微分，導數，積分，這三者之間，有沒有聯繫。？

01-06

事實上，我對導數的定義就跟迷糊，然後微分求那個求正方形面積就更加看不懂了，同濟第七版讓我越看越迷，有沒有大神解釋下，最好是從源頭出發闡明，太複雜的專業語言我看不懂。

話說當年學習導數和微分的時候，我也是一頭霧水。當時我的感覺就是都有導數了，幹嘛還要微分？？而且微分看起來和導數長的那麼像，咋看都像是導數的重複。最讓我迷惑的是dx這個玩意，一會可以用來約分，一會又可以當做0，那麼這兩個不是矛盾的嗎？？比如下面一個例子：

今天終於有時間來好好弄明白這個問題了。有人建議說要搞懂這個問題要從微積分的發展史來看，確實是這樣，不過我不建議上來就看這個歷史，我會放在第二部分來講。因為上來就看歷史，先入為主，會造成更加的混亂。

下面的內容都是本人學習後根據自己所理解而寫的，如有錯誤歡迎大神指正。

一、微分的本質

我直接先下個結論：微分本質是一個微小的線性變化量，是用一個線性函數作為原函數變化的逼近（或者叫近似）。

微分的定義是從導數而來的，我們簡單回顧一下。

由導數的定義有 $[mathop {lim }limits_{Delta x o 0} frac{{Delta y}}{{Delta x}} = f$ ，那麼則有 $[frac{{Delta y}}{{Delta x}} - f$ 。

則可以得到如下結果：

$[Delta y = f$

當 $[Delta x]$ 趨近於0，顯然有 $[Delta y approx f$ 。

現在我們將 $[f$ 定義為dy。而 $[Delta y]$ 表示的是函數值的變化，顯然dy的真正含義是對這種變化的逼近。也就是說我們定義微分，就是想藉助微分這個工具來研究函數的變化趨勢。

從上面你可以明白兩件事，第一微分，即dy不是一個符號哦，是真的有具體值得，它的值為 $[f$ ，第二觀察下 $[f$ ，顯然是一個關於 $[Delta x]$ 的線性函數，因此微分其實在一點處，用一個線性函數的變化來逼近函數的變化，你懂的，線性的東西，其規律好掌握嘛。好了，這下你明白微分到底是什麼含義了吧。

那麼我們根據 $[dy = f$ 還可以推導出更多東西，比如令裡面的y為x，則可以得到 $[dx = 1*Delta x]$ ，即 $[dx = Delta x]$ 。那麼x的微分也就出來了。說白了，dy和dx表示的就是y和x的變化量，是一種具體的量，跟我們通常理解的變化差額沒什麼本質區別，只不過因為 $[Delta x]$ 趨近0這種極限的性質，讓他變得特殊一點而已。因此我們在數學上給他起個牛逼的代號，微分！以後用到微分的地方太多了，所以要起名字。

好，那麼根據我們的定義，導數和微分的關係自然而然就出來了，由 $[dy = f$ ，自然就得到 $[frac{{dy}}{{dx}} = f$ 。是不是覺得導數和微分的關係其實也沒有那麼神秘，這一切都只源於那些數學大家的定義而已。所謂定義，肯定是人為的了，沒什麼道理可講。

從上面微分的提出過程我們可以到，是沿著極限、導數、微分這個次序來架構的。因此可以說極限是導數和微分的基石。然後在歷史上，可不是這樣子的，甚至因此而引發了第二次數學危機呢！

這就得聯繫到開頭我提到的那個例子，它的做法到底是對的還是錯的呢？好像大多數同學都喜歡這麼做。其實是按照目前的微積分體系來看，是錯誤的。為什麼呢？這就要從微分的發展歷史來說了。

二、微分的發展歷史

我們現在所學的微分學一定是按照先極限、後導數、再微分這個順序來學。但歷史的發展可不講究順序性。

其實一開始極限還沒有被發明的時候，人們因為實際需要，就迫切的發明出了微分。這段歷史中的微積分學稱之為古典微積分，古典微積分中產生了無窮小量這個概念，直接導致了第二次數學危機的產生。後來直到200多年後極限被發明出來，基於極限體系的微積分才完美解決了這個問題，數學家們開始基於極限思想將導數和微分的概念都重新建立了一遍。因此我們今天學習的都是極限微積分。但是有意思的是，在教材的介紹中，卻總使用古典微積分的思想來使學生加強理解，最後的結果就是導致學生在學起來總覺得有糊裡糊塗。而且不能真正的體味極限思想的本質含義。

