數學是人類的發明，還是發現？
利用數學工具發現的規律呢，宇宙內外具有普遍性嗎？
即便把數學看作是人類去認識一些客觀事物規律的工具，但是很多工具也可以是發現的，又如何證明數學這種工具是被發明，不是被發現的呢。如果有外星高級智慧，他們想用一種工具來描述那些規律的時候，會發明另一種類似數學的東西，而不是人類數學么？還有如果他們去認識宇宙的規律，會和人類目前所認識的規律一樣么？ 人類用數學工具，進而了解到的那些規律具有普遍性么，在宇宙大爆炸以前也存在的么？這些規律僅局限於宇宙么？如果宇宙是有限的，「宇宙外」有空間嗎？如沒有， 在「宇宙外」 我們發現的數學規律還有意義嗎？
符號和公理系統可以看作是「發明」的，但裡面的邏輯和本質都是被「發現」的。───────────────────────────────為避免抖機靈嫌疑我說詳細點吧。且不論古代數學如何（事實上也不完善），至少現代數學的結構是先制定一套公理，然後根據這套公理通過完全符合邏輯的方式，推導出一系列定理，最終推出最重要的一條或幾條結論（如五次以上代數方程根式不可解），或者創建出一套數學體系（如非歐幾何）。從這個角度來說，公理就是人們「發明」的，但是從公理開始的推導，全都是自然而然的，沒有任何「人為」的因素（比如說我說它等於2它就等於2，或者上帝說它是圓的它就是圓的之類）。故這種推導，更接近於對自然規律的「發現」。現在問題來了，這套所謂的「公理系統」，也不是隨便定義的。不好的公理系統，根本推不出什麼有意義的結論。（我隨便舉個例子吧，定義「AAA」是一個空集或者包含10個「AAA」的集合，這樣除了「十叉樹」的結論以外也推不出什麼，比起二叉樹還沒發現有什麼更優良更美妙的性質）很多情況下，公理是根據我們需要的結論量身定製的。從這個角度來看，公理系統是否又是另一種意義上的「發現」呢？
人類發明了一套符號，然後又發明了這套符號的運演算法則（稱為公里）然後由此推導出一堆輔助定理及演算結果，從這個意義上說，這是發明的，就像20實際前期的語言分析，其實符號啊，規則啊，都無所謂。。。就算和現實完全沒聯繫也可以推算自如。但很多規律往往是對現實實踐中規律的高度抽象，換句話說，數學實際上在通過建模模擬這個世界，從這個意義上說，很多規律是發現的。。。
看是什麼樣的數學研究了。初級（以及早期）的數學研究主要算「發現」吧。好比我畫了好多三角形後「發現」它們的內角和都是 180 度。不是知乎上還有人要發明「負自然數」么 [0]，嚴格地說來，這種發明只要能定義完備並且自圓其說，總歸是可以成立的。只是它有何意義，以及能不能吸引他人來找它的意義，那又是另外一回事了。
高級的數學研究既不是發現也不是發明。簡單地想來，有點象被人拎著去摩天輪上轉很多圈兒，下來之後發現自己腳不必動，大地在繞著你轉。大家都知道，這就是慣性。做任何「高級」一點的研究，少說熟讀 N 本書，理解其中所有證明，然後趁那勁頭還在，捉摸找個自己能做得出來的題目來做，這也是做數學的慣性使然。至於找題的過程，勉強算是「發現」，可這絕對要依賴強大的數學基礎才可能成功——否則不是只能找到別人已經證過的，就是花好幾年功夫無功而返。這是為什麼博士生需要一位導師。整個找題的過程有點象 trial and error，不斷嘗試，即使功力很深，也頗有偶然性。
說兩個例子。
Andrew Wiles [1] 象他那樣十歲就迷上費馬大定理、等後來時機成熟就自招人馬花整七年時間去做證明，那是個特大號的例外。他那也是奇蹟般得到普林斯頓校方支持才有可能成功的。當時事情出來，多少數學系教授不禁長嘆，「即便我有這個魄力，我們系也不會同意的啊。」如果你去看他證明費馬定理的過程，就會明白那是基於強大的直覺，來自他個人的數學功底以及對自己直覺的堅信（again，這堅信也來自數學能力）。
這種研究稱不上是「發現」或者「發明」，證明的反正是老祖宗費馬的定理。可是有個很強大的 by-product：伴隨這個定理證明成形的 Modularity Theorem [2]，早已經成了這些年來數論上的熱門話題。如此說來，Modularity Theorem 倒算得上是一個「發明」了。
Paul Erd?s [3] 1985 年他被邀請去一個兒童夏令營講話，開頭就說道You may not believe in God, but you must belive in The Book.
