集合 X 有 n 個元素，從集合 X 中隨機選取 A、B 兩個子集。A 是 B 的子集的概率是多少？

01-06

已知集合X有n個元素，現在從集合X中隨機選取A，B 兩個子集（任何X的子集都可以被等概率選中）。那麼，A 是 B 的子集的概率是多少？

$0.75^{n}$

這題目不需要用條件概率、組合求和、數學歸納法吧。。。

如果AB是對這個n元集個元素等概率取子集的話，每個元素無非就是四種狀態：

1. 只在A中

2. 只在B中

3. 既在A中，又在B中

4. 既不在A中，又不在B中。

對某個元素而言，這四種狀態是等概率的（為什麼？），均為1/4。

那麼："A是B的子集"等價於"所有元素都不處於狀態1（只在A中）"。

那麼，A是B的子集的概率就是(1-1/4)^n.

n=1，概率為75%（一共四種情況，等概率，只有在A=X且B為空的情況下，A才不是B的子集）。

n=N，假設概率為p。

n=N+1，把X分成兩個子集，一個子集X1有n個元素，另一個子集X2隻有1個元素。

從X1裡面任取兩個子集a和b，a是b的子集的概率為p；

從X裡面任取兩個子集A和B。A和B有四種組合方式，四種情況的概率相同：

A=a ，B=b
A=a∪X2，B=b
A=a ，B=b∪X2
A=a∪X2，B=b∪X2

在第二種情況下（概率0.25），A一定不是B的子集；在其他三種情況下（概率總共為0.75），A一定是B的子集。

所以A是B的子集的概率取決於a是b的子集的概率，在n=N+1的情況下，概率為0.75p。n每增加1，概率就會減少到原來的75%。

所以p=0.75^n

（我決定面試summer intern的時候就問這道題了）

首先，分母是 $2^{2n}$

然後考慮分子。

假設取出的A集合是一個i元集合，並不妨假設B是A的子集（由對稱性，這不會造成影響）

那麼，B集合的構造方法，就應當是先挑出A中所具有的i個元素，有 $C_{n}^{i}$ 種情況。並且再從中選出一些元素加入B集合。具體說來，就是決定這i個元素中，每一個是放入B中還是不放入B中，共有 $2^{i}$ 種（特別的，若A是空集，那麼B也一定是空集，只有一種可能）

因此，對一個i元A集，選出B是A的子集的情況數是 $C_{n}^{i} imes 2^{i}$ ，所以總共的B是A的子集的取法就是 $sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i} imes 2^{i} }$ ，這根據二項式定理（注意，這個求和式的第一項是1，所以是一個完整的二項展開式，不缺首項），得 $left(2+1 ight) ^{n}$ 。因而概率就是 $left( 0.75 ight)^{n}$ .

之前幾位答題的都是大牛所以不需要太多過程，而鄙人才疏學淺，需要多寫幾步，所以比較詳細，也希望題主能看懂，大神不要噴。

這題回答的效率好高啊。。。答案也好統一啊0.75?。。。

Cn(k)*2^k/4^n

k=0~n求和

=(2+1)^n/4^n=0.75^n

用條件概率一個個推？B只有1個2個3個元素的概率以及在不同元素個數下A是其子集的概率，別忘了空集全集

任何子集都能等概率被抽中，那就說明任何子集的元素數量是一樣的咯，然後a是b子集，說明a=b咯，我好像進入一個奇怪的思維...

抱歉，具體結果可能要用通過MATLAB計算，其中n=0時概率為100%。

分割========================感謝 @Exista的提示，我在後面添加1^(n-i)就可以得到二項式（1+2）^n，所以最終結果為（1+2）^n/4^n=0.75^n，n=0時為空集，A=B=?，概率為100%，計算結果也是符合的。

首先，總共有 $2^{2n}$ 種選法

然後，A是B子集的選法，有 $sum_{x=0}^{n}{C_{n}^{x}2^{n-x} }$ 種選法

這個式子求和等於 $left( 2+1 ight) ^{n}$

得答案