為什麼期權這類定價採取風險中性假設？

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作為前衍生品定價Quant，現波動率套利交易員，我試著回答一下這個問題。

衍生品定價中的風險中性不是假設，而是推論。你看一下97年諾貝爾經濟學獎對這個成果的描述就知道了。

Black Fischer真正的貢獻是創造了（或者說是把已有的做法上升到了理論高度）用原生產品複製衍生產品的理念。在這個假設下才會有了期權的定價模型。

而後來的金融學家們把複製組合的概念數學化，發現如果引入測度論中測度變換的概念後，就能讓很多衍生品定價公式不用從頭推導，只用在測度變換後的概率空間里（所謂的風險中性測度空間）求期望值就能算出來了。所以大家就都在這個概率空間里玩公式了。

後來的半瓶子醋教授們都忘記（或者根本沒有實踐經驗）最初的假設和推導過程，而直接將風險中性當成了假設了。這是完全完全沒有理解衍生品定價原理的原因。

-----------再進一步解釋一下我的觀點-----------

我們先回到問題本身，先明確一下問題里的風險中性。風險中性是指投資者不關心風險，當資產的期望損益以無風險利率進行折現時，他們對風險資產和無風險資產的偏好是一樣的。真實的投資者是風險中性的嗎？當然不是，不然投資策略為什麼還要比較Sharpe Ratio，還擔心什麼最大回撤。那麼，我們對期權定價模型真的用到這個假設了嗎？沒有，如果用這麼離譜的假設，那推導出來的公式還有啥用。

無論用最初的複製組合理念，求解PDE，還是後來通過測度變化，通過SDE求期望值，都沒有用到這個假設。

用複製組合的概念不用說了，就從來沒提過風險中性的概念。而且做quant的解個PDE現在還算啥事啊。無論解析解還是數值解，物理學早研究透了，拿過來用就行了。再者說，在對付複雜的利率衍生產品(要在一個模型里用到不同的測度空間）之前，也真用不到啥測度變化的技巧，PDE方法輕鬆解決主流問題。

即使後來引入測度變化的概念，其邏輯是這樣的：我們應該在真實世界求衍生品期望值計算其價格，但是沒有足夠的信息求出這個期望值。但是如果引入數學上的測度變換，我們可以在另外一個risk neutral測度空間求出期望值，而根據測度論，這個期望值跟真實世界的期望值有一個關係，從而能夠求得真實世界的期望值。後來應用的時候估計是為了省事，很多人就省略了測度變化的步驟，直接假設有個所謂的風險中性世界。一定要澄清的是，根本沒有什麼風險中性世界，沒有風險中性的人，這是數學求解的一個中間技巧，根本不是模型的假設。

假設是什麼，假設是說如果沒有這條假設，那麼理論就不成立了。那如果沒有風險中性假設的話，還能推導出Black Scholes formula嗎？當然可以，直接PDE就行。PDE方法和SDE方法其實是一回事，參見Feynman-Kac Theorem。既然PDE方法不用風險中性假設，SDE方法何須風險中性假設？所以風險中性不過是為了數學求解方便，而人為設置的一個數學概念，而不是模型的假設。茴香豆的茴字有四種寫法，但是，四種寫法都是指的同一種東西，不能說我只知道一種寫法，那茴香豆就不是茴香豆了。

所以希望教授們，以及將要成為教授的學生們，千萬別為了省事不去講整個來龍去脈，會給沒有完整理論體系的學生造成極大的誤解。沒有理性的人是風險中性的，風險中性在真實世界中簡直錯得離譜。如果學生把風險中性當成Black Scholes的假設，誰還敢用這個模型？他們還有興趣研究這個模型的真諦嗎？

Black Scholes模型沒有用這麼離譜的假設，所以其原理是相對靠譜的，而且真的很實用。在對付市場中流動性最好、交易量最大的普通期權的時候，修正後的Black Scholes模型簡直完滅各種複雜模型。無論你是Stochastic Vol也好，Jump也好，Local Vol也好，還是他們的各種雜交組合。不信你拿他們做個套利，跟我用Black Scholes做的套利比一下收益和風險。

