泛函求極值問題與某個常微分方程等價。關於多元函數的泛函求極值問題與某個偏微分方程等價。

6，當然歐拉方程僅僅是泛函求極值的必要條件，充分條件的判定需要利用微分方程運算元的正定性與對稱性之類的，這裡不再贅述。

7，最後湊出與牛頓第二定律等價的泛函求極值問題，那個泛函的拉格朗日函數就是動能減去勢能。

三，物理上的好處。

1，不用再進行受力分析，這是本科初學階段最直接的好處。

2，方便過渡到場論部分，以及方便討論場的量子化。

3，方便討論體系的對稱性問題。

4，方便利用拉格朗日乘數法處理含有約束的力學問題。

四，哈密頓力學

1，切叢到餘切叢上的勒讓德變換。餘切叢（相空間）上有自然的辛結構。在這裡這部分內容偏向數學，回頭再說吧。

2，如果體系是耗散系統（能量不斷散失，如欠阻尼振子），則可以進一步討論相空間的吸引子（相空間最後穩定的軌跡），例如阻尼振子的吸引子是相空間中的一個點（稱為不動點）；受迫欠阻尼振子的吸引子是相空間中的一個橢圓（稱為極限環）。這類吸引子稱為平庸吸引子，與初值無關，由體系參數決定。

3，對於絕大多數非線性微分方程，我們可以求其數值解並繪出相空間軌跡。利用龐嘉來映射討論體系的混沌性。具體來說龐嘉來局部截面上：

a，離散點，那麼運動是周期的。

b，連續閉合曲線，那麼運動是准周期的。

c，具有分形結構的密集點，那麼運動是混沌的。

4，若體系是混沌的則：其吸引子（奇異吸引子）也與初值有關，且運動對初值極度敏感。

Lyapunov指數一定程度上可以定量描述體系對初值敏感性，下一步還可以進行混沌控制の相關討論。

暫時先到這兒了……剩下的回頭再補吧。

說得簡單一些：牛頓力學討論的是物體間的相互作用以及這些作用和運動的關係。

分析力學則是試圖概括全部形式的力學。力學與力學之間的區別本質上就是拉氏量的區別。牛頓力學、相對論、經典電磁理論都可以改改拉氏量就直接被涵蓋到分析力學的框架下。甚至是量子力學，也可以通過稍加修改適應到分析力學中來。

牛頓力學是一種因果關係

給物體一個力，就會產生一個加速度。力是因，加速度是果。這樣只要知道了初始條件，就可以由給的力計算出物體運動軌跡。有點決定論的意思，一切運動都是確定的。

分析力學則是最小作用量原理，準確說是哈密頓原理

物體不需要力來作為運動狀態改變的原因，它選擇作用量取極值的路徑作為運動軌跡。

因為對於其它的路徑，它們的概率幅相消了，最後概率收束到作用量取極值的路徑上。

也可以說，分析力學中，物體沿概率最大的路徑運動。

像混沌、非線性動力學這些，最好用分析力學的觀點去理解。

強行本質，所以沒有用數學語言，看看就行。區別其實非常多，從你做題的角度來講區別會更多，但我個人認為「本質」也許就在這裡。

牛頓力學需要用向量解決問題，受力分析太難了

拉格朗日力學或漢密頓力學把系統用純量來描述，用函數來描述系統多簡單。

用不用矢量分析吧……

具體的記不清，大致對於雙側完整定態（定常？）約束，拉格朗日方法可以繞開很多不需要的中間變數，節省計算量。

另外泛函極值還可以有直接法求近似解，那麼把微分方程換成泛函極值也有可能簡化問題。

抖個激靈：

牛頓各種圖，分析沒有圖

拉格朗日當年說：牛頓力學裡各種圖，太煩，於是分析力學誕生了，拉的著作里號稱一張圖都沒有。

受力→約束，矢量→標量

用幾何的方法研究力學

限於個人水平，只能談哲學。

1，矢量與標量。我看好比幾何與代數（見3）。

2，兩種不同的理解世界的方式（如力和能量）。心理上接受牛頓力學花了五分鐘，但我花了兩年時間從心理上接受最小作用原理作為物理思維方式。

3，試用範圍不同。分析力學更廣泛，包括廣義相對論（沒記錯的話）。

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2的差別可能被忽視。推而廣之，物理思維和數學思維衝突比想像多，估計也能解釋為什麼數學系中喜歡物理者寡。

牛頓力學只能解決簡單的三維空間的受力情況，對於運動軌跡的求解太過困難。而分析力學有極其實用的拉格朗日方程，正則方程，用上廣義量和積分微分求解問題相對簡單了許多。分析力學把複雜的運動受力問題直接的轉換成了數學問題（不包括三體問題哦→_→）