割圓術是錯的嗎?

01-06

題主只是大一小白，偶爾腦洞大開
下面開始提問
首先我覺得，任何二維圖形都由無數個一維點組成，而任兩個一維點只能連成直線，那麼我可以把圓當做由無數個無限短的直線組成的圖像。
那麼從這個角度考慮，割圓術不就是無比正確的方法了么…現代數學的計算方法又是從何而來呢？

================看知乎都知道要有分割線=======================

某日狂風大作，寓所無電。某人無事，見桌上膠帶，圓皮圓心，遂念3.141592，不足七位而止，愧之，是欲求π。

然無電則無網，無網而不知天下事，只知割圓二字，而不得其法，為之奈何。正曰：

無電無網欲求π，不知如何割成圓。

三角函數全然忘，依稀記得勾股弦。

================請不要吐槽這個真實的故事======================

首先我想到只要算出正n邊形的面積，再在力所能及的範圍里挑個最大的n就行了

然而查不到三角函數表，我的能力僅限於n=4（真正的戰5渣。。。。）

來網後我才知道，根據劉徽的記載，在劉徽之前，人們求證圓面積公式時，是用圓內接正十二邊形的面積來代替圓面積。

對了，歷史書上不是有個割圓者劉徽么。我決定割圓（第一印象，怎麼割，割下來也沒法算啊）。

算了，可能我記錯了，我補補看看。

哎喲，把補丁轉起來，疊起來，效果不錯嚄。

進一步想，這不就是正4，正8正2……n邊內接么。，看來每次升級，就多了四個小三角的面積啊

我決定進一步畫個圖研究。

如圖，第一次，多出綠色三角4
個，第二次，多出藍色三角8
個……。

哈，我們在找到三角形面積的規律即可。

三角形面積是底*高/2，知道每組底與高就行了！

每個三角形都是等腰的，這太好了，用勾股定理就知道腰長了，上個三角形腰長就是下個三角形的底長啊，同理往複可知所有底啦！

高呢？對了，別忘了我們知道圓的半徑r，利用任何與半徑垂直的黑直角三角形（有個定理的，被半徑平分的弦，垂直）求得新增小三角形高（圓半徑減黑三角形的高）。

最後，把所有新增三角形加起來加上開始正方形面積，可得圓面積。弄3次就是16邊了！

我異常欣喜地叫這種方法「補圓法」。

一盆冷水——來網後，我發現這個就是真正的「割圓法」（割你妹！這明明是補！）劉徽早就笑而不語了！

罷了，為了驗證我的做法（作為計算渣，我怎麼可能算到4
次）

我來電後利用matlab驗證了一下：

建議n取30，r隨意

%s is the Total area of triangles

s=0;

% a and b are both perimeters for calculating newly added
triangles

a=0;%height

n=input("times of cutting")+1;

b=zeros(n,1);%predim

r=input("diameter of the circle");

%set display parameter

mypi=zeros(n,1);

b(1)=r;

for idx=1:n-1

a=sqrt(r^2-b(idx)*b(idx));

m=2^idx;

s=s+(r-a)*b(idx)*m;

b(idx+1)=0.5*sqrt(b(idx)*b(idx)+(r-a)*(r-a));

mypi(idx)=s/(r^2);

end

%display

format long

display(mypi)

結果：我終於被到十位啦，哈哈哈！

mypi =

2.000000000000000

2.828427124746190

3.061467458920718

3.121445152258053

3.136548490545940

3.140331156954753

3.141277250932774

3.141513801144302

3.141572940367092

3.141587725277161

3.141591421511202

3.141592345570119

3.141592576584874

3.141592634338565

3.141592648776987

3.141592652386593

3.141592653288994

3.141592653514595

3.141592653570995

3.141592653585095

3.141592653588620

3.141592653589501

3.141592653589722

3.141592653589777

3.141592653589791

3.141592653589794

3.141592653589795

3.141592653589796

你需要考慮如何「良好」地定義曲線長度，而不是瞎想。

否則圓周率等於4，你都不知道錯在哪。

是這道理啊。。。問題在於，什麼叫"無數"或者"無窮"，什麼叫做"無限短"。。。

如果你有了嚴格的極限概念就不會有這樣的問題了

我來補充一個pi=4的圖每次截角之後因為圖形周長不變，所以當達到無限之後pi就等於4了

按說大一也過了一學期了，題主是沒學過微積分嗎？建議複習或預習微分學的極限定義，收斂定義，無窮小的概念，柯西收斂定理。積分學的達布和的概念。無窮級數的一些概念。

另外高中的知識也足夠初步理解這個東西了。

無所謂錯對，只是極限思想的雛形，有朋友回答說取極限是對的，不去取極限是錯的，比較贊同，因為這是站在今人的角度上看的

大一。。。你高二是去炸了么

不取極限是錯的，取極限是正確的。