更有甚者，很多象牙塔里的教授開始在這些數學概念里玩high了，已經不解決實際問題了，純粹玩各種數字遊戲，竟然把擬合波動率曲面的準確度當成模型優劣的標準。這完全是對模型的作用一知半解的表現。模型的目的是動態管理複製組合，從而更好的複製衍生品的，所以在時間推移過程中參數的穩定性遠比期初對價格的擬合要重要的多。玩了那麼多數學概念後不能更好的對衝風險，你來幹嘛的啊？

另外，說一下數學的問題。我發現很多人在研究實際問題中，一旦引入複雜數學後很容易把自己繞進去。把數學問題當成研究的問題本身了。

數學是什麼。數學不是科學，它不過是一門語言啊，不然為啥很多學校的數學學位是Bachelor of Arts呢？Art啊。數學就是對各種符號進行了嚴格定義的語言。這樣，在研究複雜問題的時候，簡單的幾句「話」（數學公式），就能把一個邏輯嚴密的傳達出去。而一旦這個語言應付不了目前研究的問題，比如牛頓做研究的時候發現用加減乘除描述其問題來很繁瑣，那乾脆再對這個語言進一步拓展，引入點新的辭彙和定義（微積分）就行了。但是，不要迷失了，他要研究的力與運動才是客觀世界，數學只是用來傳遞邏輯的語言而已。不要認為加減乘除無法對付，萬有引力就不存在了。那只是你語言太匱乏，不妨再多學幾個新詞試試。

當然我不是否定數學，我自己就是數學系畢業的，也非常推崇能夠把實際問題用數學工具進行分析的方法論的，我的套利策略也可以說是綜合了目前所以先進的金融數學理論。我反對的是不理解來龍去脈，不抓事情的本質，而純玩數學概念，很多時候自己都走不出數學迷宮，還在亂引用數學概念。

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資金賬戶必要收益是什麼，自融資必要成本是什麼，就用什麼概率測度

風險中性意思是我的組合要求r，在別的市場你可以要求別的，所以到後面你會看到 ，等這些別的測度

分別對應的報酬率是：到期zero bond, 到期+tenor zero bond, 從k開始持續m期到T的年金

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風險中性測度來源於你的replicating portfolio，請參見我寫的這篇知乎小文https://zhuanlan.zhihu.com/p/21270781

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關鍵字：平衡

左邊：某衍生品的市場價格

右邊：該衍生品預期價格的折現

如果左右不平衡，則可以套利（arbitrage）

當左右平衡的時候，對應的折現率就是risk-neutral rate

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我對這個問題的理解角度比較奇特，但是應該更加直觀。

第一條原則：如果衍生品可以用標的資產和無風險資產複製，則無套利原則要求：衍生品的定價與標的物價格變動的概率測度無關。

說人話就是，股票漲跌的概率壓根和衍生品定價沒關係。這就意味著，我們如果改變一下股票價格的概率測度，衍生品定價仍然不變。

這事兒用二叉樹就能理解，不贅述了。

所以，在風險中性測度下，求出來的衍生品的價格與現實世界是一樣的。

那麼問題來了，與現實世界等價的測度有無數個，為什麼非要用風險中性測度呢？

答案是容易計算。

這時，讓我們先把衍生品放一放，考慮任意一個Ft域流適應的過程Δ（t），說人話就是任意一個在t時可以知道具體數值的隨機變數Δ（t）。

現在我們在風險中性世界，考慮一個規定在t時由Δ（t）單位股票和X（t）-Δ（t）單位無風險資產構成的資產組合X（t），此時有一個非常重要的性質：X（t）是個鞅。

其實很好理解，風險中性世界裡股票收益率就是無風險利率，不論跟無風險資產怎麼組合，總體收益率必然是無風險利率。數學上，無風險資產是個平凡鞅，股票現在也是個鞅，兩個鞅的線性組合必然也是個鞅。