「你可以不相信上帝，可你必須相信那本書。」
在 Erd?s 看來，所有的數學定理都來自「那本書」[4]，那是一本天書，裡面寫滿了所有數學定理最美妙的證明。所有數學家所能做的，不過是去那本書里找到自己想要的答案。從這個意義上來說，數學研究，至少在 Erd?s 那裡，是一個「發現」的過程。[0] http://www.zhihu.com/question/19616068
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Modularity_theorem[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_from_THE_BOOKDisclaimer: To tell the truth, this question is not for mathematicians to answer, for mathematicians can not have such an oversimplified vision of what mathematics is. I"m no mathematician, but I wouldn"t have written this answer if not for this problem to be answer in all sorts of ways that are far from being acceptable in my opinion. My answer is of course neither complete nor thorough. There"s just no way to be thorough. I simply was writing it down in an effort not to mislead the public views about what math is.早起的數學確實可以說是發現的過程，但現在比較前沿的數學，感覺更偏重於發明，比如多維空間最早就是數學提出的，當時也就是發明出來解決某些問題，到現在為止，物理上多維空間時候存在也是一個未解之謎。個人感覺，「發現」偏向於通過觀察然後總結出某種規律，而在現實生活中，像多維空間這種東西，尤其對數學家來說幾乎是不可觀察的。
對於一個理論來說，什麼是發明，什麼是發現呢？發明便是描述現象界的新理論，發現便是純理論推導的新結果。遵循上述定義。相對論是發明嗎？還是發現？說它是發現，說明這是本來就存在的這麼一個理論，人們只不過是把它發現了而已，這是胡扯，我們可以說發現了一個現象，比如說光線在引力下彎曲，因為這個現象本來就存在，但是我們才觀測到它，所以是發現，但是相對論確是發明，我們發明了一種語言來描述這個現象，相對論不是真理，只是個發明，但它比牛頓的經典力學更接近真理。再來看數學，舉個例子，非歐幾何，發明還是發現呢？這裡就遇到了問題，數學並不是直接描述自然界的，它不必和具體的數據發生聯繫，而可以只考慮自身的邏輯性，這樣以來，非歐幾何就是邏輯推導的必然的結果，從這個意義上講非歐幾何就是邏輯上的發現，它在皮亞諾公理的基礎之上是存在的，並不依賴於自然現象。然而數學卻不能脫離我們的自然而單獨的存在，我們在邏輯上的發明對於我們理解世界必須是要有所幫助的，這也就是說，在邏輯的大海中，並不是所有的發現都是有價值的，這種價值性恰恰就是它的發明性。所以說數學理論具有二相性，值得注意的是發明性，因為我們可以發現很多東西，其中大部分是垃圾，我曾聽說過有可以自動產生新定理的程序！呵呵，當一個人說他有一個數學上的發明的時候一定要小心檢查，這個東西是否有上面所述的價值性，若沒有則只是個發現而已，若有了則就是發明，所以說廣義相對論之前，黎曼幾何就是個發現，之後，便被人們認為是個偉大的發明，當然也是個偉大的發現。
