虛功原理的實質概念是什麼？

01-06

1.上課老師說實功是力引起的位移上做的功，所以一定大於0，虛功是力與位移沒有因果關係的功
因此想問難道以前學的摩擦力做的負功都是虛功?或者實功虛功只是結構力學上分析?
2.虛功講的力狀態和位移狀態，就是兩個是沒有因果關係狀態，然後求功嘛？這個功怎麼來的，有什麼意義

3.高中競賽也用過假設的虛位移來求解力，說是能量守恆原理。比如假設這個力的作用下位移了dx，然後能量變化blablabla.這個和力狀態位移狀態表達的虛功感覺完全不是一回事
一團漿糊求救

經典力學力的基本假設只有： $delta int_{t_1}^{t_2}Ldt=0$ ，寫出拉格朗日量帶入拉格朗日方程即可。

對於靜力學問題也是一樣，舉一個非常常見的例子。

一根筷子靜止的放到半徑為 $r$ 的半球形的碗內，筷子在碗內長度為 $c$ ，求筷子總長。

筷子與水平面夾角為 $alpha$ ，那麼體系的拉格朗日量為：

$L=T-V=-V=mgleft( c-frac{l}{2} ight) sinalpha =mgleft( 2rcosalpha -frac{l}{2} ight) sinalpha$ ，

帶入E-L方程，得： $frac{partial L}{partial alpha } =mgleft( 2rcos2alpha -frac{l}{2}cosalpha ight) =0$ ，

所以： $l=frac{4rcos2alpha }{cosalpha } =frac{4left( c^{2}-2r^{2} ight) }{c}$ 。

理論上講，靜力學問題無非是動能 $T=0$ 時的一種特殊情況，我們只要寫出拉格朗日量，然後帶入E-L方程就OK了。那麼，虛功原理到底是什麼呢？

當我們在用虛功原理處理力學問題的時候，實際上就是在進行動能為零時的E-L方程的推導。

$delta S=int_{t_1}^{t_2}left( frac{partial L}{partial q} delta q+frac{partial L}{partial q$ ，其中， $L=-V$ ，且 $L$ 不顯含 $q$ ，

所以： $delta S=int_{t_1}^{t_2}-frac{partial V}{partial q} delta qdt$ ，這樣就可看出虛功原理的樣子了， $-frac{partial V}{partial q}$ 是廣義力。

$delta S=0$ ，此時等價於： $sum_{i=1}^{n}{F_i}delta q_i=0$ 。

最後，注意：虛功原理僅僅可以處理靜力學問題，而E-L方程更加廣泛的可以處理任何力學問題。用虛功原理計算時，我們實際上把該體系 $T=0$ 時的E-L方程推導了一遍。虛功原理從一開始對物理量的變分出發解決問題；E-L方程則是直接用變分法的結論去解決問題。

不請自來。

答這個答案算是為了整理總結一下已經學到的知識吧。

虛功原理在很多理論力學書裡面是放在最後幾章來講的。大家學習理論力學的時候可能會發現，虛功原理這部分的「氣質」和整本書其他部分有些格格不入，它更偏重於理論推導而不是通過畫受力分析圖來得到直觀的解答。其實這和經典力學的發展史有關。有興趣的同學可以去搜索一下《力學史雜談》武際可著，裡面的《經典力學發展的兩條路徑》。在這裡主要回答題主的問題，什麼是虛功原理，以及它究竟能幹什麼。

虛功原理的思想其實最早來源於歐洲的伯努利家族，後來在拉格朗日的《分析力學》書中得到體現。拉格朗日方程就可以用虛功原理推導出來。好了咱們不整那些看不明白的，直接上圖。如圖，這是一根最簡單的彈簧，上面掛著一個小物塊m

大工的鐘萬勰院士講課，從一根彈簧的問題引入，就能把整個拉格朗日體系，哈密頓體系的主旨思想講清楚。虛功原理是拉格朗日體系的敲門磚，我在這也班門弄斧一下用一根彈簧的問題講講虛功原理。我保證，下面的推導只要你學過高中物理就能看得懂。

在這個模型里，外力就是加在彈簧上那一坨東西的重力，G=mg。高中知識對吧。那麼這個外力加上去了，彈簧產生了一個形變，相當於外力對彈簧做功，彈簧把這個功儲存起來，我們叫它應變能，或者彈性勢能吧。

$V=frac{1}{2} kx^{2}$

這個1/2是怎麼來的呢？這裡的彈性勢能可以理解成彈簧的內力（也就是彈力F=kx）在彈簧的變形上做的負功的積分。也就是可以寫成

$V=frac{1}{2} F x$

彈簧內力是F=kx，在變形從0逐漸增加到x的時候做的功。

直到這裡全部都是高中知識，虛功原理說一個體系在平衡的時候，如果給這個體系一個虛位移 $delta x$ ，那外力在虛位移上做的功就等於內力在虛位移上做的功。來我們驗證一下：