這時假如規定衍生品c（t，x（t））的價格在任意時間t都等於X（t），那麼c（t，X（t））也必然是個鞅。

現在是不是明白費曼卡茨公式究竟要表達什麼意思了？這個公式就是說如果c（t，X（t））是個鞅，那麼c（t，X（t））必然滿足什麼偏微分方程。反之也一樣。

咱們先別管費曼卡茨公式，現在研究c（t，X（t））。既然c（t，X（t））是個鞅，那麼它在時刻t的數值就應該等於T時刻數值在t時刻的條件期望。

現在明白了嗎？風險中性測度就是一個方便計算的手段。否則在現實世界裡c（t，X（t））不是鞅，你怎麼算它的值？

別說，還真有辦法。前方高能。

CAPM還記得嗎？

可以證明，衍生品的期望收益率也是滿足CAPM的。具體請參加另一個知乎問題：無風險套利和CAPM的關係。其中有一個答案給出了CAPM推導BSM公式的方法。

但是，這是一個先有雞還是先有蛋的問題。在期權定價公式出現之前，大家根本不知道怎麼定價期權，換句話說，市場無效。那你通過CAPM測量出的期權理論收益率壓根就是無效的。

再順便說說別的東西吧，整理一下我的思路。

前文說的是，如果衍生品c（t，X（t））可以由一個適應過程Δ（t）生成，那麼就可以用風險中性測度法求值。但問題是，你怎麼知道c（t，X（t））一定對應了一個Δ（t）？

用金融的話說，你怎麼知道一個衍生品必然可以由標的資產和無風險資產複製？

這就是資本定價第一定理：如果是無套利的，則必然存在風險中性測度。

問題又來了，即使可以在風險中性測度下計算，你怎麼知道只有一個風險中性測度？

這就是資本定價第二定理：如果所有風險都可以對沖，則只可能存在一個風險中性測度EMM。直覺上挺容易理解的吧。

繼續挑戰，既然存在且只存在一個風險中性測度，那麼你怎麼構造它？

這就是拉東-尼科迪姆導數的意義。

現在我們已經構造出了風險中性測度，那麼你怎麼方便地處理一下現實中的帶漂移的布朗運動，使它能立即變換到風險中性測度里，無漂移的布朗運動？

這就是哥薩諾夫定理。

說到測度變換，感覺上好神奇，但是你仔細琢磨一下：

在P測度下，隨機變數Y*隨機變數Z的條件期望值一般情況下不等於Y的條件期望值。期望值的計算公式就是Y*Z對dP的積分。

如果把積分運算元dP換成dZP，那麼Y對dZP的積分就等於Y*Z對dP的積分。

如果ZP也滿足概率測度的三個條件的話，就可以定義一個新的概率測度Q滿足dQ＝dZP。

所以什麼概率測度變換，什麼拉東尼科迪姆導數，什麼哥薩諾夫定理，就是個文字遊戲。

我們回頭再聊聊費曼卡茨公式。剛才我其實只是說了費曼卡茨公式的後半部分。費曼卡茨公式的前半部分實際上說了一個很複雜的概念：首先，一階線性隨機微分方程所定義的X（t）是個馬爾可夫過程，所以對於其終值條件的任意一個博雷爾可測函數h（X（T））的期望，都存在g（t，X（t））與其相等。

這時候最容易讓人犯暈的地方到了：既然在現實世界裡股價也是幾何布朗運動，也是一個一階隨機微分方程，期權價格也是終值條件的公式，那為什麼就不能應用費曼卡茨公式啊？

原因就是，費曼卡茨公式里的g（t，X（t））是h（X（T））的期望。問題就在於，現實世界裡c（t，X（t））根本不是h（X（T））的期望，只有在風險中性世界裡才是。為啥？前面我說過了，根據累次條件期望，c（t，X（T））是h（X（T））的期望，等價於c（t，X（t））就必須為鞅。而現實世界裡c（t，X（T））根本不是鞅，只有風險中性測度里才是鞅。所以，現實世界裡是不能應用費曼卡茨公式的。

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風險中性從來不是一個假設！它只是無套利的一個推論。去找本金融經濟學的書，大概都會講清楚這個問題。

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因為在風險中性測度下，一切變得那麼簡單美好

然而怎麼把風險中性下得到的公式，轉換成存在風險偏好的市場中，這就不在人家的考慮範圍之內了，畢竟人家就是個寫書的。。。

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查資料的時候看到這個問題，剛好最近在學隨機微積分，強答一發～