前面靠直覺的部分可以說是發現，比如歐幾里得空間，後面不太直覺上明晰的就算是發明吧。發明和發現兩個詞的意思在自然科學領域的區別不是很大。
個人認為是發明多於發現，古代數學比如歐氏幾何之類的的確是人從自然界中發現的規律，但是現代數學基本上都是基於定義好的東西和公里建立的一套系統，這一套系統完全是數學家自己發明的，只是有些東西被發現適用於某些情況而已。比如羅氏幾何和黎氏幾何都是最開始數學家自己推著好玩，後來人才發現原來在微觀物體和宏觀物體上這兩者竟然比歐氏幾何好用。又比如數論也是開始數學家自己推著好玩的，後來人們發現用來弄密碼很有效啊，於是大家蜂擁而上……
首先，數學是邏輯符號推理的延伸。
整個數學系統本身就是簡單基礎規則推理的必然結果，而基礎規則來源於現實抽象，所以，數學規律本身是被發現的。其次，數學是一門語言。數學家發現新的規律，必須通過一定的方式表達出來，才能被其他人所理解。像現在通用的阿拉伯數字、運算符號以及這些數字的進位規則，符號使用規則就是數學世界通用語言文字。表達方式常常也是發現工具、思維工具，這些表達方式可能比具體的結論更重要，因為有了這些工具，數學結論都可以相對容易的得出。數學史的里程碑常常是數學符號系統的擴展，如分號、負號、根號、積分符號、複數單位i，表達能力提升也得益於認識提高。同一定理可以用不同方式表達，一些更符合數學特質的表達，會使一些隱含的結論，躍然紙上。這就是為什麼，印度發明的阿拉伯數字能通行世界。英國近代數學落後於大陸國家的原因之一，被人為是為維護牛頓在微積分學上的正統地位，而拒絕使用萊布尼茲發明的簡單易用的微積分符號。
所有這些重要的表達方式，都可以稱之為發明。發現。數學存在於柏拉圖的理念世界。
人類從未創造過任何東西，一切都是發現。發明。數學是人類研究自然的一個工具。是人類發明的，數學中的公理性質是自然界存在並且通過數學分析得到的。不是數學本身。數學不是數字，也不是定理，是藉助數字和定理進行推理分析的一種方式
下面僅代表我個人觀點：
先放上一張圖：
大概在我研究生一年級第一學期的時候學習了三門數學課，其中兩門是：理論偏微分和數值偏微分。在那一學期，我也讀到了一本對我影響極大的書，大神Richard Courant 的《What is mathematics》,我覺得，作為一個數學專業的學生，或者說對數學有興趣的朋友，都應該讀一下這本神作，他從數學的觀點看世界，簡明的闡述了數學的基本哲學思想。作為一個國內土本出來的學生，以前的學習生活總是以考試為主，也就是說，會做題，理解概念就行，我從未在哲學概念上想到去解釋它。
直到我真正開始去了解顛覆我整個世界觀的一個概念：傅里葉變換1 從傅里葉變換到宇宙的規則如果看了此文你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧【完整版】當時讀了韓昊大神的一篇文章，茅塞頓開，推薦大家讀一下這篇好文章，我在後來做TA presentation的時候也引用了部分內容，再次表示感謝。fourier transform是如此神奇，可以實現時域到頻域的自由切換，任何周期函數都可以用它分解成三角級數的組合，縱然不是周期，我們視作為周期無限大的函數，照樣可以自如的運用它。以前的我僅僅是淺淺的記住了他的形式和一定的運算規則，卻沒有深究過為什麼這個方法會存在，毫不誇張的講，當時我真的陷入了哲學的深思。a 數學的它是本身存在的規則還是我們定義的概念？我想舉兩個例子：