外力G=mg在虛位移上做的功

$W_{1} =Gdelta x$

內力F=kx在虛位移上做的功

$W_{2} =Fdelta x$

把它倆畫等號，左右兩邊約掉了虛位移，我們發現了什麼？kx=mg，求出x，正是這個體系平衡時對應的x。

這裡彈簧內力在虛位移上做的功其實是前面彈簧勢能的一階變分。

這個問題實在太簡單了，簡單到高中知識一眼就看得出結果，好像用虛功原理和用力的平衡求解沒什麼區別。

但是當問題從彈簧變成一根簡支梁的時候，就不太一樣了。雖然實際上，簡支梁也是個線彈性體，你樂意的話當然可以把梁的反力方程裡面除了x以外的所有項放在一起設成k，那樣問題就和彈簧完全相同。

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當你的體系不再是簡單的彈簧-小物塊，而變成了一維的梁、二維的板，三維的混凝土的時候，剛才的虛功原理變成什麼樣子了呢？

彈性體在受力後會產生一定的變形，最終達到平衡狀態。平衡時在滿足邊界條件（對於梁就是鉸節點或剛節點，對於板就是間支邊或夾支邊的條件）的情況下，空間彈性體的位移場可以用x,y,z的三個函數u,v,w來表示。

從而可以建立彈性體的應變能泛函U——自變函數是u,v,w，泛函值為彈性體的應變能。虛功原理在這裡又叫虛位移原理：給定一個虛位移 $delta x$ ，所有的外力在虛位移上做的功 $delta W$ 就等於內力在虛位移上做的功 $delta U$ 。

$delta U=delta W$

外虛功等於內虛功。這個方程是不是和上面彈簧那個問題長得很像？

求解這個等式，就得到了彈性體真實的位移場，對應上面那個彈簧問題裡面的x。

再進一步，我們設彈性體的應變勢能為U，外力勢能為V（這裡的V絕對值為負），這裡U和V都是位移u,v,w的泛函，公式各種介紹變分法的書里都有在這就不寫了，彈性體的總勢能 PI=U+V。

求解的時候，我們首先設出滿足位移邊界條件的位移場函數的形式，它可以是多項式形，也可以是三角函數形，啥樣都行只要滿足邊界條件就行。這個位移場函數裡面可能有許多待定係數，比如C1,C2,C3啥的。這些係數無論取多少，這個位移場都能滿足位移邊界條件。那真實的位移場是哪個呢？

最小勢能原理告訴我們，真實的位移場使總勢能泛函最小，就是剛才的PI的變分為零。

$delta PI=delta U+delta V=0$

注意，我剛才說了這個V絕對值為負，拿到等號另一邊，就變成了剛才的虛功原理。

$delta U=delta W$

所以最小勢能原理就是虛功原理的等價形式。

你可以說，在所有可能的位移中，平衡位置上的位移使系統的總勢能最小。等價的表述就是在平衡位置上，外力虛功等於內力虛功。

至於最小勢能原理和變分法有什麼妙用，歡迎移步我的另一個答案：

力學領域有哪些黑科技？ - 畢紹洋的回答

變分原理

虛功原理是虛位移原理和虛力原理的統稱，虛位移原理用於求力，虛力原理用來求位移。之所以叫虛，是因為力或者位移是假設的，比如假設結構某一位置處有任意方向的單位力或者單位位移都可以。

但虛位移原理只適用於剛體，虛力原理剛體彈性體都行，區別就是剛體任意處都沒有應變，整個結構或者構件只有整體平動或者轉動位移。

對於虛力原理，就是虛力*實位移=虛應力*實應變。內虛功和外虛功平衡，拿個懸壁梁算算盡端位移感受一下。虛位移原理，就是結構所受每個力乘以自身對應的虛位移的總和為零，因為沒有應變，所以總和為零，沒有多少實際意義，研究結構都是研究彈性體

大家回答的比較好補充一點：

變形體的虛功原理可以描述為：

變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協調條件的變形狀態上作的虛功等於零。也就是說體系外力的虛功與內力的虛功之和等於零。

虛功原理是虛位移原理和虛應力原理的總稱。

虛位移原理：虛位移就是任意（實際位移是其中一種）滿足邊界條件的位移。變形體內的應力在虛應變上所做的功（內力的虛功）+體積力和面積力在虛位移上做的功（外力的虛功）=0。

虛應力原理：虛應力在應變上做的虛功+虛邊界約束反力在給定位移上做的虛功=0。

就是變分……

實質是能量，虛了很多位移，但真實的位移是那個使整個能量最小的那個。有沒有感受和理解到自然界規律了。

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換著說虛功原理其實把靜力學問題轉化為動力學問題（靜轉動），就像達朗貝爾原理把動力學轉化為靜力學問題。不是只是結構力學上分析，材料等微觀上亦可，也可以裝逼的說叫變分原理。

