範數空間，度量空間，內積空間有什麼關係？

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對拓撲向量空間來說，它是一個度規空間當且僅當其有可數局部拓撲基（見Rudin的泛函分析，對一般拓撲空間來說的充要條件還要多一個，這就是NS度量化定理，見Munkres的拓撲學）。

一個簡單的例子，如果這個拓撲向量空間是局部有界的，那它有可數局部基。

拓撲向量空間是一個范賦空間當且僅當它是局部有界的和局部凸的，那麼由上面的例子知道，因為范賦空間都是局部有界的，它自然是可度量化的。

一個內積空間必然是有範數的，只要把對自己的內積當做範數即可，反過來，一個范賦空間如果範數滿足平行四邊形法則，就能夠定義內積。

總結下來，關係就是

內積空間有範數所以是范賦空間，范賦空間局部有界因此有局部基所以可度量化。

度量空間如果局部有界且局部凸則可成為范賦空間，范賦空間如果滿足平行四邊形法則則為內積空間。

總體來說都是線性空間加結構，加範數就是賦范線性空間，加度量就是度量空間，加內積就是內積空間。實際上，內積可以誘導範數，範數可以誘導度量，所以內積是最強的，給一個線性空間賦內積就可以自動誘導出自然範數和自然度量

包含關係：度量空間定義了距離（度量空間有長度），賦范空間定義了範數（範數比距離多了個數乘可提取的限制），內積空間定義了內積（內積空間有角度和長度）。距離弱於範數，弱於內積。

幾種性質的對比