1）：這個世界上所有人從事的活動，都在規則下進行，例如，1+1=2，你是否有想過為什麼過了一年你長了一歲？而不是其他計數？因為這是個最基本的規則，但是1+1為什麼等於2，這並不需要我們去深究，因為我們發現，在一定範圍內，這就是自然地規則。時間，年齡，建築的規劃等等，加減乘除，都是在這個世界的規則。很明顯這是這個世界本就存在的法則。2）理論上，你拋一枚硬幣一次，它出現正面的概率是多少？ 但在現實生活中，你已經拋了一百次硬幣，它出現了100次正面，那請問你拋第一百零一次出現正面概率是多少？這兩個概率是不同的。這其中規則又是什麼？或者請大家看這個視頻：https://www.youtube.com/watch?v=_O14YFKqfvA這是吉他演奏的時候弦的波動，這就是不同組不同周期，頻率的三角函數組成的顯示。而這個整體，就能看作一個傅里葉級數。這其中又有什麼規則存在呢，為什麼能這個樣子？是怎樣的情況能讓傅里葉想出這個驚世駭俗的假設？b 神的作品：周期
在數學中，傅里葉變換是對函數處理的一種方法。我們來看如下幾個現象1 sin的函數在笛卡爾坐標系是很美的一組周期震蕩波2 你將一顆石頭投入水中，產生的漣漪的傳播如果不考慮阻力，那他也是一組周期的波3 人從嬰兒到壯年，再到死亡，生老病死，生物代代相傳，這是不是一種周期4 春夏秋冬，星辰變換，日升日落，地球自轉，也是周期。所以，我們所處的自然界，似乎也是有周期的。為什麼？在我的眼裡，我們創造周期函數，進行需要的運算。那是否有一個神，他創造了這個自然界，在他的眼裡，這個宇宙就是他所創造的周期函數，我們都是他的一個運算元，限定在這個函數的運算規則里，例如，壽命有限，四季有交替，萬物有輪迴.....那段時間我不斷問自己一個問題：數學是已經存在的規則嗎？既然他已經存在，我們發現又有什麼用，我們永遠跳不出這個規則。那幾夜，輾轉難眠，我以前是個無神論者，那一刻，我動搖了。
我帶著我的問題去見了學院一位老教授，I，I教授一家三代全是畢業於courant的數學教授，父親更是Numerical Analysis 的大牛，courant的創院教授，我希望他能幫我解決我的問題，
我問他：你覺得這個世界上有神嗎。I：你說呢。我：我以前不相信，但我現在覺得有，但我還是有疑問。I：你的疑問是不是，這個神掌握了規則，就算有神，那又是誰在控制這個神呢？我頓時語塞，他完全猜中了我的想法。教授和我說了他的人生經歷：他說，他在courant長大，也理所當然的學了數學，每個年輕的數學學生都曾經迷惘過關於數學，關於哲學的東西，我們老是諷刺牛頓這樣的大牛到後半生全心投入到神學中，卻從未曾想過，這樣的科學家做這件事是為什麼？牛頓難道沒我們聰明嗎，可笑得很。I教授順利的畢業，拿到tenure，帶了一屆又一屆的學生，然後某一年，她的太太得了癌症，從那時起他就專心做醫療診斷方面的數學研究，很難想像他上課繪聲繪色給我們講PDE癌症應用模型的時候背後卻有這樣的故事。記得他弟弟有腦瘤，他每天給我們上完課就是跟ICU聯繫，早上出門經常遲到五分鐘給我們跟我們點頭哈腰的道歉因為要先照看他的弟弟。當然，他的弟弟也是一位數學教授。他說：從那時起，他才知道，人力有時盡。但我們能做的是什麼？
無論你是否相信神，都沒關係，不要產生懷疑，如果你覺得有神掌握這個世界的規則，那就心安理得的接受吧，不要放棄，何不想著既然規則都存在，就讓我們發現更多的規則，讓人們更好的用這些發現的方法生活呢？反之，如果你相信是人在不斷創造規則，改變世界，那就更好了，繼續做下去，讓自己永遠不失去求真的本心。這一刻我猶如醍醐灌頂：人們只是缺乏一個支撐它努力的信念。Mozart和Beethoven的作品有高度的數學數學計算規律，花瓣的花朵有神器的分配法則，為什麼上述提到的地球相對金星的軌跡如此像蓮花，而蓮花早在千年之前就被佛教視為「佛」的象徵。為什麼小小一個e，他卻是自然增長的最大速率。
宗教，音樂，數學，生物，這其中又存在著怎樣千絲萬縷的關係？在我心裡：
