如何寫出電子的雙縫干涉的薛定諤方程？

01-06

很多書都拿電子的雙縫衍射開始量子力學的波粒二相性，但學完了整本量子力學，但我還是寫不出電子的雙縫衍射的薛定諤方程。哎，請問有大牛可以指點一下嗎？電子的雙縫衍射下的勢場到底發生了什麼，才造成了電子那樣的分布。感激不敬。

謝邀。

其實，相應的Schrodinger方程就是自由電子的方程。考慮二維的程況：

$-frac{hbar^2}{2m} left(frac{partial^2}{partial x^2} + frac{partial^2}{partial y^2} ight) psi = ihbar frac{partial psi}{partial t}$

但邊界條件有別：（不考慮衍射影響）

$psi(0, y) = delta(y-d) e^{-frac{iEt}{hbar}} + delta(y+d) e^{-frac{iEt}{hbar}}$

我們知道解的形式是這樣子：

$psi(x,y) = int dp_y cdot e^{frac{i}{hbar} (p_x x+p_y y)} e^{-frac{i E t}{hbar}} alpha(p_y)$

把這形式代入Schrodinger方程，再利用我們知道的Dirac delta函數的其中一種積分表達式（ $delta ( ypm d) = frac{1}{2pihbar} int dp_y cdot e^{frac{i p_y}{hbar} (y pm d)}$ ），讀者可自行驗算，可得

$alpha(p_y) = frac{1}{2 pi hbar} (e^{frac{i p_y d}{hbar}}+e^{ -frac{i p_y d}{hbar}})$

那柀上的干涉的亮度可通過計算 $|psi(L, y)|^2$ 而得，而且假設 $2mE gg p_y^2$ ，可知

$|psi(L, y)|^2 propto 1+cos left(frac{2dy}{frac{hbar L}{sqrt{2mE}}} ight)$

這就是一般干涉紋的數學表達式，波長是

$lambda = frac{2pi hbar}{sqrt{2mE}}$

可比較de Broglie波長。

當然，這問題用路徑積分（path integral）算會清楚很多。

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有人請求我用路徑積分做一次，不做繁轉簡了。

如果算一個自由粒子的路徑積分，可算

$langle x=L, y | x=0, y=pm d angle = int Dx(t) int Dy(t) exp left( frac{i}{hbar} int_0^t dt left[ frac{m}{2} left(frac{partial x}{partial t} ight)^2 + frac{m}{2} left(frac{partial y}{partial t} ight)^2 ight] ight)$

這個有解的，都是些高斯積分，但很繁冗，但很容易在數學表找到；或用saddle-point approximation，而saddle-point正好就是經典解，但這經典解已經足夠算這個。無論如何，這路徑積分是

$langle x=L, y | x=0, y=pm d angle = left( frac{m}{2pi i hbar t} ight) exp left{ frac{i m}{2 hbar t} [L^2+(y mp d)^2] ight}$

其中 $t = sqrt{frac{L^2+d^2}{2E/m}}$ ，就是電子從縫到柀上的時間。其中， $L gg d$ ，那 $frac{m}{hbar t} approx sqrt{frac{2 m E}{hbar^2 L^2}}$

兩個 particle in the box 疊在一起咯