我和同學開黑打dota,規定必須連勝兩場才能睡覺，那麼今晚我們睡前場次的期望值是多少呢？

01-06

假設我們每場遊戲的獲勝幾率是p。

這是個馬爾可夫過程，狀態圖如下：

設從初始態出發，平均需要打 $T_0$ 局才能睡覺；

從剛贏一場的狀態出發，平均需要打 $T_1$ 局才能睡覺。

則有

$T_0 = 1 + pT_1 + (1-p)T_0$

$T_1 = 1 + (1-p)T_0$ 解得 $T_0 = frac{1+p}{p^2}$ 。

reference: Introduction to Probability Models, Tenth Edition by Sheldon Ross

( Another smart Sheldon

)

根據我們的經驗，包宿開黑贏一把就走一般到了早上六點了

我一般和朋友開黑都說連輸兩把就回家#論立正確flag的重要性#

我覺得吧，你們的期望是今晚不想睡覺

我同學經常說「贏一把就睡」，然後第二天起床我發現他還沒睡(●—●)

我覺得你們是立了個flag，

――收了這波兵就跳了！頃刻對面抓，卒

――打完這組野3800！同上

――贏一局就睡覺！。。。。。。

更何況是兩局

網吧五連座，從來沒贏過。

這不是我們宿舍經常說的話么

宿舍三連坐，時間一般為晚上八點到九點左右，三人目標贏一把睡覺！這時候，一般得到不玩的人回答是，贏了記著叫我吃早點啊

我的名字是贏一把就睡覺不過分吧？！

你們還想贏兩把？！過分了啊！

可以用鞅(martingale)直接計算出期望值是 $frac{1}{p^2}+frac{1}{p}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

沒有任何推導？的確是沒有，這類題用martingale無需任何計算，即便是更複雜的終止模式，比如「贏贏輸輸贏贏」，也可以直接得到結果： $frac{1}{p^4(1-p)^2}+frac{1}{p^2}+frac{1}{p}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

用非專業的方式簡單分析下martingale的原理：

如果遊戲終止模式為「贏」，期望值是 $frac{1}{p}$
如果終止模式是「輸贏」，期望值是 $frac{1}{p(1-p)}$
如果終止模式是「贏贏」，期望值是 $frac{1}{p^2}+frac{1}{p}$ 。為什麼不是 $frac{1}{p^2}$ ？因為如果不終止遊戲，在下一場結束後終止的概率不是 $frac{1}{p^2}$ 而是 $frac{1}{p}$ ，也就是說「贏贏」模式中的後一個「贏」可以被累積到之後的序列中（如果遊戲繼續的話）。換種方式理解，如果你在賭場賭博，每場結果為「贏」的概率為 $p$ ，連贏兩場就算獲勝。你在某個時間點贏了兩場後，莊家付給你的不應該只是 $frac{1}{p^2}$ ，因為在這個時刻你再玩一場後獲勝的條件概率增大了。
如果終止模式是「贏贏輸輸贏贏」，我們用類似的推理查看獲勝序列的重疊情況（即對後繼序列條件概率的影響）可以看到，除了 $frac{1}{p^4(1-p)^2}$ 外，最後兩個「贏」均為終止模式的前綴，分別應該獲得 $frac{1}{p^2}$ 和 $frac{1}{p}$ 的回報，所以總回報（即所需步數的期望值）為 $frac{1}{p^4(1-p)^2}+frac{1}{p^2}+frac{1}{p}$