為何微元體應力狀態可用張量表示？

01-06

1. 雖然現在是顯然的，但是為什麼是9個元素的二階張量，而不是三階或更高階張量？
2. 使用張量到底有何優點，為什麼不用三個向量進行表示？
3. 既然應力張量是對稱的，那就是只有6個不同元素，為什麼不變換坐標，用一個主應力向量和其對應平面的法向量表示？

感謝各位回答，問題原因是對張量表示應力抱有疑問
張量 (tensor) 是什麼？ - 物理學

蟹腰。其他各位大神已經答得很多了，我只是來補充一下應力張量的對稱性問題。

應力張量的對稱性前提是不存在應力偶。

也就是說，如果你取物體里的一個面，觀察它上面的力偶（或者不嚴格的說，力矩），那麼你會發現當這個面趨向於無窮小時，力偶總會趨於零。

實際上，這個假設的條件是不存在體力偶。在一般的物體里這樣的條件總能滿足，但對於某些特殊的材料（鐵電材料？壓電陶瓷？）這樣的條件會被打破。這個時候應力張量就會出現不對稱。

1.認真推公式，不要意識流。

以牛頓流體為例，三維空間中，速度梯度在三個方向有分量。剪力（或者某個方向上的剪應力，摩擦力）是速度梯度的函數，同時自己也是個三維矢量（力）－－這不就3*3了。但是張量最終還是會被縮並成一個三維矢量（力）作用在動量方程中。應力用張量表示的核心原因是，它的9個分量可以是完全獨立的。X方向的速度梯度產生的剪力，並不直接決定Y方向速度梯度產生的剪力。雖然，在一定條件下應力張量是對稱的，只有6個獨立變數，但這是後話了。

2.用一個符號就能表示一點的應力狀態多好。

3.你拿一個實際問題，試試看就知道。認真做事，不要意識流。

應力 $sigma _{ij}$ 為二階張量，其中 $i$ 表示該應力作用在垂直於 $x_i$ 軸的面上， $j$ 表示應力作用方向與 $x_j$ 軸正方向平行（微元體外法線方向與坐標正方向同向的面為正面，否則為負面）。 $i,j=1,2,3$ ,一共9個元素，腳標對稱可以用微元體上力矩平衡得到。學過彈性力學的肯定知道應力的二階對稱張量。

張量的優點是簡潔。任何坐標系中的微元體平衡方程張量表示 $abla cdot sigma +vec{f}=vec{0}$ ，區別就在於算符 $abla$ 在特定的坐標系下的表達式不同。最常用的坐標系就是正交曲線坐標系，正交曲線中微元體的平衡方程如果按照一般推導非常複雜（詳見羅學富，陸明萬《彈性力學》一書），而用張量表示就非常簡單，當然前提是你能看得懂張量。

為什麼不用3個向量表示？如果學過連續介質力學就不會問出這樣的問題，物體的位移和形變都是複雜的，3個向量原則是可以描述，但是形式會變得非常複雜，有的時候根本無法表示。

推薦看看柯西應力張量是如何推導的，同意 @高木端的答案，別做意識流，認真推一遍就知道怎麼回事兒了。另外我要安利一下 @朱輝的觀點，反對把流體力學課講成數學課，能用物理理解的概念千萬別一上來就丟一堆數學公式。

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@朱輝所說的應力不對稱情況如下圖：在有體力矩的時候，應力張量不對稱。

因為應力狀態是由兩個向量即一個應力向量一個作用面微元向量共同決定的這相當於是兩個向量的並矢故為二階而非三階或更高階張量當然這個提法直觀而不嚴格體會意思就好

之前答的內容現在看來是我對張量的理解不夠。首先基本公式σds=dF，這裡ds有向微元面積，dF是作用於ds是力，力和有向微元面積都是三維的矢量，這兩個三維矢量滿足關係式σds=dF，從函數映射來討論σ: ds→dF，向量又叫一階張量，一階張量之間的線性映射關係就是二階向量。再深入一點，比如說彈性模量張量E，Eε=σ，ε和σ都是二階張量，兩個二階張量之間的線性映射關係E就是四階張量。張量就是多線性關係映射，工科運用的張量只是運用它簡易高效的表達方式。

1. 為什麼應力是9個元素的二階張量？

n dimension下的m階張量都是有 n^m個元素的，所以這個問題相當於在問，為什麼三維下應力是二階張量。其實這裡用了Cauchy elastic assumptions: 一點的應力只取決於這一點的物理狀態(local state)。如若考慮遠場的關聯，二階張量是不夠的，這也是為什麼這個二階應力張量又叫Cauchy stress （彈性力學下）. （還有一個原因，忘記了，想起來了再加上）

2. 使用張量到底有何優點，為什麼不用三個向量進行表示？

n dimension 下的 m階張量豈不是要用很多向量表示。。。其實以前我也覺得張量除了坐標變換時比較方便外沒別的了，後來學習了廣義相對論和微觀力學以及連續介質力學，發現張量用起來太方便了。比如，愛因斯坦方程；協變導數；三維空間點力的Green"s function, 直接用三維逆傅里葉變換對張量求解；Eshelby問題的求解（非常漂亮的求解）；四階剛度矩陣的 orthogonal decompositon （用起來超級方便，求逆也很方便）等等。

3. 既然應力張量是對稱的，那就是只有6個不同元素，為什麼不變換坐標，用一個主應力向量和其對應平面的法向量表示？

三維無body couple的話是對稱的，可以用6個元素表示，有種常用的方法叫Voigt notation，求解anisotropic elasticity或piezoelectric等問題時很常用，可以簡化很多問題。「用一個主應力向量和其對應平面的法向量表示」這樣應該也可以，但是考慮到主應力的法向量在空間中隨空間點的位置變化，如果以這些法向量作為基矢量（basis），那麼動量守恆方程裡面對應力張量求導時要考慮到對這些基矢量的求導，會多出來很多度規量，反而把問題搞複雜了（當然某些問題下主應力方向是固定的，就不會出現這種問題，比如軸對稱，球對稱問題。但是，如果主方向不變的話，直接用主方向建笛卡爾坐標系或柱坐標、球坐標系應該更簡單吧）。

不用張量完全可以的。

用張量代數有利有弊。書寫方便是最大的好處，其他好處好像沒有。

標量方程也挺好，就是寫起來累。

矩陣代數有時候更好用，也是手寫太累。

羅學富，吳望一，王敏中，三本張量用法都不一樣，可見只是工具而已。