從直覺上來理解的話，要給某個資產定價，我們要將它未來的現金流折現。折現時用多大的利率呢？這是定價的核心。
金融市場上，唯一一種能確定利率的資產是無風險資產，對應無風險利率r。其餘的任何資產，因為我們不能確定它的風險多大，所以也就無法確定它應該對應多大的利率。

使用風險中性測度，其實是更改了定價的概率空間，在這個新的概率空間下，所有資產的期望價值都以r的利率增長（看起來好像是「風險中性」的世界，不需要為風險附更多的利息，無風險溢價），因此我們就可以用無風險利率r對它的現金流進行折現進而定價了。

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最簡單的回答：

1. 不用風險中性定價的結果使套利的可能性存在。

2. 套利使價格趨近風險中性定價。

所以不管你怎麼搞只要套利存在衍生品的期望價格就是風險中性定價。

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在實際測度下存在風險溢價，但風險溢價難以度量，因此做了一個等價鞅變換，在另一個測度下消除風險溢價，才有風險中性假設。

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偶然看到，也瞎說幾句吧。不對的地方很多，請專家們耐心斧正。

正如Y Fan所言，風險中性定價其實並不算什麼神秘的東西。對於期權這類未定權益資產的定價，通常還是採用求均值來得到。這裡面就會涉及到概率，也就是期權的標的資產漲跌到某一狀態值的可能性。不同的人對於上述可能性有不同的判斷，這樣一來他們所預期的期權收益率也不相同。比如風險愛好者會看好標的資產上漲，從而所預期的期權收益率較高（假定是看漲期權）；風險規避者則剛好相反；風險中性者則認為任何資產的收益率都是一樣的。

那麼問題來了，既然投資者對資產漲跌的概率及收益率的預期各不相同，那麼期權的均衡價格還能實現嗎？

在市場完備性等假設下，答案是肯定的。原因是，經濟學家們在計算的過程中發現概率和收益率的預期值的差異在定價過程中剛好能相互抵消，換言之，三類投資者會給出同樣的估值。因此，學者們就利用最簡單的情形，及所有投資者都是風險中性的來給衍生資產定價，這就是風險中性定價法。

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從實踐角度來看，風險中性是個的假設，如果一個理論在弱假設下可以良好運作，沒道理在強假設下不能工作。

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這個無風險套利意味著 投資者不需增加他們的expected return期望回報來彌補增加的風險，簡單來說就是 你的回報和風險在risk netural 世界裡面是有一定比例的，

那麼這裡引來一個risk free rate即為在risk netural情況下，你的expected returm是risk free rate

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我寫寫個人理解：風險中性假設：在BSM或者許多或有claims衍生品的定價模型中，我們一概使用risk free rated進行折現。 為什麼？ 以下完全是我個人形象籠統的理解：BSM公式的root是二叉樹，或者說，其實bsm公式就是個dt無限小的二叉樹模型。而up和down用的概率就叫做risk-neutral prob。所有的risk都在概率中完全體現從而定入了output價格中，如果我們在概率中完全考慮了risk，那就不可以再次在折現率上考慮risk，因此 我們折現必須使用risk free rate。否則造成重複考慮風險的問題。另外，希望有前輩指點一下：我們在使用市場數據得到risk neutral prob，並將它輸入我們的利率二叉樹模型後，有什麼用？是不是只要那幾個輸入BSM的變數不變，那就直接可以把它延展到之後的無數步中？ 有錯請指出 謝謝！

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著作權歸作者所有。

商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

作者：Y Fan

鏈接：為什麼期權這類定價採取風險中性假設？ - 知乎用戶的回答

來源：知乎

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那麼，是多少呢？如果你在0時刻把這些證券都買了，那1時刻無論什麼狀態你都拿到1，所以根據無套利假設，這裡有點錯誤，狀態價格之和小於1，等於1/（1+Rf)，之所以沒辦法套利是因為阿羅德布魯證券在1時期的價格為1，有資金時間價值

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就像研究市場一樣，把市場定義為完全市場，因為因素太多，相互影響的太多，為了撇開各種不確定

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