為什麼平值期權的 delta 值會在正負 0.5 附近？

01-06

如果看漲期權執行價格是10元，此時股票價格也是10元，那麼股票價格漲1元，看漲期權無套利價格不也應該漲1元嗎？為什麼delta會變成0.5

目前所有答案所說的平值期權都指ATMS，即執行價K與標的資產當前價格相同的期權。對於這種情形，@Yupeng 已經把大致意思都說清了，這裡再進行一些補充，希望更加準確一點。

以European Call Option為例，可以證明： ATMS Call Option的Delta接近於0.5，且與ATMS Call Option相比，ATMF Call Option的Delta更接近於0.5。

$Delta_{call}=N(d_1)=Phi iggl(dfrac{log (frac{S_0}{K})+(r+frac{1}{2}sigma^2)(T-t)}{sigma sqrt{T-t}}iggr)$

因此，

對於ATMS Call Option，即 $S_0=K$ ，

$Delta^{ATMS}_{call}=Phi iggl(dfrac{(r+frac{1}{2}sigma^2)(T-t)}{sigma sqrt{T-t}}iggr)$

而對於ATMF Call Option，即 $K=S_0e^{-r(T-t)}$ ,

$Delta^{ATMF}_{call}=Phi iggl(dfrac{sigmasqrt{T-t}}{2}iggr)$

對於ATMF Call Option，Delta中與無風險利率相關的項進一步被消除。

對上面的等式在0處進行Taylor展開，

$Delta^{ATMF}_{call}=Phi iggl(dfrac{sigmasqrt{T-t}}{2}iggr)approx Phi(0)+Phi$

接近於0.5。

看跌期權的證明也是類似，不再贅述。

vanilla call的delta是N(d1)，put是-N(-d1)。當S=K時就是ATM，d1=(r/vol + 0.5vol) sqrt(T)。很明顯不為0。但是r很小，期限也不長的時候，0.5是個還湊合的估計值。但往往OTM很多用0.5 delta的，因為log S/K會是負值使得和這個正值平衡下，更靠近50% delta。

舉個例子，3個月的期權，r為0.02，vol是40%，d1就是0.125，delta也就是0.55左右，很明顯不是0.5。

瀉藥，首先指出問題里的一個嚴重錯誤：

「此時股票價格也是10元，那麼股票價格漲1元，看漲期權無套利價格不也應該漲1元嗎」
delta= 1 是 s趨於無窮的一個邊界條件，意味著這個是delta的極限，永遠不可能取到的

慣例，這種問題邀我我都會給出兩個答案，接地氣的和不接地氣的

接地氣的：

N(d1)是啥，是期權對股票價格變動的敏感度，這個敏感度在lognormal的假設下可以被一個對數正態分布所表示
股票服從對數正態的言下之意就是收益服從正態（離散每一小步可以粗略視為上下均等的二項）

形象的說就是這個圖：

這個箭頭在到期日只想的是一個價格縱軸,如果K = S 那麼假如 r很小，收益上下的概率在極限二叉樹里每步是均等的（令 p上 =p下）

（算上小的r就會稍稍偏上，這裡以r的貼現過程做了一個平移測度變換，意思就是每個一一對應的概率不變，總和還是1，但是處處值往上平移一點）所以這個delta 所表達的概率接近 50%，也就是delta 約等於0.5

不接地氣的：

$N(d1) = Phi [frac{log(frac{S}{K} )+ (r+frac{1}{2}sigma^2)T }{sigma sqrt{T}} ] sim N(0,1)$
如果S=K ,log(S/K) 就是 0 ，剩下那項很小的，所以 d1 接近 0 ， N(d1) 接近0.5 （正態累積分布函數的0點）

不完全等於0就是因為這項 $(r+frac{1}{2}sigma^2)$ ，這個r代表我們選定的測度（也就是買完期權把錢存哪），你可以作死設計一個測度讓這個等於0 ，然後N(d1)就徹底等於 0.5了

很多教科書都簡單粗暴地給出「當ATM時，call的delta=0.5」這一結論，有一些稍微嚴謹的則會指出「delta近似於0.5」，但為什麼「ATM時，call的delta=0.5？」我想了好久才稍微明白一點。

