平行線公設到底哪裡有問題?

歐幾里德為什麼盡量避免使用第五公設, 到底哪裡有問題? 非歐幾何是如何產生的呢?

本人愚笨,看不出第五公設有什麼問題,就是比前四個複雜點而且感覺在平面上是完全正確的啊。。。


第五公設和歐式幾何前面幾條公設的一個區別就是它不像其他幾個公設那麼直觀,而且敘述冗長。比如說,兩個可以無限延長的直線不相交並不能直觀的驗證。

在《幾何原本》里,歐幾里德似乎意識到了第五公設也許不獨立於其他的公設,《幾何原本》的寫作也盡量避免過早的使用第五公設(《幾何原本》前28個命題不依賴於第五公設)。

首先關於第五公設「敘述冗長」這個問題,人們試圖找到一些代替第五公設的命題。最有名的是Playfair公設:過直線外一點可以做一條且僅一條直線與已知直線平行。

邏輯上更重要的是第五公設的獨立性。一直有人試圖使用前四條公設來證明第五公設。直接的想法是反證法,即假設第五公設(或者其等價命題)不成立,看是否可以推出矛盾。比較有名的是Saccheri和Lambert兩位。前者假設存在一個四邊形ABCD兩個相鄰的角A, B是直角而對邊AD=BC,但是角C,D小於90度;後者假設存在一個四邊形ABCD其中三個角是直角,而第四個角是銳角。但是他們都不能導出矛盾。

在19世紀,Bolyai, 高斯和羅巴切夫斯基,從第五公設的一個否定形式(雙曲平行公理)出發,推演出所謂雙曲幾何的一系列的定理,而並沒有導出任何矛盾(一些定理包括,三角形內角和小於180度;不存在相似但不全等的一對三角形)。雙曲平行公理等價於:過直線外一點可以做多於一條平行線。其中高斯已經意識到雙曲幾何也許是一個相容的公理系統,但是拒絕發表這個工作。羅氏最初的發表也引起相當大的爭議。

應注意這三個人並沒有能證明雙曲幾何是相容的。後來Beltrami, 克萊因,龐加萊在歐式幾何的基礎上,構造了雙曲幾何的具體模型。也就是說如果歐式幾何是相容的,雙曲幾何就是是相容的。而幾何學的新篇章有待於劃時代的人物----黎曼----為人們揭開。


有問題的不是它的「內容」,而是「身份」。五大公設是幾何推理的原點,自身是不可被證明的。但歐幾里得懷疑第五公設是可以由其它四公設證得的,如果是這樣它就是「定理」而不是「公設」了。

然後後來的人繼承了歐幾里得的思路,發現大部分幾何定理沒有第五公設仍然成立,就把它從公設中划去,當作一條待證的定理。一直想了很多辦法,把許多第五公設的等價命題都找出來了,譬如三角形內角和180度等,但證明一直找不到。後來羅巴契夫斯基就想如果其實這條定理根本就不成立的,會怎麼樣?他就假設平面上過直線外一點有至少兩條線不與它相交,發現推出來的幾何完全沒有不自洽的地方,因此證明了第五公設不是定理。再後來人們發現羅巴契夫斯基的幾何可以對應到偽球面上的幾何。就醬


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