2.1 古典微分

先給大家做個簡單的介紹。

出於對函數變化趨勢的研究需要，數學家們迫切想要知道函數在某一點處的變化值是多少。如下圖：

於是數學家將函數值得變化量直接定義為dy，而將自變數x的變化量直接定義為dx。那麼只要dx足夠小，也就是說b點足夠趨近於a，函數的割線就足夠能夠描繪出函數在這個鄰域中的變化情況。

但是這還不夠，數學家還想定義切線。當時給出的定義是dx無限小，則割線就會無限與其切線重合。那麼小到一定程度（b與a重合），則割線自然就成為了切線。難道不是嗎？

可是這個定義漏洞百出。因為我們都知道兩點才能確定一條直線，如果b點都與a點重合了，那怎麼會把切線給確定出來呢？數學家解釋說，不重合，只是無限小。那麼問題又來了，不管多小，只要不重合，那dx總會表示一段距離，那割線總會與函數有兩個交點，有兩個交點又怎麼稱之為切線呢？你看一個切線的定義真的是讓數學家無所適從。其實本質是，dx作為一個無窮小量，讓數學家手足無措。無窮小到底是個什麼鬼？？奈何當時極限還沒有被發明，死活誰也說不清趨近於無窮小的dx是個什麼鬼。

但是微小的變化量還是迫切需要的，因此數學家趕鴨子上架。強迫定義dy為y的微分，dx為x的微分（微分即微小的變化量）。因此微分這個詞語在哪個時候已經被提出來了。然後把dy/dx定義為導數，也就是切線的斜率（即因變數微分與自變數微分之比為導數）。因此導數在那個時候又叫做微分的商。雖然定義了導數來表示斜率，通過點斜式解決了切線的求法。但是上面表述的關於切線的問題本質上並沒有得到解決。

再自然而然的在計算導數時，就採取了這種方式（比如求x平方的導數）：

也自然而然的產生了上圖中我紅色文字說明的問題。這問題就大了。有人開始抨擊，尤其是教會的那些人，質問道dx到底是什麼，一會為0，一會又不為0？？為什麼一個量會有兩種不同形態，而且還能完全沒道理的自由轉換？？於是第二次數學危機就這樣爆發了。無窮小量直接挑戰了數學的嚴謹性！沒有嚴謹性的數學，將什麼都不是！而在當時沒有一個人將無窮小量說的清楚。

總結一下，古典微分學的特點：

（1）dy和dx表示的是自變數和因變數的具體的變化。

（2）根據想像中的無窮小這個東西，定義了切線。

（3）然後將切線的斜率定義為導數。

可以看到古典微分學確實很直觀，如果不假思索，確實非常易於理解。這也是為什麼我們在教材中，在介紹什麼是導數，什麼是切線時，還是採用上面那張圖來介紹。但是古典微分學的缺陷是非常嚴重的，就是無窮小量像個炸彈一樣，隨時把這個體系炸的血肉模糊。如果我們能很好的解決無窮小量這個問題，那麼一切危機不都消除了嗎？遺憾的直到200年後，極限被數學家發明了出來，無窮小才得到完美的解決。

2.2 極限微分學

終於極限被發明了出來。相應的什麼是無窮小，也有了確切的、具體的定義。無窮小終於不再是幽靈了，被光明正大的納入數學體系中。

那麼基於極限是怎麼定義導數的，大家還有印象嗎？其實就是基於下面的這個式子：

$[f$

數學家學聰明了。先抽象的把什麼是導數定義出來（如上式），然後再去圖像上討論切線的含義。這樣子一切都完美了。也就是所謂切線，其實就是趨近於0時，割線的極限。所謂無窮小，就是極限為0的量。還有疑問嗎？？數學家應該是心裡十分痛快的，想大喊一句，還有誰（能挑戰我的權威）！！哈哈。那麼導數還是切線的斜率，這是沒有變的。因此極限的發明本質上是讓數學家們手上有了一套可以解釋無窮小的理論體系，是一件相當稱手的兵器。那麼微分是怎麼定義呢？就是按照我第一部分將的來定義的。也就是說我微分的定義，不再根據圖像上直觀來定義了。而是更加抽象了，加入了極限的思想。

其實這裡有一個十分十分重要的變化，那就微分的含義看來與之前古典微分學是一樣的，但是其本質已經天差地別了。如下：

相同的地方：都是表示微小變化的量。

不同的地方：

（1）古典微分是直接將變化的具體值定義成了微分，也就是直接就是 $[{ m{dy}} = Delta y]$ ，但是在極限微分學中是 $[{ m{dy}} approx Delta y]$ 。一個符號的變化，其實就是極限理論的運用。也就是極限微分學中，微分是變化的逼近，而不是變化本身。