數學是一種規則的體現，每種群體對他們所存在的空間是有理解的方法的，正如人們用不同的語言傳遞出一樣的意思，情感。音樂家用音符傳遞信息，花朵用花粉吸引昆蟲，傳宗接代。而我們，用一系列規範的數字，嚴謹的邏輯鏈交流著這個世界的規則，表達著對這個世界的感受，他是一種語言，語言可以被創造，但是他表達的意思，卻是客觀存在的，存在於這個自然界，或者存在於你的心裡。-----------------------------------------------------------------------------------------------最後，數學是如此之美：一個簡單地波動方程，卻能描繪出整個物體運動傳播的軌跡，縱然萬般變化，卻也逃不出這個方程指定的規則。現實中我們無法實現的無窮，Delta Function，群，域等等抽象的概念，這都在數學中存在，並且在我們的手下變化自如。有無數的方程我們無法給出精確解，卻能用創造的方法一步步給出數值解。這裡沒有社會的萬般複雜，勾心鬥角，有的只是嚴謹的邏輯鏈，美麗的公式。寫到這裡的時候，背景的Beethoven symphony No.9 正好進入尾聲，好了明天的due交不上就真的要撲街了，最後放上一張數值pde的解，當出現這麼完美的圖片時，二三十個小時的debug似乎都值得。
這是一個很有意思的討論。我記得在TED上看過一個演講：Is math discovered or invented? - Jeff Dekofsky
作為一個數學系的學生，我認為數學既有發現成分也有發明成分。
從公理上談，比如三角形兩邊之和大於第三邊，這可以稱之為是被發現的公理；而公理化集合論、概率論等被公理化了的理論體系，裡面的基礎公理很多都是數學家的發明，目前還沒有辦法通過其他角度的現實或理論證明。
從方法上談，現在在計算機領域應用很廣的傅里葉分析、小波分析等內容我認為就是偉大的數學家們揮灑聰明才智的結晶了。
最後胡吹一點，我認為數學是被人類發明來表示我們發現的真理以及我們發明的定律的科學。
資歷尚淺只吃了20年的米飯，還請多多評點。我傾向於同意李映真的觀點。而且更傾向於發明的成分佔得多一些，數學是人類發明來描述自然規律的一門語言。既然是一門語言，那我們就可以將它等價於地球上的其他語言，比如英語、漢語、日語，不同的國家有不同的語言，這些語言用來表達思想、傳遞情感等，但是因為地域的不同，卻進化出了不同的語言形式。由此推及，對自然界進行描述的語言（數學）是否也有因地域（星球）不同而進化成不同的形式呢？我感覺應該是很可能的。如果真是這樣，哪種數學語言更簡潔、更真實地描述了自然界呢？進一步猜測，正是因為地球上當前這種數學語言的發明，使得我們以當前這樣的形式發展了科學技術，但是也導致了某些未知自然界規律難以認識。
數學規律是客觀存在的，只能是發現。而表現這些規律的形式，則是人類發明的。
數學是數學家，或者更廣義的說是理工類科學家寫的「文章」。這與文學家寫文章或者音樂家寫的文章（樂曲）異曲同工，都是對世界的描述（注意：這裡是描述或者闡釋）而已，角度和方法不同。因為世界不是我們造的（誰造的我們暫不討論），所以我們很難確定性的了解造物主是按照什麼規則創造的。但是這並不表明我們沒法對這個世界進行認識和理解，所以我們創造了各種解釋世界的理論，而且不斷補充發展，而數學就是其中強有力的一支。從這種角度上說，貌似數學是一種「創造」。但是，試想我們之所以能創造處這些理論來這是由於我們的構造（大腦構造，各種進化理論等等）決定的，而這些決定我們創造這些解釋世界理論的關鍵因素確實造物主給我們的，所以，數學等也只是我們是在發現自身的能力而已。一言概之－－文章本天成，妙手偶得之。
高中時期寫的小論文，拿了挺好看的分數，現在看看還是挺不錯的。＊現在如果讓我重寫一篇的話應該還是這個觀點，只不過「發現」部分用的例子不是數學系的人估計要看不懂了。lol～
Mathematics: Discovered? Invented?
