高斯定律和庫侖定律互相證明是否顯得很矛盾？

01-06

我們的大學物理（張三慧主編的）上曾用庫侖定律加微積分導出了高斯定律，而又用高斯定律證明庫侖定律，這不是互相證明嗎？怎麼能自圓其話？

沒看過張的書，不過應該和這個鏈接裏的證明差不多吧：Gauss"s law，但這兩個證明放在一起只是說明庫侖定律和高斯定律等價，不是要互相證明對方是對的，所以不存在循環論證。

物理學的一些分支有完整的公理體系，包括許多「公理」和「定理」，其中公理是不能證明的，只能通過推導與計算，再與實驗結果作比較（包括驗證和預測），如果兩者吻合地很好，那麼我們就有理由相信這個公理是對的（直到我們找到不吻合的實驗）。

電動力學（電磁學）的公理是麥克斯韋方程組（wiki：Maxwell"s equations），由這個方程組推導涉及靜電、靜磁、傳播、輻射的各個結論（定理），這是電動力學教學的一種方式。由於方程組中有一條正是高斯定律，所以我們才說庫侖定律是對的。

還有另一種教學方式——按歷史發展的順序講：

庫倫提出庫侖定律： $m F=frac{qQ}{4pivarepsilon_0 r^3}m r$ ，由此可以推出高斯定律： $abla cdotm E= ho/varepsilon_0$ ；
Savart等總結實驗提出Biot-Savart公式，由此可以推出安培定律 $abla imesm B=mu_0m J$ 和 $ablacdotm B=0$ ；
法拉第定律描述變化磁場產生電場： $abla imesm E=-partialm B/partial t$ ；
麥克斯韋總結前人結果，提出位移電流 $m J_D=varepsilon_0partialm E/partial t$ ，與前面幾個方程一起組成麥克斯韋方程組。

張的書應該是按後一種方式講的，大物通常也不會講麥氏方程組，所以纔會有你的疑惑吧。

題主的提問明顯是數學的思維方式，是不是還在想著理論物理公理化呢啊？

但物理不是數學，實驗結果永遠是形式化的源頭及驗證。據此原則，只要在實驗中發現了規律，理論就有責任去解釋或接受它，在此過程中逐漸形成理論體系。其中更具理論意義和理論價值的規律將作為比較基本的原理去解釋其他現象（而事先並不清楚哪條規律是基本原理，這是一個隨歷史而發展的過程）。

具體到電磁學，按照數學上等價性的用法，可以不嚴格地說高斯定律和庫侖定律是等價的（亥姆霍茲定理和勢場基本定理）；物理上相對來說庫侖定律更容易用實驗直接驗證，而高斯定律更具理論上的基礎性。

等價性的證明過程可見David Griffith 「Introduction of Electrodynamics」的1.6.1-1.6.2節（「亥姆霍茲定理」、「勢函數」）及朗道《場論》的第三、四章（展示了如何從高斯定律推出庫侖定律）。

我們並不是在互相證明，我們是在做歸因。是在找尋應該把什麼作為最基礎的假設。

庫侖定律是一種實驗驗證的定律，如果我們能夠找到一種理論，包含所有被實驗驗證的電學定律，那麼我們就可以把基本假設定為我們導出的包含所有定律的這種定律，而非實驗得到的各種複雜的定律。