經濟學展望理論（Prospect Theory）中，數學模型 PT 函數對於效用值是怎麼計算的？

01-06

在維基百科裡沒有看懂，來知乎請教一下。以下為維基百科內容：
「假設一個人打算買保險，設投保所保障項目，有 1% 的機會遇險；若果遇險，投保人的損失為 $1,000 ；而保費為 $15。我們引用展望理論前，先要設一個「參考點」，而它可能是 (1) 現有的財富狀況，或者 (2) 最壞的情況，即損失 $1,000。
若我們用「現有的財富狀況」作參考點，投保人可以付保費 $15，則「PT 效用值 (PT utility) 」為，而他的可能所得 $0 (可能性 99%)，或者 -$1,000 (可能性 1%)。整體 PT 效用值將為：我們可以根據公式，計算出效用值的數值。若套用一般的函數，由於在損失時員有凸面性 (convexity) ，所以公式的第一項的絕對值會比較大，令整體 PT 效用值得遠小於，而令買保險的回報看起來，較不買小得多。這表示該位投保人不會買保險。
相反情況，若果我們用「損失 $1,000」作為參考點，由於在獲利時具有凹面性 (concavity) ，會令 PT 效用值增加，結果大於，致令買保險看起來，比不買更吸引。」
特別是兩個效用值的比較，不能理解。

首先申明請勿轉載或者傳播（誰會傳播這個你肯定是在亂擔心 =_=），這裡面牽涉到我的畢業論文和學年論文問題，如果到處亂傳我要畢不了業了怎麼辦(╯‵□′)╯︵┻━┻

正好在寫的論文是這個，所以我來怒答了！

首先我假設題主你已經懂得了傳統期望效用理論的計算方法（我覺得如果這個都沒搞懂的話下面的你可能完全就不懂了……）

Prospect Theory對於傳統期望效用理論的拓展主要是就是改寫了原來的函數形式。對於Allais
Paradox實驗的改變之後，Kahneman和Tversky在實驗中確證了確定效應（Certainty Effect）、隔離效應（Isolation Effect）和反射效應（Reflection Effect）。

改寫的Function主要有三個方面，價值函數（Value Function）、參考點（Reference Point）和決策權重函數（Weighting Function）。

1. Value Function

這張圖描述了人們對於損失和收益的基本態度。體現在價值函數和參考點上的效用函數的特點主要有：第一是在參考點之上的收益區域價值函數是凹函數，體現風險迴避，而在參考點之下損失區域則是凸函數，體現風險尋求，簡單來說就是人們通常偏好穩定的收益，而當面臨損失時往往想要冒險彌補損失。

2. Reference Point

就是上圖的零點，一般而言，初始的財富狀況就是參考點，是價值函數中的拐點。它體現的是價值函數在損失和收益兩個區域斜率的不連續性，體現決策者對於收益和風險兩者感受完全不同。

3. Weighting Function

這兩張圖是Kahneman和Tversky在不同時期對於決策權重函數的不同詮釋，第一張是1979年，第二張是1992年。具體含義就是人們對於概率的感受不是客觀概率p，而是與客觀概率相聯繫的主觀概率W(p)。

==================我是函數形式的分界線================

接下來需要確證函數形式，通俗地理解就是模擬上述的圖像。（知乎你真的不考慮優化一下么……插入公式太困難了……）

Value Function

$V(x)= x^alpha ,xgeq 0$

$V(x)=-lambda left( -x^eta ight) ,xleq 0$

Weighting Function

$W(p)=frac{p^gamma}{ left( p^gamma +(1-p)^gamma ight)^{frac{1}{gamma } } }$

根據Kahneman和Tversky之後的模擬實驗，可測出各個參數的結果。有興趣的可以自己翻Paper，reference我會給到下面的。

而PT Utility=V(x)W(p)

==================我是計算和證明Wiki錯了的分界線================

首先是reference point=0情況，此時

insurance: (-15,1) outcome: PT Utility=-24.39
uninsurance: (-1000, 0.01) with (0, 0.99) outcome: PT Utility=-38.96

然後是reference point=-1000情況，此時其實就是每一種可能加上1000.

insurance: (985,1) outcome:PT Utility=430.75
uninsurance:(0, 0.01) with (1000, 0.99) outcome: PT Utility=397.92

所以結論是Wiki百科的例子兩種情況都應該選擇保險。

@陳不行所說的方法確實就是原理，簡單來說就是講reference point變動之後，例子中的計算是按照第一象限來的，如果reference point為0的時候那麼計算是按照第三象限來的。不過他說「沒有抓到點」這個話說錯了，這就是Prospect Theory的Key Point.

如果要我用一句話總結原理就是這句了。

變換參考點之後代表的是你心理從「損失Losses」變成了「收益Gains」，雖然客觀上沒什麼不同，但是Prospect Theory下兩者的心理效用是不一樣的。

PS：其實這個例子的想法是對的，但是數沒取好，不信題主你可以變換參數試一試。就可以得到Wiki說的那種結果了。

References:

1. Kahneman D, Tversky A. Prospect theory: An
analysis of decision under risk[J]. Econometrica: Journal of the Econometric
Society, 1979: 263-291.

2. Tversky A, Kahneman D. Advances in prospect
theory: Cumulative representation of uncertainty[J]. Journal of Risk and
uncertainty, 1992.

以上。