「發現」指人們通過各種手段而獲得對於客觀存在的事物更多認知的過程；而「發明」指人們創造新事物的過程。本文將考慮數學的不同分支，並從數學的歷史發展方面討論數學知識的發現和發明。
數學知識作為客觀存在的真理，很大程度上是被發現的，尤其是在我們所能夠感知的世界裡。最明顯的例子是早期歐式幾何中的各種概念和理論。如：生活經驗告訴我們：「兩點之間直線段最短」。基於歐式幾何的公理所嚴密推出的定理，如「三角形內角和等於180度」，都可被認為是發現的，這是因為我們所處在的空間符合歐式幾何的公理，並且數學推理和語言具有高度的精確性和嚴密性，所以這些數學知識也本身就已經真實存在。
但從另一方面看，數學所採取的某些標準，或稱為前提假設，卻是人類發明的。在代數領域，大家都普遍採取十進位而不是其它進位；而一些運算規則和符號，也都是人類發明的，比如階乘，微積分，對數和無窮大。自然界中，這些高度抽象的概念不以實體形式而存在，人們起初是為了計算方便，表示某些概念或做研究而發明這些規則和符號，但是一旦這些規則和符號已經被人為規定下來（發明），那麼其後針對這些運算規則的理論都是被發現的，因為這些理論都經過了反覆推理論證，是客觀存在的。假設人們還規定了其它運算規則，那必然會有與那種規則相關的理論被發現，例如，我們曾經嘗試用不同的符號表示數字，並使用不同的進位和計演算法則，隨後發現這樣也能建立起一套自己的計算體系，而其中也有基於這套體系的規律（理論）客觀存在（能夠被發現）。因此我們仍然可以說這些數學理論是發現的，因為數的概念本身存在，只是有人事先發明了一些規則和符號。諸如此類的理論還有概率論等。
在某些高等數學領域，數學知識也可被認為很大程度上是發明的。我們處在一個三維空間，我們也都可以想像二維和一維空間，但有數學理論根據這三種維度推出「多維空間」的概念，並通過演繹推理建立了一套理論。雖然推理這種認知方法本身是真實精確的，但身處三維空間，我們無法真實地看到多維空間的事物，只能通過假想和推理想像多維空間，認識數學知識。對我們來說，多維空間是不真實的（至少對於人類的感知來說是不真實的），因此可以認為這套理論是基於已有的認知和一些假設進行推理而發明的。
縱觀數學的歷史，發明和發現總是並存。早期的數學理論多數是依據人們對世界的認識而發現，因為那時數學本身就是源於生活需要，發現是必然的。之後，發明和發現相輔相成。人們總是為了某些目的而發明，比如數系的擴張通常是因為需要創造出一類新的數去實行生活中所需要的計算，而正是這些發明促成了新理論的發現，並且發現佔了大多數比重。當數學繼續發展，到達一個新的高度時，數學在某些新生領域越來越趨向於發明，因為這些新的領域都是人們假想出，卻越來越難在現實世界中找到它們的原型。
發明的過程。世界上並不存在數學。數學是一種解釋世界的手段和工具
一樓說的很中肯，初期當然是發現的過程~當數學發展到一定階段的時候，基本上就是一個發明的過程了~比如說拓撲學還有近世代數，裡面的很多東西都是非常抽象的，如果硬生生的說是發現過程好像不是很合理吧~就比如一個簡單的例子：Klein瓶；這是一個在四維空間中才能看到的東西~畫在三維空間里是非常扭曲的~有誰能在日常的三維空間里發現四維空間的東西？再者，自然界也不可能存在複數吧~如果這也算是發現，那麼複變函數理論就不能定義成發現了把？
有一點倒是確信無疑：數學的表達方式是人類發明的。
一個很重要的事實是：數學不是為了真實地描述自然而存續的(數學的原始版本或許是)。
數學不是科學，數學理論的正確性是不需要由實驗檢驗的。——理查德·P·費曼(又譯費恩曼)
有時候，當科學家們構建一個模型，也許會發現數學家的倉庫里正好有所需的工具，於是便予以應用。但更多時候，很多數學理論根本找不到可對應於現實的地方。有時科學家們沒有找到合適的工具，甚至要科學家們自己去創造——比如牛頓為了處理星體軌道創立微積分(萊布尼茨創立微積分好像不是為了科學目的)。
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