（2）極限微分學與古典微分學真的有很多巧合。所以給你造成了很多錯覺。但是這一切真的只是巧合，是人為定義造成的。舉例如下：

比如古典微分學中把導數直接定義為 $[f$ ，這是簡單粗暴的，沒有任何理論體系的搭建的。而在極限微分學中，導數通過極限來定義的，但是巧合的是，我們再通過導數來定義微分後，竟然也能得到 $[f$ 。（具體過程參見第一部分）。這真的只是巧合，因此我們也繼續成導數就是微商。

另外我們在復函函數求導時，有 $[frac{{dy}}{{dx}} = frac{{dy}}{{dt}}frac{{dt}}{{dx}}]$ ，咋一看，貌似是將dt約分得到。其實不是這樣子的，寫成這種形式是經過嚴格的數學極限證明的（數學分析教材上證明過程），而恰巧竟然跟dt被約分這麼像。但是記憶的時候可以當做約分這麼來記憶。

我想這也是為什麼有時候感覺怪怪的，難以理解的原因吧。

三、開頭提到的問題

現在來解決開頭提到的問題。你大概知道了那種演算法是錯誤的了吧。那是按照古典微分學的演算法來算的（也就是dx在需要為0的時候就為0，不需要的時候就不為）。那麼按照極限微分學，怎麼算呢？相信學過高等數學的都會算。過程如下：

$[egin{array}{l} ({x^2})$

我就不算了，上面的結果為2x。

好了，最後做個總結：

（1）古典微分學和極限微分學最本質的區別就是，在前者的體系中，微分就是變化本身，而在後者中，微分是變化的逼近。

（2）微分是實實在在的一個量，是一個無窮小量（當變化趨近於0時）。它也是有自己的運演算法則的，參見高等數學教材。其實跟導數的規則差不多。

（3）我們現在所學的體系，是按照先極限、再通過極限定義導數、再通過導數定義微分這個次數來的。但是在歷史發展中，是先有的微分（即先定義出dy），然後根據需要（為了解決切線問題）定義出導數的。

（4）至於為什麼要把微分定義出來呢？相信如果你以後在數學的領域接觸到更高深的知識，就會明白為啥子非得把微分定義出來了。

（5）求微分是求微分，求導是求導。不要因為某些歷史造成的巧合就按照自己臆想的規則胡來（比如約分）。當想不明白的時候，多想想極限的思想。

四、導數和微分的區別

最後說一下導數和微分的區別：

導數:是指函數在某一點處變化的快慢,是一種變化率。

微分：是指函數在某一點處（趨近於無窮小）的變化量，是一種變化的量。

而對於多元函數而言，全微分就是指在各個自變數處的微分的和。也就是說總的變化量指各個分變化量的和，這樣子就比較容易理解了。比如二元函數，所以dz=zxdx+zydy。

導數和微分的關係類似於速度和路程。也就是說兩個變化量之間的比值為衡量變化快慢的變化率。比如速度就是路程的變化量和時間的變化量的比值。而對於一元導數就為y的變化量dy與x的變化量dx之間的比值。

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更多可以參看我的另一篇文章多元函數的偏導數、方嚮導數、梯度以及微分之間的關係思考

我推薦你上b站搜索一下3blue1brown,下面有微積分和線代的視頻，我想看了之後會有所收穫的

想了解源頭就要多了解下微積分的發展歷史，可以關注下 @馬同學

微分和導數的關係是什麼？兩者的幾何意義有什麼不同？為什麼要定義微分 ?

導數叫做微商，是微分除以一個對應的極小的變化量，積分呢就是把所有微分求和。最簡單的來說就這麼個關係

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謝邀.

同濟的教材總感覺怪怪的, 你可以看這幾個視頻來圖文並茂的理解這3個概念之間的關係.後面還有幾集,講解的很清楚的.

我猜你這個階段在下個學期應該會面對線性代數,而這個UP也有跟線代相關的視頻.都挺好的.

(??????) ?加油

我也湊個熱鬧吧。

微分體現的是微元法，而其中d(kx)=kdx體現的是求導函數，kdx=d(kx)體現的是求不定積分。

相比於計算某點的導數或某區間的定積分，使用微分來把函數搞來搞去更具有形式化的味道。在我學會微分後，我就很少再去畫積分符和求導那撇了。

P.S. 高階微分是個坑，很容易就會誤將du^2給約掉了，遇到高階導數的時候還是老老實實畫撇吧。

在人類科學科學歷史的長河中，首先出現的積分思想，古希臘的求圓面積可見一斑，但微分的思想一直到了牛頓時代才被重視，微分的本質就是change，這一點很重要。

瀉藥

我是文科狗除了高三挑燈夜戰過導數大題再未與之有過交集不好意思不好意思