字多的解釋書上講得好。(￣▽￣)~*

1.虛功原理：

一個處於受力平衡狀態的物體（質點、質點系、剛體等），如果給它假設一個位移，那麼物體所受的所有力在這個位移上所做功的總和為零。

這個不難理解，因為處於平衡狀態的物體所受的合力必然為零，那麼這個為零的合力在任何位移上做的功都是零，只要這個位移不影響物體原本所受力的屬性（大小，方向等）。

就好比一個處於受力平衡狀態在做勻速直線運動的物體，所受的力必然不做功。

2.虛功原理有什麼用：

這個原理，乍一看，好像是廢話啊，其實仔細想想你就會發現，大自然是很美妙的（果然廢話orz）。

下面舉一個最簡單的例子：

圖（a）是一個簡支梁，現要求支座B的支座反力。

先把支座B約束撤除代以力 $R_{B}$ ，虛設B點向上位移x。

這樣只要知道力F大小位置，通過所有外力（力F和力 $R_{B}$ ）在虛位移上做功和為零可以方便地求出支座反力 $R_{B}$ 。

當然這個例子用靜力平衡解也很方便啦。

3.以上說的是剛體系的虛功原理，就是受力物體不會發生變形。

如果受力物體會發生變形的話，變形需要吸收能量，即變形體的內力要做功，這樣一個受力平衡的物體，給它虛設一個變形的話，外力做功之和就不等於零，而等於變形體吸收的能量，也就是內力做功。

還是上面的例子，這次將力F換成一個很複雜的分布荷載q，然後要求梁中點處的豎向位移：

圖（a）是所謂的真實狀態，圖（b）是虛擬狀態。兩圖中的梁變形是分布荷載q產生的真實變形。

先在要求位移的方向，虛設一個已知大小的力F，如圖（b）,然後假設要求的豎向位移是x，這樣外力所做的功為F乘以x。

然後算出虛設力F產生的內力在真實變形上所做的功。

通過外力做功與內力做功相等，可以方便地求出要求豎向位移x。

至於內力做功的演算法，取變形體微段，將內力在微段上所做的功積分，屬於題主所述的balabala的部分，不屬於虛功原理。

需要指出的是，這裡的變形體虛功原理，只適用於小變形（變形趨向於0）。若變形過大，則會影響物體原本所受力的屬性（見前述虛功原理），不再適用。就好比這裡的圖（b），如果變形過大，AB處的支座反力將會和桿AB成一個明顯角度，內力也會發生變化，再用虛功原理算的話與實際不符。

所以，所謂力狀態，位移狀態，兩個沒有因果關係的狀態，然後求功，關鍵不是功怎麼來的（因為這個功實際不存在，是你虛設的力或位移產生的），關鍵是怎麼利用這個功求未知量。

1、虛功原理是靜力學的內容。

2、由於產生虛功的力和位移彼此獨立無關，因此既可以把位移看成虛設的，也可以把力看成是虛設的。

(1) 位移是虛設的。虛功可以表達為—實際存在的力×虛設的位移。由於位移是虛設的，因此這種形式下的虛功原理又叫做虛位移原理，可以用來求位移，相應的方程等價於平衡方程。

(2) 力是虛設的。此時虛功可以表達為—虛設的力×實際發生的位移。由於力是虛設的，因此這種形式下的虛功原理又叫做虛力原理，可以用來求位移，相應的方程等價於位移協調方程。《結構力學》(於玲玲)

建議看看虛位移原理，虛位移原理是等同於最小勢能原理，二者是可以互推的，但是虛功原理只是最小勢能原理的充分條件，而非必要條件

樓上各位說得都對其實，不過感覺細節基本都是和教科書差不多，相信這些書里也能找到。一句話概括起來其實很簡單：虛功原理其實就是動能為零時的最小作用量原理，這就是物理概念的實質。從數學變分的角度也很容易理解，尤其當你理解Legend 變換之後哈哈

虛位移看起來容易理解，畢竟剛體上的位移有個幾何關係。

但是虛設力來求位移感覺不太好理解啊，憑什麼一個虛設的力產生的內力可以跟實際的位移乘起來變成內虛功，等於虛設的力乘以實際位移？感覺是兩個不相關的東西攪在一起了，要是位移實際大了小了會有影響嗎？

這個彎老是繞不過，求解脫

摩擦力通常做的功是虛功，這是因為物體位移通常不是摩擦引起的。

可以用能量最低來理解，也可以從虛功原理的推導來理解

就是給他個不與幾何方程矛盾的位移試一試

功為零就平衡了

好比給一個男人志玲姐姐圖片試一試這個圖片肯定不是真人了男人要是不為所動說明他修道成功了

至於摩擦力肯定會改變物體的運動狀態和位置形狀的