題主應該對delta的基本概念有所了解，所以我們在此根據delta的定義，對BSM模型進行求導，在不考慮分紅的情況下（分紅情況也只需要在N(d1)前面乘以一個貼現的係數），delta=N(d1)。

首先引用Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎麼得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？ - 金融這個問題中姚岑卓答案中的一句話：

「N(d1)是在風險中性測度下，按股價加權得到的期權被執行的可能性」。

有一個匿名用戶回答股票上漲的概率是0.5不是1，這句話倒是不假。但很明顯他只考慮了「被執行的可能性」，而忽略了「按股價加權」以及「風險中性測度下」這兩個很關鍵的字眼。

根據直覺，delta=0.5似乎是很自然的事情，但有一個小細節是不能忽略的，基於BSM的假設，標的資產價格S分布存在非對稱性，我們以K為分界點劃分兩個區域——一個是0到執行價格K，另一個是K到正無窮。這個非對稱性是造成ATM Call的delta（也就是N(d1)）始終存在bias（大於0.5）的根本原因之一(非對稱的股價加權導致ATM時執行概率不等於0.5)

另外，收益率r同樣會通過影響遠期價格進而導致delta&>0.5這個bias存在，具體怎麼影響容我再想想。:)

剛下班回到家，看了一天的希臘值是在沒勁了，歇到周末來寫，=）

1. 由於期權平價公式c-p=se^-qt-ke^rt，兩邊取對s一階導後容易理解，股票每漲1元，long call+sell put的position才漲1元（當q等於0，即無股息）。

2.atm有很多定義，atms不多說了，atmf時call value等於put value，還有atmd(DNS, delta neutral straddle)這時候的call delta等於put delta。簡單情況當q等於0時，三種定義下只有atmd的delta是0.5，另外兩種都是接近。三種atm分別對應K=S，K=F，K=Fe^(vol^2*t/2)。

這個取決於你怎麼定義 ATM convention 和 delta convention 。具體可以看 Iain Clark 的 FX option 那本書的第三章。

股票上漲的概率是0.5不是1啊同學。

大家都是從公式的角度來回答，還是我一再強調的觀點，期權是用來交易的產品，不是數學公式，數學公式只能描述現象，不能解釋原因。另外，Delta這一概念的出現時間，要比B-S定價模型、二叉樹定價模型等現在廣泛應用的數學模型更早。（不信的話，翻翻看看你們講期權定價的書，有哪本書里是先講定價公式，然後從定價公式推導出希臘值的，而且希臘值的定義也完全是脫離定價公式的。）因此，凡是死摳數學公式的，都是耍流氓。

要找原因，我們就需要從交易本身來找。

有過期權交易經驗的人都知道，Delta除了數學上的幾種解釋外，對於交易員來說，Delta的定義是期權到期時成為實值的可能性（儘管數學定義上不夠精確）。

交易員對Delta的定義卻幫助我們洞悉時間是如何影響期權Delta的。距離期權到期時間越長，越不能確定該期權在到期時究竟是價內、價外還是平價期權。從另一方面看，無論價內期權還是價外期權的Delta，都反映了他們到期狀態的不確定性，期權的到期時間越長，其Delta越趨向於0.5。事實上，一個0.5的Delta代表了最大限度的不確定性，和丟硬幣一個道理。

假設接下來股票價格變動範圍在波動範圍內的情況下，平值期權到期時，對於買方來說，要麼成為虛值，一文不值，要麼成為實值，能夠行權；對於賣方來說，要麼贏到權利金，要麼履行行權義務。即，各佔50%的概率，所以平值期權的Delta在0.5附近。

距離到期日越遠，期權Delta越趨近於0.5。特別地，在到期當日，Delta相當確定，是生存或者死亡，要麼是1，要麼是0；要麼是股票，要麼一無所有。

股票跌一元，期權價格不變。漲跌總共變兩元，期權價格變一元，是0.5不。而且估計導數，得找個可導的近似函數呀，找個不可導的函數，也得取兩邊估計嘛。

因為你不能認為他百分之百漲，否則就會出現套利現象，在這裡假設的是漲和跌的概率都是百分之五十，所以期望也要乘以0.5。